Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. La transferencia a varios contextos reales permitirá fortalecer un aprendizaje con significado e integrar tecnologías digitales especializadas. El objetivo es desarrollar un pensamiento matemático en el aprendizaje de contenidos relacionados con el Modelo Cúbico.El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Una caja sin tapa
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3.- El Cálculo - Modelo Cúbico
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Aplicaciones con cúbicas
Hablaremos de la aplicación conocida como la optimización de funciones considerando el Modelo Cúbico. Con ayuda de la tecnología, interpretaremos el efecto gráfico que se refleja al introducir un parámetro en la representación algebraica de ciertas funciones cúbicas.
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Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Uno de los tipos de problemas que dieron origen al cálculo en los problemas de
optimización, ese tipo de problema yo creo que
es un problema que a todos nos importa.
¿Qué quiere decir optimizar?
Quiere decir, digamos, sacar mejor provecho de algo.
En ese sentido, bueno pues imagínense, ésa
ha sido una preocupación de la humanidad ¿no?
desde tiempos muy remotos.
Ahorita, que estamos en el modelo cúbico, tenemos la ocasión
de traer digamos sobre nuestro curso algunos problemas relacionados con esto.
Quisiera que los viéramos, nos ambientáramos un poquito.
La situación que les quiero platicar, se me ocurría ahorita, es bueno
pues en principio voy a tratar de ver algo en Google ¿no?,
que nos pudiera dar una idea de por dónde vamos a andar.
Entonces, si me acompañan en la computadora; miren, yo le voy a teclear
ahorita en mi computadora, me puse en Google, y me puse en las imágenes; y le
voy a pedir que me dé imágenes de un pa-ra-le-le-pí-pe-do.
Se los estoy escribiendo todo, ¿no? rectangular.
Voy a decir así, y a ver qué nos saca. Y miren, de esto
es de lo que les voy a estar hablando ¿no?,
paralelepípedo rectangular.
Bien, hasta edificios, etcétera.
Bueno, éste no es un paralelepípedo rectangular.
Bueno, pero igual, podría decirle prisma, pero vamos a ponerle un prisma,
prisma rectangular. Y entonces aquí tenemos algo ¿no?,
también relacionado con lo que vamos a hablar,
aunque este prisma no es rectangular. Pero bueno.
Miren, vamos ahora a a pensar, digámosle,
mejor en una, digamos una caja de
cartón, cartón
rectangular. De nuevo, vamos a poner una caja de cartón
Bien, tenemos montones de cajas de cartón. Tienen
esas mismas formas ¿no?, algunas hasta medio curiosas.
Bueno vamos a ponerle para acercarme más a lo que quiero,
pidámosle que sin tapa, que fuera una caja de cartón sin tapa.
Estas son las imágenes de las que estaríamos hablando ahorita ¿no?,
de la construcción de una caja sin tapa, ¿si?
Hay mucho surtido aquí.
Todos de diferentes, unas más bonitas, bueno esta no se que está haciendo aquí
pero bueno, esta hasta se antoja. Pero bueno, you se está dando hambre.
Mejor vamos a imaginarnos una que sea, que tenga menos,
menos digamos, invitación ahorita.
Miren, piensen en esta que está aquí y yo lo que les pido es ahora,
se concentren en su mente, vean en su cabeza,
osea piensen en esa caja, you la vieron en Google.
Piénsenla en su cabeza y yo los invito a que nos imaginemos como
queda la caja si la, si la desdoblo. Osea, si la desdoblo.
Si trato de ver digamos solamente el material del cual la caja fue
fabricada. Podríamos imaginárnoslo de cierta manera,
o podríamos simplemente agarrar una lámina ¿no?
. Miren.
Yo creo que con esta lámina, bueno no
es una lámina precisamente pero you aquí tengo,
se me acabó mi block me quedó lo de atrás, entonces aquí tengo por ejemplo ¿no?,
una digamos que este es un cartón que tiene ciertas medidas.
Y que con ese cartón vamos a formar esa caja ¿no?,
que nos imaginamos.
Así como nos lo imaginamos ahorita,
yo creo que en la animación que les voy a presentar, va a quedar más claro ¿no?,
como es que se produce esa caja sin tapa que,
de un material como este que you está digamos fijo previamente.¿Okay?
Entonces si me acompañan en la computadora.
En esta animación que les voy a presentar, les voy a hacer digamos
la las cosas más sencillas ¿no?,
en su mente, más de las que nos pudimos haber complicado nosotros también.
Tenemos una pieza rectangular de cartón de dimensiones dieciocho centímetros por doce
centímetros, y de ahí vamos a construir diferentes cajas sin tapa.
Hay quienes hubieran pensado o pueden pensar que la caja va a ser única ¿no?,
pero no.
Vamos a pensar por ejemplo,
ese cartón es como el que yo tenia aquí ¿no?,
físicamente con ustedes.
¿Cómo se construye esa caja?
Bueno, a eso es a lo que yo quería que ustedes se imaginaran ¿no?,
cuando les decía que desdoblaran la caja.
Queda una figura como la que estamos viendo ahorita en la animación.
you le cortamos en las esquinas esos cuadrados ¿no?,
en estas esquinas, todos iguales si no nos va a quedar muy bien la caja.
Y entonces
lo que se hace es pues eso que están viendo ¿no?,
como levantar las cejas y entonces you me quedó una caja un
poco chaparrita como la están viendo
ahorita, you formada por sus caras laterales.
Vamos a hacer un ejemplo en particular.
Pensemos que, calculamos el volumen de la caja cuando el
lado de los cuadrados recortados mide uno punto ocho centímetros.
Osea you está
el uno punto ocho que es lo que vamos a
recortar en esta esquina, en cada una de la esquinas.
Allí en la animación yo les hice una copia ¿no?,
como fantasma para que recuerden de donde venimos.
Ponemos la basura en su lugar, you cortamos
nuestros cuadritos, y entonces procedemos a armar nuestra caja.
Y you que está ahí armada vean ustedes como las dimensiones se
obtuvieron haciendo la evocación de donde vienen ¿no?
Ese uno punto ocho que teníamos aquí es justamente lo que recortamos.
Y vean como este catorce punto cuatro es el
dieciocho menos dos veces uno punto ocho, como que
uno tiene que quitarle los dos x, los dos
valores perdón, que tomamos uno punto ocho de ambos lados.
Allí está el cálculo ¿no?,
nos lo hizo la manita ¿no?
Aquí tenemos un dieciocho menos dos por uno punto ocho, un
doce menos dos por uno punto ocho y el uno punto ocho.
¿Por qué?
Porque el volumen de una caja se calcula
multiplicando el área de la base por la altura.
Eso dice el volumen de un paralelepípedo rectangular o de un prisma rectangular.
Es más, de cualquier prisma, siempre es una
área que se levanta a una cierta longitud
que es la altura.
Entonces hay que multiplicar el área de la base por la altura.
El área de la base en esta caja sería
lo que les estoy tratando de rellenar con el cursor.
Es esta zona de aquí cuyas medidas son esta y esta ¿no?,
se multiplican y se multiplica a su vez por el
uno punto ocho que viene a ser la altura ¿no?
Entonces tenemos un volumen de doscientos
diecisiete punto siete veintiocho centímetros cúbicos.
Si hacemos otra
caja diferente pero con el mismo, este mismo cartón que teníamos,
el volumen no tenemos que pensar que va a salir igual.
Entonces vamos a hacerlo ahora recortando
los cuadrados de tres punto nueve centímetros.
Entonces ahí nos traemos nuestras tijeritas ¿no?,
entonces vamos a cortar en estos extremos, los tres punto
nueve centímetros en todos los lados, en los cuatro lados.
La basura en su lugar.
De nuevo ponemos nuestra caja para levantar la ceja y ahí está.
Ven como quedó más altita. Pero a la vez nos quedó en el área ¿no?,
la zona de aquí quedó más pequeña ¿no? .
Entonces ganamos en altura pero perdimos en el área de la base.
Aquí están las longitudes de donde vienen y
estamos calculando nuestro volumen, que va a quedar
igual ¿a cuánto?
Ciento sesenta y siete punto cero siete seis.
Ustedes dirían estaba mejor la otra ¿no?
. Osea la otra tenía un volumen mayor.
Si tuviera que escoger una caja con un volumen mayor, pues escogería la anterior.
Si la quisiera con volumen menor, pues sería esta.
Esto que les digo you empieza a ver un problema de optimización.
Mi problema va a ser ahora encontrar
esa caja que encierre el mayor volumen posible ¿no?
¿Cómo hacemos eso matemáticamente?
Tenemos que considerar una caja general, se fijan eso es bien matemático.
Hablar en general, y la longitud de los cuadrados que vamos a
recortar en las esquinas, estos de aquí, ¿como les vamos a llamar?,
genéricamente les llamamos x ¿no?
¿Por qué? Pues porque
en la matemática nos encantan las x.
Entonces hacemos nuestra copia, traemos nuestras tijeras
y quitamos nuestras x, x, x, x.
Y tenemos entonces nuestra caja genérica ¿no?
Formada con ese material original ¿no? .
Y lista para que construyamos una función.
Ahorita la manita lo está haciendo, se fijan, ese dieciocho
menos dos x, sería como un recordar que antes quitábamos, a
dieciocho le quitábamos dos veces lo que quitábamos en ambos lados.
Luego tendremos doce menos dos x, y luego tendríamos nuestra x.
Entonces ahí tenemos el producto del área de la base
por la altura, donde ahora la altura es justamente la x.
¿Qué nos quedó?
Nos quedó ahora que el volumen es doscientos dieciséis
x, menos sesenta x cuadrada más cuatro x cúbica.
Claro, eso porque la manita nos hizo el favor de hacer la multiplicación.
Pero para nosotros, ese es un problema que deberemos de resolver.
Estamos construyendo esa función.
Yo los invito a que vengan acá en el papel, junto conmigo y que no
desaprovechemos cualquier oportunidad que tengamos de hacer el uso de
la notación matemática, y las operaciones algebraicas necesarias.
Entonces yo voy a copiar aquí, yo tengo aquí mi cajita ¿no?,
muy este, motivante ¿no?, para la comida, para un postrecito.
Y entonces tenemos aquí que el volumen, es más,
vamos a usar nuestra notación de función, ¿les parece?
El volumen depende de x, qué es x, es esta longitud ¿no?,
de la altura de la caja
que tomamos. Y esta dada por dieciocho menos dos
x por doce menos dos x por x ¿no?,
vamos a ponerle así.
El dieciocho menos dos x pues vendría siendo esta longitud ¿no?
El dieciocho menos dos x es esto, el doce menos
dos x pues sería la longitud que está acá ¿no?
Y aquí esta you la x. Entonces cuando
hacemos esta multiplicación, yo diría lo mejor
sería primero que multiplicáramos estos dos binomios.
Entonces tendremos que hacer una multiplicación de ¿cuánto?
. De dieciocho por doce.
Aquí traigo mi calculadorcita para hacerlo rapidito.
Déjenme ver si la pueden ustedes ver.
Esta me traje la de los números chiquitos como
ven, es dieciocho, nada más que tenía que borrarlo, ¿verdad?
Dieciocho por doce nos quedan doscientos dieciséis.
Entonces tenemos aquí, este por este es doscientos dieciséis.
Luego dieciocho por dos x nos quedaría menos
treinta y seis x, no necesito la calculadora ahora.
Menos dos x por doce, ahora que estoy haciendo este
por este, dos x por doce serían menos veinticuatro x, ¿verdad?,
y finalmente menos
dos x por menos dos nos va a quedar tanto como cuatro x cuadrada.
Y todo esto va a estar multiplicado por x, ¿verdad?
Entonces acomodemos las cosas y como
buenos matemáticos juntamos las cosas comunes.
Nos quedaría aquí un doscientos dieciséis menos, a treinta y seis le
sumamos veinticuatro, nos lo hacemos a pié a ver, seis y cuatro
son diez y llevamos una, tres y una cuatro y dos son seis, me queda un sesenta
x, más cuatro x cuadrada, todo por x y nuevamente, como nos gustan
las cosas ordenaditas, vamos a poner nuestro término cúbico al principio.
Esta x se tiene que multiplicar por todos, ¿verdad?,
entonces nos va a quedar el primer término vamos a
dejarlo como cuatro x cúbica, menos sesenta x cuadrada más
doscientos dieciséis x.
Esta es nuestra función de volumen que depende de x, ¿no?
Si yo me regreso ahorita a la animación, estoy leyéndoselos ¿no?,
doscientos dieciséis que dice, doscientos dieciséis x menos
sesenta x cuadrada más cuatro x cúbica ¿no?,
osea que lo hicimos muy bien.
Tenemos ahora esa expresión y vamos a considerar
algo que es importante cuando la matemática se aplica.
Ese modelo matemático que ustedes ven, el
modelo cúbico, tiene digamos un dominio, quiere
decir, todos los valores que puede tomar la x, que serían todos los números reales.
Pero en el contexto real de la
construcción de esta caja, es necesario que nos
preguntemos, ¿qué valores puede tomar la x?
Porque esa x no es cualquier x.
Es una x que significa lo que yo recorté aquí ¿no?,
en las esquinas para después formar la caja.
Es la altura de la caja ¿no? .
Entonces en ese sentido habrá ciertas restricciones.
Si ustedes se imaginan ¿no?, voy a hacer algo con esto,
yo pienso que si lo pueden ver.
Esto que estoy haciendo aquí es marcarles por ejemplo, miren, este es
una x, no la voy a poner de los cuatro lados, ¿no?
Si yo recorto con las tijeras mi caja va a quedar bien chaparrita.
Ahora, vamos a hacer que la x hubiera sido más grandecita ¿no?,
como esta ¿no?
Si recorto esto en los cuatro lados,
entonces la caja you creció un poquito ¿no?,
en altura. Si pero se redujo un poco el área.
Entonces con esta nueva longitud de x ¿no?,
ahí lo recortamos y ponemos aquí nuestra caja, pues entonces esta caja con
este valor de x va a quedar más alta pero aquí el área de la base se va a reducir.
¿Hasta donde puedo llegar a hacer esto, no?
¿Hasta cuando puedo yo hacer que esta x crezca?
. No se si ahorita lo perciban, me fui muy
derecha ¿no?, pero ahorita you hice una x bien grande.
Pero si pongo la misma x acá y la pongo acá, vean ustedes que está pasando, ¿no?
Vean lo que nos va a quedar aquí está bien chiquito ¿no?,
¿cierto?
¿Cuánto es lo más que yo pudiera haber agrandado esta longitud, cuánto?
Pues la mitad.
La mitad justamente de este, de este lado del cartón.
Si este
cartón medía doce, entonces la mitad sería seis ¿no?
Osea lo más que podría yo doblar aquí sería un seis.
Yo estoy de acuerdo con ustedes en que allí no va a haber caja.
Osea se van a empalmar ¿no?,
entonces en ese sentido, no tenía que tendría caso considerar esa caja.
Pero matemáticamente si se puede aceptar ese valor con esa interpretación.
Entonces si los invito en mi presentación.
Los valores numéricos que vamos a aceptar para la x en esta construcción ¿no?,
de la caja, van a ser los valores entre cero y seis centímetros.
Si me permite aceptar el cero, eso quiere decir que mi caja va
a ser tan chaparra, pero tan chaparra que su volumen es cero ¿no?
Y si me permite aceptar que el lado
es seis, entonces se me va a doblar el cartón uno sobre el
otro y entonces you no va a quedar volumen dentro de la caja.
¿Okay?
¿Con qué nos hemos quedado entonces en esta presentación, en este video?
Nos hemos quedado en una parte del
problema de optimización, que es muy importante.
El construir la función matemática, el modelo matemático para la situación.
Sabemos cual es el modelo, lo construimos se fijaron haciendo paréntesis
también como lo hicimos en los videos pasados al construir la cúbica.
Y también lo desarrollamos algebraicamente.
Tenemos nuestra expresión cúbica, you sabemos cuales son los
valores que va a poder tomar nuestra x, y entonces
ahora lo que nos falta es analizar de esa manera
como encontrar aquella caja que tiene un volumen máximo ¿no?,
dentro de las mismas condiciones que
tenemos con nuestro mismito cartón.
Yo los invito a que en la próxima sesión, pues veamos esa solución.
Si quieren pueden empezar.
Tienen la función. Saben lo que hay que hacer.
Yo los veo en la próxima sesión y podemos comparar nuestros procedimientos.
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