[ЗВУК] [ЗВУК] Z-преобразование является важным механизмом анализа дискретных последовательностей. В частности, оно позволяет удобным образом анализировать прохождение дискретных сигналов через дискретные фильтры и получать результат в аналитическом виде. По сути z-преобразование является аналогом преобразования Лапласа, которое используется для анализа сигналов и систем непрерывного времени, в дискретной области. Z-преобразование ставит в соответствие последовательности отсчетов x(k) функцию переменной z, которая определяется в виде полинома, коэффициентами которого являются отсчеты сигнала, и в этом полиноме используются отрицательные степени переменной z. То есть формула представляет собой сумму по k в бесконечных пределах слагаемых вида x(k) × z в степени −k. Z — это комплексная переменная, и функция тоже соответственно получается комплексная. Так как в общем виде формула представляет собой бесконечный ряд (сумму бесконечного ряда), то z-преобразование может быть определено не для всех z. Определена она только для тех z, при которых данный ряд сходится. Рассмотрим несколко примеров вычисления z-преобразования для несложных сигналов. В качестве первого сигнала возьмем элементарный одиночный импульс, который, я напоминаю, обозначается как δ(k) и равен единице при нулевом значении номера отсчета и нулю во всех остальных случаях. Z-преобразование в данном случае вычисляется совсем тривиальным образом, так как в бесконечной сумме отлично от нуля только одно значение при k = 0. Это значение равно 1, поэтому в итоге мы получаем 1 × z⁻⁰. В нулевой степени z также равняется 1. В результате мы получаем, что z-преобразование данного сигнала равно единичной константе. И так как данный ряд содержал на самом деле только одно слагаемое, то сходится он всегда, и областью определения таким образом является вся комплексная плоскость. Второй сигнал несколько сложнее — это односторонний экспоненциальный импульс. который мы можем записать либо с использованием единичного скачка как а в степени k умножить на единичный скачок u(k), либо раскрыв результат в явном виде и записав, что данный сигнал равен нулю для отрицательных номеров отсчетов и a в степени k для неотрицательных номеров. Его z-преобразование в данном случае для своего расчета действительно требует вычисление бесконечного ряда. Если мы подставим данный сигнал в формулу z-преобразования, то после очевидного упрощения, связанного с исключением из суммирования отрицательных номеров отсчетов, мы получим сумму по k от 0 до +∞ слагаемых вида a в степени k умножить на z в степени −k. Если мы скомбинируем множители a и z⁻¹, так чтобы суммируемые слагаемые приняли вид (az⁻¹) и всё это в степени k, то мы получим формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой q = az⁻¹. Согласно формуле для суммы бесконечной геометрической прогрессии, которую мы уже рассматривали, результат суммирования равен 1/1 − (az⁻¹) Эта сумма существует не всегда, а только в тех случаях, когда геометрическая прогрессия является затухающей. Для этого знаменатель прогрессии должен быть по модулю меньше единицы, то есть q = |az⁻¹| < 1 по модулю, что означает |a| < |z| или |z| > |a|. Я напоминаю, что z — это комплексная переменная, и таким образом мы можем изобразить данную область существования z-преобразования на комплексной плоскости (плоскости переменной z) следующим образом: [БЕЗ_СЛОВ] это наружная область относительно окружности с радиусом |a|. Хочу также обратить внимание на то, что неравенство для области определения является строгим, то есть граница в виде окружности с радиусом |a| в эту область определения не входит. Сигнал в третьем примере отличается от предыдущего тем, что он, образно говоря, является совсем бесконечным, то есть его значения являются ненулевыми для абсолютно всех номеров отсчетов k от −∞ до +∞. Это будет двусторонний экспоненциальный импульс, который мы можем записать в виде формулы как a в степени |k|, где k меняется в бесконечных пределах. Запишем z-преобразование этого сигнала. Для этого нам придется разбить сумму на две половинки для положительных и отрицательных номеров отсчетов, чтобы разобраться с операцией модуля. С нулевым отсчетом можно поступить по-разному. Можно включить его в одну из сумм, а в другую не включать, либо включить его в обе суммы, но вспомнить, что мы в результате этот нулевой номер считали 2 раза, и скомпенсировать это, вычтя соответствующее значение. Именно этот вариант я здесь и использовал. Первая сумма для неотрицательных номеров отсчетов точно такая же, как в предыдущем примере с односторонним экспоненциальным импульсом. Вторая сумма для левой половины сигнала по k от −∞ до 0, и вследствие того, что |k| для отрицательных значений k равняется −k, мы имеем суммируемые слагаемые a в степени −k умножить на z в степени −k. И так как k, равное нулю, мы сосчитали два раза (первый раз здесь, второй раз во второй сумме), эти слагаемые при k = 0 и там и там равны 1, поэтому двукратный учет данного номера мы должны компенсировать, поэтому здесь я единицу дополнительно вычел. И теперь вычислим эти суммы. Первая сумма, как я уже сказал, в точности соответствует предыдущему примеру, поэтому я просто переписываю результат: 1/1 − az⁻¹. Вторую сумму мне нужно привести к стандартному виду суммы бесконечной геометрической прогрессии. Для этого я использую замену переменной вида m = −k. При этом диапазон суммируемых номеров станет из отрицательного положительным от 0 до +∞ по m. Суммируемые слагаемые примут вид: a в степени m умножить на z в степени m, что я могу переписать в форме произведения (az) в степени m. Теперь эта сумма приняла вид стандартной суммы бесконечной геометрической прогрессии, и эта сумма согласно общей формуле равна: единица разделить на единица минус знаменатель прогрессии (который в данном случае равен az), 1 / 1 − az. И единицу мы вычитаем, чтобы учесть двукратное использование нулевого номера в этих суммах. После приведения к общему знаменателю мы получаем симметричное, довольно симпатичное выражение: 1 − a² / −az + (1 + a²) − az⁻¹. Знаменатель записан в такой форме специально, чтобы показать его симметрию относительно степеней z. Плюс первая и минус первая степень z фигурирует здесь с одинаковыми коэффициентами. Область определения данного z-преобразования. Первое слагаемое (первая бесконечная сумма), ему соответствует область определения такая же, как в предыдущем примере: |z| > |a|. Во втором слагаемом для того чтобы эта сумма существовала, знаменатель прогрессии q должен быть по модулю < 1, то есть |az| < 1, что дает нам для z неравенство |z| < 1 / |a|. Таким образом, на комплексной плоскости данная область определения выглядит как кольцо, внутренний радиус которого равен |a|, а внешний радиус обратной величине — 1 / |a|. Обе границы, как и в предыдущем случае, в область определения не входят, так как все неравенства здесь являются строгими. Здесь мы также видим, что в отличие от предыдущего случая, когда z-преобразование существовало с какой-то областью определения для любого значения параметра a, то здесь z-преобразование будет существовать не всегда. Для того чтобы это кольцо существовало (не было пустым множеством), внешний радиус должен быть больше, чем внутренний. Для этого необходимо, чтобы |a| был меньше 1. В противном случае внешний радиус окажется меньше, чем внутренний, и область определения окажется пустым множеством.
