Los cursos de Cálculo Diferencial y Cálculo Integral tradicionalmente se ofrecen separados y respetando ese orden. El primero estudia la derivada, y el segundo, la integral, siendo este momento en el que aparece el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) para establecer la relación entre ambos conceptos. En el presente curso vamos a hacer una diferencia: introduciremos la derivada y la integral como conceptos relacionados desde un principio. Vamos a iniciar con la interpretación del Teorema Fundamental del Cálculo, con esto nos referimos a descubrir su significado real en la solución de problemas. Llegaremos a asociar con él la actividad práctica de calcular el valor de una magnitud que está cambiando. Habiendo realizado esta interpretación, los conceptos de derivada e integral se verán relacionados desde un principio, lo que te permitirá predecir el valor de una magnitud que está cambiando. Las nociones fundamentales de derivada e integral las identificaremos con las ideas de “razón de cambio” y de “acumulación del cambio”, y el TFC nos proveerá de la estrategia de solución. Recordarás que la Matemática Elemental incluye el Álgebra, la Geometría y la Geometría Analítica. Podemos decir que éstas son Matemáticas que estudian lo estático. En cambio, la Matemática Superior, que incluye el Cálculo, estudia lo dinámico. Con el Cálculo se inicia el estudio del cambio, una realidad presente en nuestro entorno cotidiano sin duda alguna. Costos, temperaturas, poblaciones, velocidades, energías, capitales de inversión, longitudes, etc., son algunos ejemplos de esto. En este curso podrás entender al Cálculo como una estrategia de solución para el estudio del cambio y diferenciarlo de las Matemáticas Elementales, aunque utilice de ellas bastante información. Al finalizar este curso podrás: Describir de qué manera los modelos matemáticos polinomial, exponencial natural, y trigonométricos (seno y coseno), son una construcción que responde a esta práctica de predicción. Los verás a todos ellos surgir de esta práctica cuando una magnitud real particular cumple ciertas condiciones en su “razón de cambio” con respecto a la magnitud de la que depende. Utilizar la introducción de procesos infinitos (¡no imposibles!) en la construcción de la respuesta de predicción, con ello entenderás por qué se habla de Matemática Superior y de un pensamiento matemático avanzado. Valorar una forma de pensar diferente, donde nuestro razonamiento matemático trascienda la sola manipulación de fórmulas algebraicas.
Situación: Cuando una magnitud depende de otra y ésta última depende de otra más.
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Cálculo Diferencial e Integral unidos por el Teorema Fundamental del Cálculo
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Derivando e Integrando
Este Módulo será dedicado al reforzamiento de aspectos algorítmicos en el cálculo de derivadas e integrales. El énfasis en la manipulación de la simbología algebraica permitirá minimizar dificultades. El uso de tecnologías digitales actuales permitirá valorar su potencial como herramienta en el proceso.
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Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Para este video de la situación del módulo diez, bueno pues siempre nos
han acompañado algunas imágenes alusivas de alguna situación real.
Esta situación que les voy a presentar pues sigue siendo real,
aunque usted no lo crea.
Vamos a ver algunas imágenes que he preparado para
darles a entender como la problemática ¿no?
de la misma matemática es algo sobre lo que tenemos que pensar.
Si me acompañan ustedes ahorita en este video, estamos viendo unas imágenes ¿no?
de una corredor sobre el que vamos rápidamente y bueno eso es para enseñarles
a ustedes cómo el cálculo estudia magnitudes que están cambiando.
Entonces si esa fuese la curva sobre la cual tenemos
representado el comportamiento de la magnitud, vean ustedes cómo siempre
que nos acercamos hemos visto en situaciones derivables y
continuas que el comportamiento de la curva es prácticamente recto.
Esa es una perspectiva del cálculo, pensar que aquella
curva que me represente el comportamiento de una magnitud que está cambiando,
es tal que en lo local puedo yo juzgarla como un comportamiento lineal.
Recuerden ustedes nuestro método de hoy,
de como manteníamos la razón de cambio constante para estar modelando
precisamente con un comportamiento lineal en un intervalo pequeño del tiempo.
Esas imágenes que estamos viendo ahorita entonces,
aún y cuando se ven medias perturbadas ¿no?, por la rapidez igual siguen
siendo imágenes de una situación digamos que quiero decir ante ustedes,
es una situación de las mejores, una situación derivable ¿no?
Y ya siendo derivable tuvo que haber sido continua ¿no?
Si después pensamos en otro tipo de situación.
Vean ahorita el video que les estamos presentando,
son como las mismas imágenes pero con ciertas perturbaciones.
Esto lo quise escoger para mostrarles a ustedes como los mismos matemáticos ¿no?
durante el tiempo se han dado cuenta de que hay otras situaciones más.
Al principio se pensaba que todo debería de ser continuo y derivable,
pero ya he estado con ustedes viendo gracias a la tecnología ¿no?
que podemos pensar, incluso visualizar situaciones de no continuidad que pueden
ser desde el simple agujerito hasta otras situaciones con oscilaciones infinitas.
O también la tenemos la situación de no derivabilidad o no diferenciabilidad.
O sea, que puede ser situaciones tan simples, perdón, como un pico ¿no?
en un valor absoluto o pueden ser situaciones
tan complicadas como las que les he mostrado con la función de by strass ¿no?
Y que gracias a la tecnología pudimos hacer una imagen
de cómo es esta situación.
Si vemos entonces esta siguiente imagen, ahorita lo que yo quisiera que
evocarles con esto es vamos a llegar incluso hasta el caos ¿no?
Y caos es una palabra muy alusiva ¿no?
para el video que estamos viendo, pero al mismo tiempo hay que reconocerlo
es una teoría actual de la matemática sobre la que vale la pena también hablar.
¿Por qué?
Porque las situaciones reales, las situaciones reales no necesariamente
se modelan matemáticamente con funciones derivables ¿no?
Y bueno pues, tendremos ocasión de ahondar un poquito más en esto.
Recuerden que esa función de by strass que les mostré,
es el primer ejemplo digamos de fractal.
La gráfica también la curva de kosh que tuve oportunidad de mostrarles en el
papel, bueno en mostrarles cómo se produce ¿no?
también.
Es otra, otra manera de llegar a esta idea del caos, de lo fractal
hay una asociación entre la teoría del caos y la geometría fractal ¿no?
de Mandelbrot, que realmente nos están diciendo nuestro mundo
ya lo estamos pudiendo ver desde una perspectiva distinta ¿no?
¿Por qué?
Porque también la tecnología nos ha ayudado para ello.
Igual, si vemos ahora esta imagen yo lo que quería con ella era evocarles que
aún y cuando seguimos en este túnel ¿no?
de la matemática, mientras sigamos nosotros seres vivos pensando ¿no?
Y tratando de entender nuestra naturaleza a la que nos enfrentamos diariamente,
pues bueno las cosas pueden pintar bien o pintar complicadas, no lo sé.
Pero siguen siendo algo muy vivo ¿no?
Yo quería con esta imagen mostrarles que la matemática es una ciencia viva,
que mientras vivamos nosotros también estaremos produciendo más conocimiento
y que, bueno es muy importante aceptar que ha sido la tecnología,
los desarrollos tecnológicos los que nos han permitido dar un brinco ¿no?
Y poder hablar de cosas que si bien algunos matemáticos las vieron
acá en su mente, ahora tenemos toda la oportunidad de nosotros poderlas ver
con una digamos incluso creatividad increíble ¿no?
Y a nuestra mano, a nuestro alcance.
Finalmente, bueno pues aquí yo decía bueno ya basta de tanto rollo,
pero igual también aparte de ese rollo yo quiero que vean ahí en esos como
pergaminos que hay muchas fórmulas matemáticas.
Mientras las fórmulas matemáticas estén, vamos a poder hacer muchas cosas.
Realmente hay muchos modelos matemáticos, muchas magnitudes que se modelan con ellos
y que bueno si responden a esta analiticidad se llama.
O sea, este tipo de comportamientos que son controlables
desde el punto de vista o predecibles desde el punto de vista ¿no?
del cálculo.
Y bueno pues ahorita en esta ocasión, en este video nos toca
hablar un poquito ¿no?, sobre esta derivación cuando tenemos
expresiones matemáticas conocidas ya con nuestros modelos que hemos construido.
Entonces los invito al papel para que hagamos todo lo que podamos hacer,
mientras tengamos estas fórmulas en nuestras manos ¿no?
Entonces vamos a empezar, el video trata sobre hacerles a ustedes entender una
idea muy simple, en matemáticas se llama la regla de la cadena,
pero yo quisiera transmitirles que esa regla de la cadena es una idea muy simple.
Por eso les digo,
el hombre es un matemático que se la pasa pensando y organizando las cosas ¿no?
La idea simple es la siguiente, supónganse yo tengo que ir a hacer un viaje digamos
aquí, me voy a ir a París pero para irme a París tengo que ir primero a México ¿no?
Entonces si voy a tener un vuelo de México a París,
necesito conocer antes cuál es el vuelo de Monterrey a México ¿no?
Ese a pensar hacia atrás ¿se fijan?, eso ya es una idea matemática.
O sea, ¿a qué hora voy a salir a París?
Bueno pues depende.
¿A qué hora salí de Monterrey?
O sea eso, simplemente así en un lenguaje matemático yo se los transmitiría así.
Puede ser que una magnitud, o sea, que algo dependa de una cosa
y que esta cosa, esta u dependa de otra.
¿Sí?
Aquí estoy diciendo y depende de u, pero u depende de x.
Es muy natural pensar si y depende de u y u depende de x,
pues y tiene que depender de x ¿no?
O sea,
aquí realmente lo que está pasando es lo que se llama una composición de funciones.
Así se le ha llamado, o sea, que sería y es una función que depende de x.
Y aquí mientras estoy hablando, ven cómo se esta haciendo esa como cadenita ¿no?
Pues estoy metiendo en la u la expresión que tengo acá.
Cuando estamos hablando de estas expresiones entonces yo podría decir,
dado que y depende de u aquí podría hablar de la derivada de y con respecto a u.
¿Sí?
Dado que u depende de x, puedo hablar de la derivada de u con respecto a x
y ya a propósito estoy utilizando nuestra notación, no es notación,
nuestra concepción de los diferenciales ¿no?,
como el cociente de diferenciales para la derivada.
¿Okey?
En el caso de esta función de aquí,
pues la pregunta sería ¿cuál es la derivada de y con respecto a x, no?
Supónganse que por ejemplo tuviéramos un dato ¿no?,
que la derivada de y con respecto a u fuese un número ¿qué?
Un tres.
Esto me estaría diciendo que a cada cambio infinitesimal de la u le
corresponderían tres cambios infinitesimales de la y ¿okey?
Supónganse acá que tuviéramos un número cuatro ¿no?
Esto me estaría diciendo que a cada cambio infinitesimal de la x
le corresponden cuatro cambios infinitesimales de la u.
O sea, no estoy poniendo unidades ni demás pero simplemente piensen en los números.
Cada vez que u cambia uno, una unidad la y cambia tres.
Cada vez que la x cambia una unidad, la u cambia cuatro.
Entonces, vamos a pensar cada vez que la x cambie una unidad,
¿cuántas veces va a cambiar la y?
Bueno pues si la x cambió una unidad,
ya sabemos que la u va a cambiar cuatro unidades ¿no?
Tengo cuatro unidades que ha cambiado la u.
Pero por cada unidad ¿no?
que cambia la u, la y va a cambiar tres.
Entonces, por cada una de estas cuatro la y va a cambiar tres unidades.
Entonces, ¿qué es lo que obtendría al final?, ¿Cuántas unidades cambió la y?
Pues sería este cuatro multiplicado por este tres.
Se fijan ahí hay una multiplicación, como la manera de resolver esta situación ¿no?
O sea, simplemente lo que tendríamos que hacer aquí,
vamos a utilizar el mismo marcador.
La derivada de y con respecto a x sería este tres por este cuatro, o sea,
sería la derivada de y con respecto a u por la derivada de u con respecto a x y en
este momento con todas las de la ley gracias al desarrollo de Robinson,
de Abraham Robinson podríamos nosotros decir es como cancelar estos diferenciales
de aquí, ¿no?, y entonces es una manera muy adhoc de encontrar las
expresiones de esta que se llama regla de la cadena, okey.
Ahora vamos a ver como se aplica esta regla de la cadena, como se aplica
en diferentes ejemplos y para eso lo que voy a hacer es proponerles un conjunto,
¿no?, de expresiones para hacer las cosas un poco más amenas digamos.
Miren vamos a pensar que tenemos y igual a x cuadrada más uno a la 10.
Esa es una función, sí.
Vamos a pensar que tenemos también un y igual
a digamos aquí e a la x más uno a la 10,
para usar otro de nuestros modelos, y pensemos que finalmente tenemos aquí un
y igual a digamos seno de x a la 10, sí.
A propósito les estoy poniendo los modelos matemáticos que ya hemos
nosotros construido y a propósito les estoy poniendo que esté elevado a una
misma potencia.
Lo que yo quisiera con ustedes ver es que aquí fíjense en este,
en esto que está aquí y en esto y en esto yo puedo ver
la letra u, esta letra u que está acá.
O sea yo puedo pensar que esto es u a la 10, que
esto es u a la 10 y que esto es u a la 10, cierto, claro que las u son distintas,
porque están aquí en el paréntesis de distintas expresiones,
pero al mismo tiempo al verlas de esta manera son iguales, ¿no?
Y la expresión u a la 10, su derivada es algo que podemos hacer fácilmente,
cuál es la derivada de u a la 10, pues sería 10 veces u a la nueve, ¿no?
De acuerdo.
Ahora pero según esto aquí con la regla de la cadena tendríamos que
multiplicar por la derivada de u con respecto a x
y esa derivada ya dependerá de cada una de estas expresiones.
Entonces vamos a ver entonces aquí como utilizando un cambio,
¿no?, en nuestro pensamiento de decir que la u va a ser x cuadrada más uno
o que la u va a ser e a la x más uno o que la u va a ser seno de x, vamos
a poder derivar todas estas funciones utilizando la regla de la cadena.
Entonces si nos pasamos a la siguiente hoja, yo
pienso que mucho de esto ya ustedes lo vieron en un curso de cálculo
entonces pienso que lo que estoy haciendo es un recordatorio pero ojalá y
le sirva esta manera de realizar las funciones como lo tenemos.
Si tengo x cuadrada más uno a la 10, la derivada de y con respecto a x es igual,
aquí estoy viendo ahorita una u cierto, y entonces pongo la derivada de y
con respecto a u por la derivada de u con respecto a x que nos quedaría aquí,
es como ver un u a la 10, se deriva 10 igual a nueve, y la derivada de u
con respecto a x es derivar esto que está aquí de x cuadrada más uno que es un dos x
y total nos quedó aquí un 10 por x cuadrada más uno a la nueve por dos x y
ya se habrán dado cuenta ustedes entonces que es esa cadenita que ya conocían, ¿no?,
bajo el exponente, dejo la expresión que tenía pero al exponente
le quito uno y multiplico por la derivada de lo que está dentro del paréntesis.
Entonces finalmente en matemáticas no nos gusta dejar las cosas así, bueno a mi no
me gusta dejar las cosas así y vamos a poner este 10 con este dos x juntos al
frente, verdad, para que luego no andemos pensando que esta x se puede meter aquí
en el paréntesis elevado a la nueve y aquí nos quedó x cuadrada más uno a la nueve.
Y esa sería ya la derivada utilizando la regla de la cadena.
Hacemos lo mismo con el otro ejemplo, lo que teníamos era un qué,
e a la x más uno a la 10 ahora estamos pensando que esta es nuestra u, sí,
y entonces la derivada de y con respecto a x sería la derivada de y con respecto
a u que sería 10 veces e a la x más uno a la nueve cierto,
ya me comí un paso antes de mostrarla como la u ya lo hice, ¿no?,
directamente y ahora lo que nos falta aquí es multiplicar por la derivada de e a la x
más uno que es e a la x y finalmente escribimos esto como 10 por e
a la x por e a la x más uno a la nueve, ¿no?
No, todo esto se fijan es lo algebraico,
pasamos ahorita al terreno algebraico, pudimos hacer estas cosas,
¿no?, y muchas más y bueno pues parece un terreno seguro o no.
Vamos a seguir con la que habíamos propuesto, un seno de x a la 10,
aquí yo quería hacerles una observación porque cuando estamos elevando toda la
expresión seno de x a la 10 matemáticamente se acostumbra poner
el número 10 aquí, o sea entre la n y la x, o sea eso está indicando que es
toda la expresión de seno de x que la estoy elevando a la potencia 10.
Entonces cuando estemos derivándola,
esta más vale verla así porque aquí es donde está la regla de la cadena,
y aquí ya podría decir yo que la derivada de y con respecto a x va a ser que,
10 veces dejo sen x a la nueve, y aquí me faltaría
multiplicar por la derivada del seno de x que es coseno de x, ¿no?
Y entonces nos va a queda finalmente 10 coseno de x por seno
de x a la nueve que puedo ponerlo como les dije acá, ¿no?,
poner el número nueve ese exponente entre la n y la x, ¿no?
Ya tenemos este conjunto de funciones, se fijan,
o sea todas estas funciones o sea se derivaron digamos prácticamente igual.
Me gustaría poner como un conocimiento, ¿no?, de todas estas fórmulas,
hacer un conocimiento integrado, ¿no?, esto es muy dado en matemáticas
y les digo es una habilidad pues que yo pienso es de gran utilidad,
a cualquier persona, lo que sea que se dedique.
Quiero ver en todo esto una misma expresión,
o sea quiero generalizar y la generalización es como una abstracción,
es un nivel superior, ¿no?, en nuestro pensamiento en donde decimos todas estas
cosas concretas se van a ajustar en un modelo, en un molde general.
Y entonces podría empezar diciendo pues que tiene que haber una y, verdad y
después pues tengo expresiones que son funciones que dependen de x,
entonces vamos a poner aquí nuestra paréntesis y le ponemos
aquí función de x, ¿no?,
cierto, y esta función de x está elevada a la potencia 10 pero igual
puedo poner a la potencia n, ¿no?, donde la n es un número natural,
uno, dos, tres, cuatro, cinco, así, ¿no?, okey.
Este es el molde para las funciones y como
es que se van a derivar estas funciones, vamos a derivarlas con otro color.
La derivada de estas funciones va a ser, quería poner este,
la derivada de y, uy no hubo tanto cambio, con respecto a x es igual,
¿qué es lo que tendríamos que hacer?, repitiendo lo que hicimos acá
sería bajar la n, dejar la fórmula de la función
de x a la potencia n menos uno que aquí fue nueve,
¿no?, y después de eso multiplicar por el dos x o aquí por el e a la
x o aquí por el dos x, ¿no?, o sea
multiplicar por de esta su derivada, ¿no?,
derivada de la función de x.
A propósito he utilizado un lenguaje muy cotidiano
y créanme realmente la simbolización matemática es producto de una evolución
increíble, ¿no?, y bueno pues ahorita yo quería mejor mostrárselos de esta manera
porque pudiera ser algo más reconocible.
Tengo una función elevado a una potencia n, entonces qué es lo que voy a hacer para
derivarla, bajar el exponente, dejar la función al exponente le quito
uno y multiplico por la derivada de lo que estaba dentro del paréntesis, ¿no?
Entonces esta es nuestra fórmula,
vamos a dejarla por aquí cerquita para saber que este es uno de los aprendizajes
ya, que tenemos y vamos pasando ahora a otro tipo de generalización.
Y en este tipo de generalización pues yo le propongo pensar en una,
por ejemplo en una expresión como esta, ¿no?
Vamos a pensar que tenemos una y igual a e a la x cuadrada más uno, sí.
En este caso en nuestra función exponencial
pero en el exponente tenemos una expresión que depende de x, ¿no?
Yo puedo ver aquí el caso otra vez de una u,
es como si esta expresión de aquí fuera una u, ¿no?,
esta u que depende de x, cierto, y entonces cuando la derivemos vamos
a tener necesariamente que usar nuestra regla de la cadena y tendremos que la
derivada de y con respecto a x es qué, es la derivada de y con respecto a u.
Pero si yo tengo una e a la u, la derivada es e a la u.
Y luego sigue multiplicar por la derivada de la u y la derivada de la u es este,
derivar x cuadrada más uno que es un dos x.
Finalmente nos queda, e a la x cuadrada más uno por un dos x ¿no?
Y entonces aquí re acomodamos para dejar las cosas un poco más
ordenadas y tenemos entonces nuestra derivada utilizando la regla de la cadena.
¿Okey?
Un ejemplo análogo a este sería si tomamos vamos a tomar este color,
una y igual a sen de x cuadrada más uno, por ejemplo.
¿No?
En este caso al derivarlo otra vez estaríamos viendo
en x cuadrada más uno a nuestra u ¿cierto?
Y entonces al derivar el sen sabemos que la derivada de y
con respecto a x es la derivada del seno de u con respecto a u, que sería el
coseno de u por la derivada de u con respecto a x que es el dos x ¿no?
Y entonces aquí nos va a quedar acomodado dos x coseno de x cuadrada más uno.
Con esto lo que les he mostrado entonces es una expresión también que es
derivable con la regla de la cadena y que se podría generalizar de esta forma ¿no?
Primero de los casos tener y igual e a la f de x,
a una fórmula de x O en el segundo de los casos que es este de aquí sería
tener y igual a seno de f de x o bien y igual a coseno ¿no?
de f de x es lo mismo,
recuerdan que igual ya tenemos la derivada de seno y de coseno.
Entonces para estos casos de funciones podríamos tener
nuestra regla de derivación ya expresada de manera general,
que sería derivada de y con respecto a x es e a la f de x
por la derivada de f de x que es nuestra u, por f prima de x ¿no?
Okey.
Y en este caso para la derivada de y con respecto a x siendo el seno de f de x,
sería el coseno de f de x multiplicado por f prima de x.
En este caso del coseno igual ¿no?
Entonces quedaría que la derivada de y respecto a x es menos el seno de f de x
por la derivada, por f prima me quedo acá abajito ¿no?, por f prima de x.
Y sirve de que les hago el comentario porque aquí es muy común confundir que
esto y esto se multiplica, como si cos fuera algo también que se está
multiplicando y estas notaciones les digo son difíciles de manejar realmente.
Más vale que la pongamos aquí adelante como yo estoy acostumbrada
para evitarnos la tentación de multiplicar f prima por f de x.
En este caso también pondríamos que menos f prima de x por seno de f de x.
Estos dos conjuntos también de expresiones son otras maneras de aplicar
la regla de la cadena ¿okey?
Y con este aprendizaje podríamos hacer otras cosas más.
Les propongo hacer una generalización que nos conviene ¿sí?
En esta generalización espero que esta idea de que una magnitud dependa de otra
y la otra de otra más nos sea útil cuando tengamos una expresión como la siguiente.
Ustedes saben que hasta ahorita hemos sabido derivar x a la n,
dónde n es un número natural ¿cierto?
Pero ahora lo que quiero es que seamos capaces de derivar x a la n entre m.
O sea, pensar que tengo x a la dos tercios, a la cinco cuartos,
a la siete novenos ¿no?
O sea, meter ya los radicales dentro de las expresiones.
Para hacer esta derivada, ojalá y las cosas fueran bien padres y
fuera de bajar el n entre m por x a la n entre n menos uno.
Y yo sé que si ya han visto cursos de cálculo este adhesivo digamos que,
de las cosas que más se remarcan.
Y bueno, lo único que yo quisiera es llegar a esa expresión ahora
pero con todas las de la ley.
¿A qué me refiero?
Vamos a hacer algo que sirve de que ustedes lo recuerden ¿no?,
en cuanto a cuestiones algebráicas.
Si yo tengo n entre m aquí, o sea, realmente decir x a la dos tercios
es lo mismo que decir x cuadrada a la un tercio ¿cierto?,
los exponentes se multiplican ¿no?
Y esto es lo mismo que tener un x cuadrada pero una raíz cúbica de x cuadrada.
Que líos con la notación, se me hace que ahora esto es más,
esta peor que el caos ¿no?
cuando los muchachos tienen que tratar con estas notaciones y uno no está tan
acostumbrado.
Este es un lenguaje matemático que les digo merece su cierta práctica ¿no?
muy algorítmica para ser manejado en su totalidad.
Pero bueno, ahorita lo que quiero recordarles es que realmente este m está
haciendo las veces de un exponente uno entre m ¿okey?
Y que si yo hubiera querido que este radical
desapareciera lo que hay que hacer en toda la expresión es elevar al cubo ¿okey?
O sea, lo que quiero que hagamos ahorita es que en esta expresión
se los voy a poner así,
es como si todo lo de acá lo elevo a la m y todo lo de acá lo elevo a la m.
Con ese color rojo, podríamos entonces ver que en este caso de acá al hacer la
multiplicación se nos va a cancelar la m y entonces la expresión va a quedar
como y a la m igual a x a la m.
¿Cierto?
Y ahora en esta expresión me gustaría que ustedes pensaran
que esta y depende de x ¿okey?
Está elevado a la m, pero ella misma depende de x,
es como si esta y fuera la u de las hojas anteriores.
¿Okey?
Y entonces cuando derivo en esta parte, es como estar derivando la u a la m.
Lo que les estoy pidiendo es que cuando derivemos aquí pensemos en
bajar el exponente, dejar la y o dejar la u a la m menos uno y multiplicar
por la derivada de y con respecto a x, porque la y dependía de x.
Es como la derivada de u con respecto a x en los ejemplos que tenemos justo acá.
Es como esto de aquí o este de acá.
¿Okey?
Entonces de esta manera del lado derecho al derivar x a la
n con respecto a x quedaría n x a la n menos uno ¿no?
Y entonces ahorita tendríamos oportunidad de hacer un despeje de esta expresión.
Lo que les estoy ilustrando es algo que a lo mejor ustedes pudieron haber conocido
como derivación implícita ¿sí?
O sea, implícitamente aquí la y depende de la x y por eso al derivarla
aparece este factorcito que es el algo consecuencia de la regla de la cadena,
la derivada de la y ¿okey?
Entonces al despejar aquí dy dx, ¿qué me va a quedar?
Dijimos dy dx es igual a n x a la n menos uno y estarán
de acuerdo conmigo que esta parte de acá, se va a pasar del otro lado dividiendo.
Entonces nos va a quedar aquí una m y a la m menos uno ¿okey?
Pero, esta y la podemos escribir como lo que era aquí está en azul.
Y es x a la n entre m ¿no?
Entonces aquí la expresión nos va a quedar n x a la n menos uno entre m por x a la
n entre
m y esto va a estar a la m menos uno.
¿Qué tal?
Ahora sí, esto ya fue un caos ¿no?
Pero, no pasa nada.
Todo lo vamos a poder hacer si nos vemos bien organizados ¿no?
Y hacemos bueno, lo que se debe de hacer desde el punto de vista algebraico.
Si me permiten, voy a tomar mejor una hoja para no voltear la que tenemos aquí
y poder seguir con este hilo ¿no?, de la expresión.
Aquí abajito entonces estoy en esta parte y sobre esa parte vamos a trabajar.
Vean ustedes como esta x a la n entre m se va a elevar a la m menos uno,
para eso los exponentes se multiplican.
Entonces lo que tendríamos aquí sería un n x a la n menos uno,
copié lo de arriba sobre un m por un
x a la n entre m por m menos uno.
Lo único que hice fue ponerlos multiplicándose a los exponentes.
¿Okey?
Y ya que están multiplicándose entonces,
ahora sí vamos a poder hacer la multiplicación ¿no?
de los exponentes.
Tenemos en x a la n menos uno entre un m por x,
aquí quedaría n entre m por m que sería n.
¿Si me siguieron?
N entre m por m, se van las emes queda la n,
menos uno por n entre m que sería n entre m.
¿Okey?
Ahí vamos.
Vean ustedes que aquí nos va a quedar entonces el n entre m,
estos dos que están aquí los junté en una misma división y acá tendríamos en nuestra
división una x a la n menos uno y acá una x a la n menos n entre m.
¿Okey?
Tenemos la misma base, los exponentes distintos.
¿Qué pasaría si yo les recuerdo acá no entre nubes, entre nubes, no?
¿Qué pasa si tengo x al cuadrado entre x al al,
vamos a ponerle a la cuatro entre x al cuadrado, ¿no?
Va a quedar un x cuadrada pero esto es como haber hecho este paso,
¿no?, de x cuadrada arriba como x a la menos dos, sí.
Estoy hablando de las famosas reglas de los exponentes para que ustedes me sigan
cuando aquí voy a pasar este exponente, lo voy a pasar arriba pero restando, sí.
Entonces nos va a quedar n entre m y aquí la x,
ahora sí va a ser una misma x elevada a la n menos uno
menos el exponente de abajo, que es n menos n entre m.
Y al hacer esta resta nos va a quedar finalmente
n menos uno menos n más n entre m.
Ustedes ya observaron el que le gusta hacer estas cosas ha de estar bien
entretenido ahorita, ¿no?, a mi me gusta pero no es lo único que me gusta.
Esta n y esta menos n se van y ya nada más me quedó n entre m por x a la
n entre m menos uno, y tanto, tanto que hicimos para llegar a lo que
seguramente ustedes ya habían manejado antes, pero bueno esto es parte también de
la matemática, ¿no?, y vale la pena que ustedes lo puedan recordar.
Lo que hemos logrado es lo siguiente, que si yo tengo una expresión
y igual a x a la n entre m, para derivar esa
expresión tengo que hacer lo mismo que hacía antes o sea bajar el exponente,
dejar la x, y al exponente quitarle uno, okey.
Y con eso bueno, pues ya tenemos entonces un paso más porque podemos derivar
cualquier cosa que sea x a la n donde la n puede ser un número racional, puede
ser un quebrado, puede ser tres entre cinco, dos entre siete, x, lo que sea.
Okey.
Con esto estoy recordando ahorita que hay,
la palabra derivación implícita es algo importante sobre todo en
diferentes áreas porque no siempre una función está explícita,
entonces valdría la pena que manejáramos un poquito más eso,
me gustaría que viéramos ahorita una imagen que tengo en mi computadora.
Esta imagen lo que les va a mostrar es un círculo, ¿no?, un círculo,
ahí está la expresión x cuadrada más y cuadrada es igual a a cuadrada.
Estamos descansando de las fórmulas, verdad, viendo ese círculo que crece y
luego se hace más chico, está variando el radio porque este software
me permite hacerlo con el parámetro a, que tenemos aquí, okey.
Bueno, ese círculo, sí, es expresado matemáticamente, aquí tengo la expresión,
y si quisiera ahorita verlo desde un punto de vista donde el cálculo es
derivo funciones, tendría que despejar de ahí la función, okey.
Despejar de ahí la función quiere decir que la y se tiene que despejar,
si la despejo esa y la voy a poder derivar, okey, pero yo los invito a qué,
aún sin despejarla podamos derivar y en función de x,
¿por qué?, porque tenemos este método de la derivación implícita.
Entonces si me acompañan aquí en el papel, tenemos nuestra expresión que sería
x cuadrada más y cuadrada igual a a cuadrada, okey,
y siempre vamos a pensar implícitamente, ¿no?, que esta y es función de x,
es como la u en la regla de la cadena y entonces cuando derivemos todo,
toda la expresión diríamos derivada de x cuadrada es dos x, más derivada de y
cuadrada es dos y por la derivada con respecto de x, igual a la
derivada de la constante de a cuadrada que es un cero, okey, y entonces vamos a poder
despejar esta derivada de y con respecto a x que es lo que nos interesa.
Entonces quedaría que, dos y de y de x igual a menos x,
pasé este con el signo negativo del otro lado, finalmente el dos y pasa dividiendo
y entonces nos quedaría de y de x es igual a menos dos x entre dos y,
y aquí tenemos menos x entre y como la respuesta, ¿no?
Esta derivada queda expresada en términos de la x y de la y,
pero igual o sea si volvemos al dibujo ahorita o sea nada nos
impide que en cualquier momento que yo considere un círculo en particular,
por ejemplo este que tenga un radio de, cuánto le estoy poniendo de un 9.3,
ese 9.3 es el radio, puede ser un ocho, ¿no?, aquí está el ocho como radio.
Cada vez que yo tenga un punto aquí en el círculo, podría acercame a él,
¿no?, y acercarme y acercarme y al acercarnos vamos a encontrar ahí
un comportamiento de recta, ¿no?
Y ese comportamiento de recta nos estaría calculando el valor de la
derivada en ese lugar.
Y ese valor va a depender de cuanto es este x y cuanto es este y,
¿no?, que podemos calcular gracias a la expresión de el círculo, ¿no?
Pero volvamos a nuestro círculo original, déjenme regresarme a donde estábamos
porque quería mostrarles yo con esta idea algo que pudiéramos hacer nuevo
gracias a la derivación implícita, que realmente es un tema desde uf,
desde Descartes y quisiera mostrarles como con este tipo de graficadores
podemos hacer cosas interesantes, ¿no?, aquí tengo una expresión,
vamos a salirnos de los puntos, y les voy a mostrar esta
que tengo yo aquí escondidita porque dije porque yo no puedo ponerle x cúbica más y
cúbica es igual a a cúbica, ¿no?, o sea si x cuadrada más y cuadrada es a cuadrada,
pues que va a ser x cúbica más y cúbica, igual a a cúbica,
y bueno pues la ventaja de esta tecnología es que aquí lo tengo en
este mismo instante, esa conjetura que yo hubiera podido tener
de lo que sería, la puedo yo verificar con lo que estamos viendo en la imagen.
Déjenme la pongo un poquito hacia acá.
Curiosa curva, ¿no?, como se le hace esta,
como salta por aquí esta expresión, okey, se ve que no es una curva cerrada,
pero igual, bueno independientemente de eso encontrar
cual es la pendiente de la recta tangente en cualquiera de estos puntos de la curva,
es simplemente utilizar nuestro método de derivación implícita, ¿no?
Pero en lugar de hacerlo con ello que sería sencillo, me gustaría mejor que lo
hiciéramos con el caso de una curva que les quiero mostrar acá,
vamos a cancelar esta y ahora pongamos en la expresión lo que tengo aquí arribita,
esto que ustedes van a ver se llama iii, y esta iii vamos a ponerla con color morado,
sí, vean como es, es como el infinito, o un ocho volteado.
Es una curva que tiene unas propiedades mecánicas increíbles porque mientras un
punto se mueve por aquí puede estar dando lugar acá que se hagan otras cosas,
realmente estas curvas tuvieron ese principio, ¿no?, de mecánica para
poder producir otro tipo de movimientos, ¿no?, con artefactos en particular.
Entonces esta iii tiene una expresión aquí complicadilla como se puede ver acá
arriba, sí, me gustaría que intentáramos encontrar la derivada de la iii,
o sea aún cuando no puedo despejar la y de esa expresión, es imposible de hecho.
Los matemáticos se tuvieron que ver en la necesidad de encontrar la derivada aún
cuando no tuvieran la expresión disponible, entonces acabemos este video
haciendo esa expresión posible ahora, gracias a la derivación implícita.
Entonces vamos a derivar nuestra iii, recuerden que para eso pues esta y que
está aquí y esta y que está aquí son, es una función que depende de x, y ahorita,
aún y cuando esa y no está despejada vamos a ver una derivación implícita,
¿no?, siempre recordando que nuestra y depende de x,
y que andamos buscando la derivada de y con respecto a x, ¿no?
Entonces si empezamos con el trabajo aquí duro de derivar implícitamente,
x cuadrada más y cuadrada al cuadrado se deriva bajando el dos,
por x cuadrada más y cuadrada que nos va a quedar a la uno,
después de eso derivaríamos la derivada de lo que tenemos aquí que sería un dos x
más dos y por la derivada de y con respecto a x, cierto.
Ahí apareció esa derivada que andamos buscando.
Y después nos quedaría el menos dos a cuadrada y aquí al derivar x cuadrada
nos va a quedar un dos x y al derivar menos y cuadrada nos quedaría menos dos y
por la derivada de y con respecto a x.
Esto es igual a la derivada de un cero que es cero, okey.
Vamos a hacer aquí las multiplicaciones,
vean ustedes que en este caso necesitaremos multiplicar
cada uno de estos términos por los dos que están acá y eso nos
va a hacer que nos aparezcan dos veces nuestra derivada de y con respecto a x.
Vamos adelante, esto sería un qué, el número dos multiplicado por x cuadrada y
por dos x nos quedaría un cuatro x al cubo,
sí, aquí lo que hicimos fue multiplicar estos dos por el dos x.
Después seguiría un más dos y cuadrada por el dos x que sería un cuatro y cuadrada x,
en este caso fue este dos y cuadrada por este dos x nos daría el cuatro y cuadrada
x y después este dos por x cuadrada y por dos y de y de x,
nos quedaría un cuatro x cuadrada y de y de x.
Finalmente este dos y cuadrada por dos y de y x nos daría
cuatro y al cubo por de y de x.
De este lado nos va a quedar después un menos cuatro a cuadrada
x más un cuatro a cuadrada y de y de x.
Y todo esto es igual a cero, ¿no?
¿Cuántas veces apareció nuestra derivada?
Apareció aquí, apareció aquí, ¿no?, apareció aquí.
Esos tres términos les propongo que los dejemos del lado izquierdo de la igualdad
y del lado derecho pasamos el resto, ¿no?
Y entonces qué es lo que nos quedaría del lado izquierdo,
una vez que ya factorizamos de y de x, nos quedaría de y de x que multiplica
a el primer término sería este que está aquí, que sería cuatro x cuadrada y,
el siguiente término sería este cuatro y al cubo,
todo eso está multiplicado por de y de x y luego nos restaría aquí un
cuatro a cuadrada por y, okey,
todo esto está multiplicado por de y de x, y por otro lado esto va a ser igual,
este lo pasamos de este lado con signo positivo, cuatro a cuadrada x
y estos dos términos que están aquí van a pasar del otro lado con signo negativo,
menos cuatro x cúbica menos cuatro y cuadrada x, ¿no?
Finalmente para obtener nuestra derivada lo que habría que hacer es despejar,
¿no?, y de y de x es igual a un cociente, ¿no?
Donde en la parte superior lo que pondríamos es cuatro a cuadrado x
menos cuatro x cúbica menos cuatro y cuadrada x
y en el denominador pondríamos cuatro x cuadrada y
más cuatro y cúbica más cuatro a cuadrada y.
Nada de esto se puede juntar, lo único que estoy viendo es un cuatro que ya me está
molestando que podríamos sacarlo arriba, podríamos sacarlo abajo, factorizarlos,
cancelarlos y la expresión va a quedar mucho mejor, vale la pena el esfuerzo.
Que sería, a cuadrada x menos x cúbica menos
y cuadrada x entre x cuadrada y
más y cúbica más a cuadrada y, ¿no?
Finalmente con bastante trabajo hemos logrado
llegar a nuestra derivada utilizando el método de derivación implícita
y bueno con esta hoja yo creo que ya los deje más asustados que con el caos,
que con la teoría del caos y que, y bueno pues es que así es también la matemática,
en el lenguaje algebraico hay muchas cosas, hay muchos recovecos,
muchas cuestiones que se nos pasan cuando no estamos acostumbrados
a trabajar con ese tipo de lenguaje pero igual les digo esto lo pudimos hacer,
¿por qué?, porque nuestra iii es una curva derivable,
¿no?, bien portada, o sea nada que ver con el caos y bueno,
ese tipo de curvas han sido importantísimas y lo siguen siendo,
o sea este cálculo diferencial es nuestra perspectiva de cierto
tipo de situaciones que en un gráfico se ven suaves,
¿no?, que se ven amables, amigables, que en lo algebraico también son tratables,
¿no?, y que siguen siendo útiles.
No obstante la realidad es que la matemática nos está
haciendo descubrir qué admirar en la actualidad.
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