[МУЗЫКА] [МУЗЫКА] В данном фрагменте лекции мы поговорим о связи между z-преобразованием и преобразованием Фурье в дискретном времени. В обоих случаях дискретная последовательность отсчётов сопоставляется функцией некоторой переменной. В одном случае — это частота, в другом случае — комплексная переменная z. При этом и та, и другая формула представляют собой некие комбинации, некие суммы по отсчётам сигналов. Посмотрим внимательно на две эти формулы одновременно. Формула z-преобразования: бесконечная сумма по отсчётам сигнала, умноженная на z в степени минус k. Для вычисления же преобразования Фурье в дискретном времени нам необходимо тоже вычислить бесконечную сумму по отсчётам сигнала, умноженным на комплексные экспоненты e в степени минус j ω c тильдой k. Таким образом, эти формулы отличаются друг от друга лишь тем, что именно возводится в степень минус k. В случае z-преобразования — это комплексная переменная z, в случае преобразования Фурье в дискретном времени — это комплексная экспонента e в степени j ω c тильдой. Получается, что z-преобразование является обобщением преобразования Фурье в дискретном времени на всю, так сказать, комплексную плоскость. И мы можем, зная z-преобразование, получить спектр дискретного сигнала, получить преобразование Фурье в дискретном времени, вычислив это z-преобразование для значений z, лежащих на единичной окружности, z, равных e в степени j ω c тильдой. По этой причине в ряде литературных источников спектры дискретных сигналов так и записывают, используя в качестве аргумента не просто частоту ω c тильдой, а именно комплексную экспоненту e в степени j ω. Таким образом, значения переменой z, лежащие на единичной окружности, образуют, образно говоря, частотную ось на z-плоскости. Это понятие является очень важным, поэтому о данной частотной оси мы поговорим подробнее. Итак, единичная окружность играет роль частотной оси на плоскости переменной z. Слова «частотная ось» здесь взяты в кавычки, поскольку эта ось не является прямой линией. Она является замкнутой фигурой, и её замкнутость в очередной раз иллюстрирует тот факт, что все частотные характеристики для дискретных сигналов и дискретных систем являются периодическими. И важно понимать, каким именно точкам единичной окружности какие частоты соответствуют. Начнём с нулевой частоты: ω с тильдой, равная нулю. Этой точке соответствует значение переменной z, e в степени j, умноженное на ноль, то есть вещественная единица. Точка z, равная вещественной единице, на z-плоскости показывает нам нулевую частоту. Вторая важнейшая частота для дискретных сигналов и дискретных систем — это частота Найквиста, самая большая в определённом смысле частота дискретного сигнала. Частота Найквиста равна π радиан на отсчёт. Если мы пересчитаем это значение переменной z, то получим её в степени jπ, что, как известно, равняется минус единица. Это тоже вещественное число, но расположенное в левой части, в левой полуоси вещественной оси переменной z, левый край окружности. π радиан на отсчёт. У нулевой частоты и у частоты Найквиста нет зеркальной пары с обратным знаком, потому что в следствии периодичности частотных характеристик для частоты Найквиста парное значение с другим знаком, равняющееся минус π — это та же самая частота. Но минус π у нас тоже попадает в точку минус один на плоскости переменой z. Если говорить про основной диапазон частот, то увеличение частоты соответствует увеличению угла и повороту против часовой стрелки, поэтому верхняя полуокружность — это положительные частоты. А нижняя полуокружность — это зона отрицательных частот. Это соответствует, разумеется, только основному диапазону рабочих частот дискретной системы, так как в следствии периодичности всех частотных характеристик мы можем использовать для частоты сдвинутые на величину, кратную двум, π радиан на отсчёт значений, поэтому отрицательные частоты могут при этом становиться положительными, и наоборот. Речь о знаках частоты здесь идёт исключительно применительно к основному диапазону рабочих частот дискретной системы. В целом же, значения частоты для точки, лежащей на единичной окружности, определяются её угловым положением. Угол между радиус-вектором этой точки и положительной вещественной полуостью и равен нормированной частоте ω с тильдой, измеряемой в радианах на остчёт. Например, точки, лежащие на мнимой оси в верхней половине, соответствуют частоте, равной π пополам радиан на отсчёт, а зеркальная точка в нижней части окружности соответствует частоте, равной минус π пополам радиан на отсчёт. Таким образом, точки, лежащие на единичной окружности, соответствуют частотам дискретного гармонического сигнала. Частота, как и всегда, определяется лишь с точностью до сдвигов целое число, раз, два, π радиан на отсчёт.