Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. La transferencia a varios contextos reales permitirá fortalecer un aprendizaje con significado e integrar tecnologías digitales especializadas. El objetivo es desarrollar un pensamiento matemático en el aprendizaje de contenidos relacionados con el Modelo Cúbico.El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Tanque con 3 llaves
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3.- El Cálculo - Modelo Cúbico
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La derivada cuadrática y la función cúbica
Hablaremos del contexto de llenado de tanques para apreciar las diferentes características gráficas que puede tener una función cúbica. Haremos énfasis en la obtención de la derivada y la antiderivada como procesos algebraicos. Utilizaremos la derivada para identificar máximos, mínimos y puntos de inflexión.
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Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
He decidido volver a los tanques.
Me gustaría que, estábamos en un contexto de equis y yes,
nos regresemos ahora a haches y tes, porque, recuerden, uno de
nuestros objetivos es hacer que ustedes puedan transitar en su conocimiento,
de estar en la matemática a estar en otros contextos reales.
Yo les voy a poner aquí un problema que hago con mis estudiantes.
Tenemos el contexto de tanques.
Tenemos ahí, ahora, tres tanques actuando, y ahora, lo que tenemos, es la
expresión completa de lo que pasa con el nivel de agua en el tanque.
Esa expresión me está diciendo cosas.
¿Qué me está diciendo?
Me está diciendo un quince, que dice, este, el nivel inicial era quince;
me está dando una expresión, dos t, un término dos t; un término menos
dos t cuadrada y un término t cúbica.
O sea, ese signo negativo que está en menos dos t
cuadrada tiene que hacerme el sentido de que está relacionado, ¿con quién?
Con la función que tenemos, digo, con la función
no, perdón, con la llave que tenemos acá abajo, ¿no?
Y este, con el signo positivo, estaría
interviniendo con esta llave, y el signo positivo
de acá, también.
Cuando yo les pregunto a los estudiante, ¿qué va
a pasar con el nivel de agua en este tanque?,
lo que ellos me dicen es que va a subir y luego va a bajar.
Otros opinan que el nivel va a subir y se va a llenar.
¿Okay?
Cuando todas estas cosas afloran en el salón, bueno, pues es
el momento, o la ocasión, de poner a funcionar el conocimiento
que hemos generado.
Yo les confieso que, aún y cuando hacemos este esfuerzo,, ¿no?,
por estar en el contexto real y después en el contexto matemático, aún así se antoja,
digamos, que los estudiantes respondan sin un razonamiento
previo en términos de lo que se ha aprendido.
La respuesta correcta, en este sentido, si yo les digo qué
pasa con el nivel de agua en el tanque, la respuesta
correcta sería decir: bueno, pues vamos a ver qué pasa
con su razón de cambio, porque si yo conozco lo que
pasa con la razón de cambio, voy a poder predecir
lo que pasa con el nivel de agua en el tanque.
Entonces, lo que hay que hacer es derivar.
Ahorita you, con el conocimiento que
hemos generado, podríamos decir, nuestra arma, ¿no?
nuestra arma es la derivada. Si nosotros derivamos, la derivada
del nivel nos estaría diciendo la razón de cambio de nivel, ¿verdad?
Y entonces, ¿esto sería igual a qué?
Este quince no va a aportar nada aquí en la derivada, este más dos t va a aportar
un número dos, este menos dos t cuadrada va a aportar un menos cuatro t, y
este más t cúbica va a aportar un tres t cuadrada, ¿okay?
Hemos nosotros hecho el proceso
de derivar, derivo, ¿de acuerdo?,
y esta derivada nos va a informar lo que pasa con el nivel de agua en el tanque.
Cuando estamos ante esta derivada, aquí se me hacía
que no se me veía el prima, cuando estamos
antes esta derivada, esta derivada no podemos negar que
you sabemos cosas de ella: es una función cuadrática.
Entonces, si es una función
cuadrática, su gráfica es una parábola, ¿okay?,
y si quiero dibujar esa parábola, bueno,
pues hemos aprendido you cómo hacerlo en términos
también de la misma, del mismo conocimiento
que hemos generado en este curso con ustedes.
En cierta forma, entonces, para pensar qué pasa con el nivel,
necesito saber qué pasa con su derivada, y para pensar qué pasa con su derivada,
necesito saber qué pasa con la derivada de la derivada O sea, si yo
ahorita me atrevo a poner una segunda derivada, esa segunda
derivada me va a dar una menos cuatro más seis t, que me va a dar una recta, ¿no?,
una función lineal, menos cuatro más seis t, ¿okay?
Entonces, es, ahorita,
digamos, you estamos en el renglón más abajo, Y sabemos que esa recta, ¿no?,
es de la segunda derivada, es una recta que ¿comienza en dónde?
Comienza en el menos cuatro, ¿cierto?,
y después de eso, sabemos que su
inclinación eses positiva, entonces eso no hace más
que evocarme que si yo, en mi mente,
tuviera un sistema coordenado en donde estoy aquí
graficando la segunda derivada y acá está el tiempo, entonces tendría aquí
un valor negativo menos cuatro y tendría una recta que hace algo así.
Si ustedes se fijan en mi trazado, ¿no?,
lo único que tomé en cuenta es un valor inicial y el comportamiento de la
pendiente, o sea, de la derivada de la
segunda derivada, incluso podríamos hablar de la derivada
de la segunda derivada, que sería constante y sería seis.
y ese número seis me está dando la inclinación de esta recta.
Claro, que para ser más precisos, este punto que les
estoy señalando justo ahora es un punto importante en este gráfico.
Y ¿cómo es que yo voy a calcular este
punto, este valor de la letra t en este lugar?
Para eso, lo que tendríamos que hacer, vamos a ponerle
aquí una flecha con negro, ¿no?, vamos a poner aquí esta pregunta.
Yo quiero saber quién es ese t, ¿no?
Para saberlo, lo que hago es eva, digo no perdón, igualar
la segunda derivada con cero, y entonces nos va a quedar
menos cuatro más seis t igual a cero, de ahí vamos
a despejar seis t es igual a cuatro, paso positivo, ¿verdad?,
y luego nos queda que la t es igual
a cuatro sextos, que es lo mismito que dos tercios, ¿no?
Entonces, estamos ante el dos tercios aquí y ahí, en el
dos tercios, es justo donde la recta cruzó el eje horizontal.
Ahora, recuerden que esa recta es la derivada de la derivada
del nivel, o sea, la verde es la derivada de la roja.
Y esa roja, entonces, va a tener un
comportamiento que obedece a lo que le pasó
a la verde.
Si la verde, antes del dos tercios, es negativa, y después
es positiva, como se los estoy señalando, aquí estoy debajo del eje
y aquí estoy encima del eje, entonces, la gráfica de la
roja tiene que ser algo que decrezca primero y después crezca, ¿no?
Y justamente donde va a dejar de decrecer para comenzar a crecer
en ese mínimo es cuando el tiempo es igual a dos tercios.
En este momento, este hilo del razonamiento me conduciría
a que para graficar la derivada, h prima de
t, lo que ahorita necesitaría, o me conviene hacer,
es calcular la derivada en dos tercios, ¿cierto?¿Por qué?
Porque, les decía, you sé que esta
recta verde es primero negativa y luego positiva.
Eso quiere decir que la gráfica de
la, que andamos buscando, la parábola primero decrece
y luego crece, o sea, que necesito pues el lugar donde dejó de decrecer para crecer.
Ese mínimo es justamente cuando la t vale dos tercios por
lo que acabamos de hacer con su derivada, que es la verde.
Entonces, evaluamos h prima en dos tercios y nos
va a quedar: dos menos cuatro por dos tercios más
tres por dos tercios al cuadrado, ¿si?
Vamos a animarnos a hacer estas operaciones, o sea que nos quedaría
un dos menos ocho tercios más, y ahora sí, me siguen aquí, en
el razonamiento, este dos está al cuadrado, este tres está al cuadrado,
pero este tres al cuadrado se va a cancelar con este tres que
está aquí y entonces, finalmente, nos va a quedar el dos al cuadrado, que
es un cuatro, y en el denominador nos va a quedar un solo tres, ¿no?
Y esto, entonces, nos va a dar en total de un
dos menos cuatro tercios, porque tengo menos ocho tercios más cuatro tercios.
Nos queda dos menos cuatro tercios que es lo mismo, pensado
en tercios, piensen ustedes en el entero dos, cuántos tercios son.
Pues son seis tercios, o sea, si a seis tercios
le quito cuatro tercios, la respuesta va a ser dos tercios.
¿Okay?
Entonces, en este momento you tenemos nosotros la certeza de que la derivada
va a tener su vértice en este lugar para la t igual a dos tercios y la h prima
de dos tercios igual a dos tercios.
Esto, en mi cabeza, evocaría como, digamos, algo así.
Vamos, ahorita con el tono rojo,
porque estamos dibujando justamente a la derivada.
Arriba, en el tono verde, era la la
segunda derivada, aquí está la derivada, y esta información
que tenemos, este dos tercios con este otro
dos tercios, me hace poner un punto aquí ¿verdad?,
en dos tercios, y aquí dos tercios. Y aparte de eso, pues you sé
que ese punto es el mínimo de la parábola, el vértice de la parábola.
¿Qué otra cosa sabemos de esa parábola que queremos dibujar?
Su valor inicial es dos, ¿se fijaron?
Ahorita se los estoy, este, señalando con el lápiz, porque si
meto aquí un cero me va a quedar dos menos cuatro
por cero más tres por cero al cuadrado, todo esto es cero, me queda un dos.
Entonces, ese valor dos lo podemos poner aquí, tendría
que estar por acá arribita, y con eso es suficiente.
Esos dos puntos son suficientes para que tengamos
toda la información del comportamiento gráfico de la derivada.
Va a quedar algo así, ¿no?,
o sea, aquí va a bajar, y luego va a subir, ¿okay?
Entonces,
ahorita you podemos estar seguros de algo, ¿no?
La parábola, que es la derivada del nivel, primero decrece y luego crece.
A veces me pasa con los estudiantes, que dicen: you ve, que sí decreció y luego
creció el nivel. Pero, en ese momento es bueno, digamos,
porque hay ocasión de poner atención en lo que los ejes coordenados grafican
cuando uno utiliza una representación gráfica en matemáticas, ¿no?
Vean ustedes que aquí, lo que estoy graficando, es la derivada.
¿si?,
y lo que andamos nosotros buscando es el comportamiento ¿de quién?
Del nivel, o sea, del que tenemos acá, ¿no?,
de este nivel, que ese está todavía por verse.
Ante la presencia de este gráfico, you me ha tocado entonces que hay quienes
han ganado, ¿no? estas habilidades visuales, ¿no?
de interpretar en los gráficos, y entonces sí you me aseguran: vamos
a ponerlo aquí con, con, con letras el
nivel siempre crece.
Les estoy poniendo eso al lado de un gráfico que ustedes están viendo que
primero decrece y luego crece, ¿sí? Y no nos estamos contradiciendo.
¿Qué es lo que estoy viendo yo en el
gráfico rojo para que me atreva a hacer esta declaración?
Lo que estoy viendo en el gráfico rojo es que siempre está en la zona positiva, ¿no?
Siempre es positivo, ¿no?, todo punto de esta parábola está con
una coordenada vertical positiva y eso me está diciendo que la razón de cambio
hache prima de t es positiva, ¿no? la razón de cambio del nivel es positiva.
Eso me dice que el nivel va a estar siempre creciendo, ¿okay?,
pero claro, habrá que tener en cuenta que
hay una, una cierta, digamos, variación en el comportamiento,
debido a la presencia del mínimo, ¿no?,
porque cuando esta razón de cambio decrece la concavidad correspondiente
en el nivel debe de ser hacia abajo y cuando el comportamiento
de esta razón de cambio es creciente, el comportamiento del nivel
de su gráfica tiene que ser con una concavidad hacia arriba.
En este momento pudiera ser que you en
su cabeza esté presente esa imagen.
Imagínenselo, entonces, imagínense un gráfico que siempre
va a ser creciente, porque la derivada es
positiva, pero que primero crece con concavidad
abajo y luego sigue creciendo con concavidad arriba.
Entonces, ¿cómo podría ser un gráfico tal?
Tendría que estar creciendo, mi mano siempre va a tener que estar subiendo,
pero primero va a subir con una concavidad hacia abajo
y después va a seguir subiendo con una concavidad hacia arriba.
No sé hasta qué punto han ganado todas estas cuestiones,
pero you, en mi cabeza, yo les puedo asegurar que estoy
viendo algo que va creciendo con concavidad abajo y luego va
creciendo con concavidad hacia arriba, o sea, aquí hay un cambio.
Este punto que está
aquí es el quince, ¿eh? ¿Por qué?
Porque en ese punto es en donde estaba el nivel inicial.
Y este punto donde tengo aquí el lápiz ahora, tendría
que ser un punto donde el valor del tiempo es dos tercios y el
valor que pongamos aquí es la función evaluada en dos tercios, ¿no?
Esa función evaluada en dos tercios me estaría
diciendo el valor del nivel de agua a los dos tercios de segundo
o de minuto, no sé, como lo quiera hubiéramos tomado aquí las unidades.
¿Okay?
Pero en sí, el gráfico you me está diciendo que el crecimiento
del nivel será primero cada vez más lento, hasta los dos tercios, ¿no?
de segundo, o de minuto, en que empieza el nivel
a crecer para seguir creciendo pero cada vez más rápido.
¿Okay?
Entonces,
ante esta situación ¿qué podemos decir?
Había tres llaves, pero la aportación de esta llave no compensa, ¿no?
a la aportación de esta dos, lo único que
influyó fue en que el nivel subiera cada vez
más lento, pero después ganan las llaves de arriba
y el nivel sigue subiendo cada vez más rápido.
¿Okay?
Una pregunta posible en esta situación sería pensar, pues,
¿cuándo se llena el tanque?
A mí me gustaría que tomaran este dato, si lo ven aquí, cien, ¿si?
Piensen en ese dato cien y piensen, qué es lo que yo tengo que hacer, ¿si?,
vamos a poner aquí la pregunta, para contestar: ¿cuándo
se llenó?¿Cuándo se llenó el tanque?
¿Okay?
Esa pregunta se responde con lo que hemos aprendido, ¿no?
en este curso.
A mí me gustaría que dejáramos este video aquí.
Vean ustedes como estamos todavía en el tema
de una función cúbica, nuestro nivel de agua
está representado con esta función cúbica, y, bueno,
esta pregunta con la que los estoy dejando
de cuándo llegó el nivel aquí, ¿no? a hacer, digamos, el valor de ¿cuánto?,
de cien.
Es una pregunta que los va a llevar
a ustedes a plantear una ecuación cúbica, ¿no?
A mí me gustaría que, para la próxima
sesión en que nos veamos ustedes traigan su respuesta.
Yo les aseguro que es un problema muy bien preparado, oséase, que
la respuesta es sencillísima, o sea, no va a ser un número
irracional, es más, en un número entero entonces no deberán de batallar.
Va a ser una ecuación cúbica de esas muy bien preparadas,
en donde puede encontrar su solución de una manera rápida, ¿no?
Los espero en el próximo video.
Retomaremos este mismo problema y pasaremos a otros más.
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