В этом фрагменте лекции мы поговорим о свойствах z-преобразования. Как мы только что видели, z-преобразование в определенном смысле обобщает преобразование Фурье в дискретном времени, переходя от единичной окружности на z плоскости к комплексной z плоскости целиком, поэтому свойства z-преобразования также являются обобщением свойств преобразования Фурье в дискретном времени на всю комплексную плоскость. Так же, как и при рассмотрении свойств преобразования Фурье, мы будем считать, что в случае одного сигнала последовательности отчетов xk соответствуют z-преобразования x от z. Мы осуществляем над этим сигналом какое-то функциональное преобразование f, получаем новую последовательность отчетов y от k и хотим узнать чему равно z-преобразование этой последовательности y от z. В случае нескольких сигналов, мы считаем, что последовательность x1 от k соответствует z-преобразования x1 от z последовательности отчетов x2 от k z-преобразовании x2 от z и для какого-то преобразования пары этих сигналов дающего в результате новую последовательность y от k, мы хотим узнать, чему будет равно её z-преобразование y от z. Первое свойство, как обычно, это свойство линейности. Если последовательность y получается линейной комбинацией сигналов, а умножить на x1 от k плюс b умножить на x2 от k, где a и b постоянные коэффициенты, то z-преобразование результата y находится совершенно элементарным образом, поскольку, согласно определению, z-преобразование, это линейная комбинация отсчётов сигнала, коэффициентами этой линейной комбинации служат множители вида z в степени -k, поэтому результирующие z-преобразования y от z будет представлять собой аналогичную линейную комбинацию с теми же самыми коэффициентами a и b, y от z равняется ax1 от z плюс bx2 от z. То есть для z-преобразования выполняется принцип суперпозиции, и говорят, что z-преобразование суммы равно сумме z-преобразования. Следующее свойство касается задержки сигнала на какое-то число отсчётов k нулевое. Вывод формулы для z-преобразования результата производится так же, как в случае преобразования Фурье в дискретном времени. Мы подставляем формулу прямого z-преобразования задержанный на k нулевое отсчетов сигнал, делаем так, чтобы в показателе переменный z появилась такая же разность k-k нулевое и для того, чтобы формула не изменилась, нам нужно добавить компенсирующий множитель в виде z в степени -k нулевое. Дальше делаем замену переменной m равняется k-k нулевое. Суммирование остается в бесконечных пределах, Под суммой оказывается стандартное слагаемое для формулы z-преобразования x от m умножить на z в степени -m. Результат вычисления этой суммы, это просто z-преобразование исходного сигнала x от k. Таким образом окончательный результат имеет вид x от k умножить на z в степени -k нулевое. То есть при задержке сигнала на k нулевое отчетов, его z-преобразование умножается на z в степени минус величина задержки k нулевое. В случае задержки на один отсчет z-преобразование умножается на ноль множитель z минус первой степени. Поэтому блок, осуществляющий задержку сигнала на один отсчет, а этот блок является элементарным кирпичиком для построения дискретных систем обработки сигналов, на структурных схемах этот блок так и обозначается, внутри квадратика символизирующего блок, записана z в минус первой степени, потому что умножение на z минус первой степени соответствует изменению z-преобразования сигнала при его задержке на один отсчет. Если на такой блок на входе поступает сигнал x от k, то на его выходе будет присутствовать задержанный на один отсчет сигнал x от k минус один. А в общем случае задержка последовательности на k нулевое отсчетов соответствует умножению z-преобразования сигнала на z в степени минус k нулевое. Следующие свойства также аналогично соответствующему свойству преобразования Фурье в дискретном времени. Оно касается вычислению z-преобразования для свертки двух сигналов, x1 от k и x2 от k. Если мы подставим формулу свертки в определении z-преобразования, у нас получится двойная сумма по переменным m и k, и также как при выводе соответствующего свойства преобразование Фурье в дискретном времени, мы меняем местами эти две суммы, делая сумму по m наружной а сумму по k внутренней, и так, как после этой переменной порядка суммирования множитель x1 от m не зависит от переменной по которой осуществляется формирование во внутренней сумме от k, мы можем вынести его из под этой суммы, тогда сумма по k будет представлять собой формулу для вычисления z-преобразования задержанного сигнала, x2 от k-m, согласно только что полученному нами предыдущему свойству, это сумма будет равна 2 от z умножить на z в степени минус величина задержки, то есть m. Если мы подставим это в формулу, то получится сумма по m бесконечных пределах под суммой x1 от m умножить на z в степени -m. x2 от z не зависит от переменной суммирования, поэтому может быть из под суммы вынесено. Сумма таким образом является просто определением z-преобразования сигнала x1 и будет равна x1 от z. Конечный результат имеет очень простой вид, аналогичной свойству преобразования Фурье в дискретном времени. z-преобразование свертки равно произведению z-преобразования. Следующее свойства мы не рассматривали для преобразования Фурье в дискретном времени, хотя там оно тоже может быть, в принципе введено. Свойство касается чередованию знаков у исходной последовательности. Измененная последовательность отсчетов y получается как результат изменения через раз знаков у отчетов исходной последовательности x от k. Мы меняем знаки у отчетов с нечетными номерами, то есть если у нас был какой-то сигнал x от k, который географически был представлен каким нибудь вот таким образом, сначала убывают значения, потом возрастают, потом медленно убывают и начинался он с нулевого номера отсчёта, до того был равен нулю, то данная операция сохраняет значение у отсчетов с четными номерами, у нулевого, второго, четвертого, шестого, восьмого и так далее, если они там есть, а у отчетов с нечетными номерами меняются знаки, 0, 1, 2, 3, 4, 5, и так далее. Мы можем это записать как умножение исходного сигнала на минус единицу в степени k. Для четных k-1 в степени k даст плюс единицу, для нечетных k, минус единицу. Чтобы получить z-преобразование последовательности y, подставим измененный сигнал в формулу прямого z-преобразования и сгруппируем два множителя, которые возводятся в степень k, точнее нас интересует степень минус k, но для минус единицы возведение ее в степень плюс k или в степень минус k ничего не меняет, от этого значение получаемый не изменится, так что мы можем здесь записать этот множитель и в виде единица в степени минус k, минус единица в степени минус k. Скомбинировав это со множителем z в степени минус k, мы получим минус z в степени минус k. Таким образом в этой формуле мы вычисляем z-преобразование для последовательности x, но подставив в эту формулу вместо z минус z. Результат таким образом оказывается равен x от минус z, и мы получили, что чередование знаков отсчетов исходной последовательности соответствует замене переменной z на минус z. Следующее свойства мы также не рассматривали применительно к преобразованию Фурье в дискретном времени, оно касается зеркального переворота сигнала вдоль временной оси. Имеется в виду, что если, например, исходный сигнал начинался в нулевой момент времени, при k равно нулю, и тяну все куда-то направо, то после зеркально переворачивания, после инверсии временной оси полученный сигнал y от k будет заканчиваться в нулевой момент времени и тянутся куда-то налево. Описать математически это преобразование мы можем, изменив знак у номера отсчета, расчетов результат как y от k равняется x от -k. Чтобы получить чему равно z-преобразование сигнала y, подставим измененный сигнал x от -k в формулу z-преобразования и произведён замену переменной: m=-k. Диапазон суммирования для переменной m по прежнему будет бесконечным от минус бесконечности до плюс бесконечности. Под суммой в качестве слагаемых появится от -k, теперь это x от m и z в степени -k, теперь это будет z в степени m. Для того, чтобы понять чему равен результат, нужно сделать это более похожим на формулу прямого z-преобразования, для этого нужно, чтобы показатель степени у переменной z был отрицательным. Для этого мы поступаем следующим образом, мы запишем этот множитель как z в минус первой степени, и после этого возводящееся в степень минус m. Результат равен, согласно математическим правилам, z в степени плюс m. А данная формула представляет собой формулу прямого z-преобразования, в которую вместо значения z мы подставили z в минус первой степени. Результат таким образом равен x от z минус первой степени и инверсии сигнала во времени соответствует замена переменной z на z в минус первой степени. Перед вами таблица кратко обобщающая те свойства z-преобразования, которые мы только что рассмотрели. Она показывает, как определенные трансформации сигналов, производимые во временной области над временными последовательностями отражаются в их z-преобразованиях. Эти свойства позволяют сильно упростить вычисления z-преобразований сигналов, если мы можем представить их в виде каких-то кирпичиков как-то трансформированных, как-то скомбинированных друг с другом, причем эти свойства помогают вычислении не только прямого z-преобразования, но и обратного z-преобразования, к рассмотрению которого мы перейдем в следующем фрагменте.
