[МУЗЫКА] [ЗВУК] Еще одной особенностью, связанной с дискретным временем и гармоническими сигналами, является неоднозначность понятия частоты. Пусть у нас есть дискретный гармонический сигнал x₁(k) с какими-то параметрами, какой-то комплексной аплитудой A и с какой-то нормированной частотой ω₁. Попробуем изменить его частоту на величину, кратную 2π рад/отсчет и посмотрим, что из этого получится. Получится у нас сигнал x₂ (k), который будет равен — комплексная амплитуда A не меняется, = Ae в степени j. Частоту мы собрались изменить на величину, кратную 2π рад/отсчет, так что она будет равна теперь (ῶ₁ + 2πm) какое-то число m раз мы взяли 2π рад/отсчет, * k. Раскрываем скобки, показатели экспоненты, получаем Ae в степени jῶ₁k + j 2πmk. Превращаем теперь это в два экспоненциальных множителя Ae в степени jῶ₁k * e в степени j2πmk. Но так как и m, и k — это целые числа, показатель второй комплексной экспоненты является кратным 2π, и поэтому сама эта комплексная экспонента оказывается равна единице. В итоге получается, что после такого изменения частоты дискретного гармонического сигнала он все равно будет равен Ae в степени jῶ₁k, то есть совпадать с сигналом x₁. Таким образом, мы изменили частоту дискретного гармонического сигнала, а сам сигнал в результате этого остался прежним: x₁ и x₂ друг с другом совпадают. Мы видим, таким образом, что понятие частоты дискретного гармонического сигнала является неоднозначным. И сдвиг частоты на величину, кратную 2π рад/отсчет, мы никак не можем обнаружить, эти частоты неразличимы. Вследствие этого все частотные характеристики, связанные с дискретными сигналами и с дискретными фильтрами, с дискретными системами, которые обрабатывают сигнал, все они являются периодическими, они повторяются с периодом, равным 2π рад/отсчет, и поэтому в качестве частотного диапазона для анализа мы можем выбрать, в принципе, любой промежуток длиной 2π рад/отсчет, так как частотные характеристики в этом диапазоне дальше периодически повторяются, и таким образом, этот кусочек частотной оси полностью определяет всю частотную характеристику. Выделяют понятие основного диапазона рабочих частот дискретной системы от −π до +π рад/отсчет. Иногда оказывается удобнее использовать односторонний диапазон частот от 0 до 2π, но чаще удобнее оказывается двусторонний вариант, симметричный относительно нулевой частоты: ±π рад/отсчет. Это называется основным рабочим диапазоном частот дискретной системы. Посмотрим графически, как выглядят дискретные гармонические сигналы, опять же вещественные, чтобы их можно было изображать на графике, с разными частотами. Понятие сигнала с низкой частотой обычно не вызывает сложностей. Это медленно меняющееся колебание, в данном случае его частота была равна 0,2 рад/отсчет. Несколько сложнее с понятием высокой частоты. Поскольку рабочий диапазон частот дискретной системы, основной рабочий диапазон частот, является ограниченным. И высокие частоты — это частоты, которые приближаются к верхней границе этого основного рабочего диапазона. На втором графике в качестве примера показано колебание, дискретный гармонический сигнал, частота которого равняется 3 рад/отсчет, то есть она довольно близка к верхней границе основного рабочего диапазона, равной π рад/отсчет. Посмотрите, как выглядит график этого сигнала. Во-первых, его отсчеты являются знакопеременными. За положительным значением следует отрицательное, и наоборот. Кроме того, визуально этот сигнал воспринимается как совокупность двух колебаний, которые по отдельности являются очень медленными. Одно колебание, и с измененным знаком — второе колебание. Эту особенность мы дальше увидим в динамической демонстрации того, как выглядят дискретные гармонические сигналы с разной частотой. Но самой главной особенностью дискретного времени является то, что здесь у нас существует понятие самой высокой частоты. Если для сигналов непрерывного времени мы можем увеличивать частоту беспредельно, то из-за того, что все частотные характеристики дискретных систем и сигналов являются периодическими, и у нас существует понятие основного рабочего диапазона частот, возникает и понятие самой высокой частоты, которая соответствует границе этого диапазона — π или −π, что в данном случае оказывается одним и тем же, рад/отсчет. Эта частота называется частотой Найквиста. Это понятие очень важно, поскольку оно показывает самую высокую частоту, которая может быть в основном диапазоне частот представлена дискретными отсчетами. Соответствующее колебание выглядит очень просто: если мы запишем формулу для колебания для дискретного гармонического сигнала с этой частотой, она будет иметь вид: комплексная амплитуда Ae в степени jπk. Но e в степени jπ = −1. Поэтому в качестве итоговой формулы мы получаем комплексную амплитуду A * (−1) в степени k. То есть чередующиеся отсчеты с разными знаками. При равенстве 1 амплитуды сигнала это чередование ±1. Так выглядит колебание с самой большой частотой в основном рабочем диапазоне частот дискретной системы, частотой Найквиста, равной π рад/отсчет. [БЕЗ_ЗВУКА]