Volvemos nuevamente con nuestro tema del modelo cúbico. Espero que les haya ido bien la ocasión pasada. Recuerden que construimos una función cúbica, tratando de que ella satisfaciera ciertas condiciones que nosotros impusimos. Les deje que hicieran una comprobación. Yo creo que si me acompañan en el papel va a ser más fácil, que lo veamos. Si bien recuerdan teníamos esta expresión de nuestra función cúbica, y después lo que hicimos fue calcular su derivada con los términos que aparecen aquí. A estos números que fíjense, les dijo números son letras a, b, c, d. Y yo digo a estos números ¿qué tal?, porque se llaman, ahorita estos números funcionan como parámetros en la ecuación. Entonces cuando veo las letras a, b, c y d tengo que pensar en números fijos, no variables como la letra x que es la variable y la letra y en la expresión matemática ¿no? Bueno, siguiendo con esta aclaración tendríamos ahora que hablar de su derivada y al derivar tener cuidado que esta letra a es un número, entonces al derivar aquí este tres pasa multiplicando la a, me queda tres a por x cuadrada, este número dos multiplica a la b, dos b por x más la letra c que queda sola y la d no apareció nada. ¿Por qué queríamos esta derivada? Porque andábamos con esta pregunta ¿no?, ¿qué debe cumplirse para que la cúbica tenga un máximo y un mínimo? you nos dábamos cuenta que con nuestros graficadores habían ocasiones en que salían cúbicas con máximo y mínimo pero en ocasiones no. Entonces lo que dijimos fue, que lo que necesitábamos es que nuestra función derivada tuviese un cero en valores reales. Al tener la derivada igualada con cero, esto que esta aquí es una ecuación cuadrática ¿cierto? Ahorita esta ecuación cuadrática nos quedó digamos un poquito más diferente de como la estamos acostumbrados a trabajarla, porque nosotros vimos una cuadrática a poco no, siempre vemos una a por x cuadrada, más una b por x más una c igual a cero ¿no? Pero nuestra expresión you tenía los parámetros a, b y c dentro de ella. Entonces tuvimos que hacer este juego de identificación de la a, de la b y la c, tomar nuestro discriminante, que está dado por b cuadrada menos cuatro a c. Pero esta b cuadrada sería la b cuadrada que ahorita les estoy retiñendo con el color, con el tono naranja ¿no?, es esta b. Entonces esta b al cuadrada es dos b al cuadrado menos cuatro por la a que es un tres a por la c ¿no? Nos queda esta expresión de la cual fue bien bonito factorizar un cuatro y entonces nos quedó nada más este término que fue como nuestro descubrimiento ¿no? Osea para darle la respuesta a esta pregunta, dijimos que lo que necesitamos es que este coeficiente al cuadrado menos tres veces este por este, debe de ser positivo. Fíjense que eso es independientemente ahorita del valor que tenga la letra d. ¿Okay? Entonces esa condición yo les decía que es como un teorema ¿no? Pero igual nos pusimos a construir una cúbica de una manera un poco distinta, osea no vamos a hacerlo así, no voy a construir una cúbica que tenga máximo y mínimo pensando a ver que tal si le doy a la b el valor de tres y a la a le doy el valor de dos y a la c el valor de uno, a ver si funciona que esto es positivo. Hacer ese juego me llevaría a una cúbica que realmente tiene un máximo y un mínimo. Pero yo lo que les propuse fue construir una cúbica con otra técnica digamos que también es conveniente desde el punto de vista de pensar en los cortes con el eje horizontal, con el eje x. En ese momento propusimos que las soluciones en los cortes, fueran menos uno, un medio y dos. Y eso nos hizo pensar en los factores x más uno, x menos un medio y x menos dos. Y de esta manera poniendo la multiplicación de los factores, fue que construimos nuestra función. Entonces nos quedó nuestra función como x más uno, por x menos un medio por x menos dos. Yo les pedí que hicieran esta multiplicación, se multiplican estos tres binomios. ¿Como se multiplican? Si no lo hicieron, bueno igual lo voy a hacer ahorita. Espero que, hacerlo un poco también rápido para tampoco invertirle tiempo a esto si muchos de ustedes you lo hicieron. Voy a tomar estos dos primeros binomios y entonces hacemos la multiplicación de x por x que es x cuadrada y vean voy a respetar este orden. Esta x la multiplico por menos un medio y me queda menos un medio de x, nos pasamos ahora con el siguiente término que es el uno por x nos va a quedar más x, y luego uno por menos un medio nos queda menos un medio. Estos cuatro términos salieron de esta multiplicación y esto se multiplica por x menos dos. En estos términos observen, porque eso es algo que veo que los estudiantes luego no realizan. Estos dos términos son del mismo calibre digamos ¿no? del mismo tipo. Entonces vamos a juntarlos y nos quedaría la expresión como x cuadrada menos un medio más uno, si a uno le quito un medio me queda un medio ¿no? Entonces me queda más un medio de x menos un medio por x menos dos. ¿Okay? Estamos listos ahora si para nuestra multiplicación. Habrá que multiplicar este primer término por los dos de acá, luego este por los dos y este por los dos. Se fijan, serían que seis términos en total. Vamos adelante, x cuadrada por x estoy empezando así, me quedaría x cúbica, x cuadrada por menos dos me quedaría menos dos x cuadrada, me voy a pasar con el un medio, un medio por x me quedaría un medio de x, perdón por x, me quedaría un x cuadrada. Un medio de x por menos dos nos quedaría menos x, ¿van conmigo? Después tendríamos menos un medio por x sería menos un medio de x y finalmente menos un medio por menos dos nos va a quedar más uno. ¿verdad? Vamos a juntar las cosas que son comunes, ¿qué tenemos en común? La cúbica esta solita, menos dos x cuadrada y este mitad de x cuadrada podríamos juntarlo ¿no? . ¿Qué es lo que tenemos? Menos dos más un medio. Piénsenlo en medios. La cantidad dos son cuatro medios, entonces tengo menos cuatro medios más un medio es como pensar en menos cuatro más uno. Entonces nos queda menos tres, la respuesta es menos tres medios de x cuadrada. Acá que tendríamos. Menos x menos un medio de x, ahora otra vez les digo piensen en medios. Menos dos medios menos un medio. Es como pensar en menos dos menos uno, osea menos tres medios ¿si?, de x más uno. Finalmente esta es nuestra expresión. Esto es algo que matemáticamente yo creo que ofrece dificultades desde el punto de vista cognitivo. Porque vean ustedes como tengo una expresión como la de arriba y esta de abajo. Y esas expresiones están representando el mismo objeto matemático y se ven muy distintas. Osea cuando veo esta expresión y luego veo esta, en mi mente como que no está asociado lo mismo, lo que los hace iguales es este proceso algebraico que hicimos ¿no? Entonces ahorita la representación algebraica no se ve, no se ve igual. Pero si está representando al mismo objeto matemático, a la misma función, ahora ¿por qué la queríamos escrita de esta manera? Porque si está escrita así yo puedo identificar quien es la a por x cuadrada, quien es la b por x, quien es la c, la b por x cuadrada perdón, aquí me equivoque es cúbica, cuadrada, lineal y por la d ¿si? Entonces de esta manera yo puedo decir que la a vale ¿qué vale?, aquí no hay nada detrás de x cúbica, es decir, otras de nuestras notaciones matemáticas que luego sorprende ¿no? en la mente. Aquí dice a y aquí no veo nada, pero si no veo nada tengo que ver un uno. Porque uno por x cúbica se escribe x cúbica, uno no va a andar escribiendo uno por x cúbica, uno no más escribe x cúbica ¿no? Entonces la a vale uno, la b vale menos tres medios, la c vale menos tres medios y la d vale uno. ¿Okay? Y entonces con esta a, b, c y d yo lo que quería era que comprobáramos lo que descubrimos acá, esto de aquí ¿se acuerdan? Que esta función va a tener máximo y mínimo a fuerza. ¿Por qué? Pues porque veíamos gráficamente incluso, si va a pasar por aquí, por aquí y por aquí y es como esta ¿no?, sube, baja y sube entonces tiene que tener un máximo y tiene que tener un mínimo, a fuerza. La construimos de esa manera, pero queremos comprobarlo con lo que hemos descubierto. Y entonces estaríamos nosotros tratando de ver que esto se cumpla. ¿Se cumple o no se cumple? Pues vamos a ver. Aquí tenemos que nuestra b vale menos tres medios. Vamos a poner menos tres medios al cuadrado, ¿por qué al cuadrado?, porque aquí dice b al cuadrado ¿no? . Luego dice menos tres por a por c. ¿Okay? Entonces vamos a traernos menos tres por la a, nuestra a es un uno por la c que es menos tres medios. Hagamos esta multiplicación. Menos tres medios al cuadrado son qué, nueve cuartos, acuérdense que este signo negativo está elevado al cuadrado, se hace positivo. Y nos queda después de esto un más, menos por menos da más nueve medios. Independientemente de que hagamos esta suma o no la hagamos, ¿okay? es obvio que esta cantidad es positiva ¿verdad? Y si es una cantidad positiva, estamos nosotros comprobando aquello que descubrimos. Bravo ¿no? Realmente hemos hecho una construcción que también cumple con lo otro. Y para eso lo que usamos fue un artificio distinto. Este artificio lo hicimos muy gráfico se acuerdan, les voy a enseñar aquí lo que teníamos de la gráfica de esta función, que you la había yo manipulado ¿no?, para que se viera de una forma mejor, ¿okay? Y entonces en esta gráfica estamos comprobando que aquí está el menos uno, se fijan, este sería el punto cinco y este sería el dos. Las tres soluciones o las tres raíces cuando proponemos que la función cúbica sea igual a cero. Al proponer que la función cúbica sea igual a cero, déjenme mostrarles algo sobre esto, que es lo que les comentaba ahorita de las dificultades ¿no? Osea yo por un lado tengo, no me habían quedado aquí hojitas, denme un segundo, aquí tenemos unas. Yo por un lado tengo y igual a x más uno, por x menos un medio y por x menos dos, que fue la que construimos. Y por otro lado con lo que acabamos de hacer ¿si? you la tenemos en esta otra forma. Osea la tenemos, vamos a ponerla en el mismo color, y igual a x cúbica menos tres medios de x cuadrada, menos tres medios de x más uno. Yo les decía son lo mismo. Y esto en mi cabeza parece que fuera distinto, se ve tan distinto y a la mejor peor cuando les cambié el color ¿verdad? Pero bueno, mi énfasis es precisamente ese, darles a entender como los objetos matemáticos se pintan de distintos colores a veces, y eso hace que nuestra mente ¿no?, actúe diferente. Estas dos expresiones representan este mismo objeto. Y yo en este objeto veo que cruza tres veces Cuando lo veo así, lo veo claro, porque el igualar y con cero me llevaría a que los factores x más uno, por x menos un medio por x menos dos sea igual a cero. Y esto nos va a llevar a igualar a cero cada uno de ellos. Y entonces nos queda que x más uno es igual a cero, x menos un medio igual a cero, y x menos dos igual a cero. ¿Si?¿Por qué estoy igualando a cero cada uno de ellos? Porque acuérdense you les he enfatizado antes, si yo tengo números que se multiplican como este caso, aquí dice x más uno por x menos un medio por x menos dos. Si al multiplicarse da cero, eso tiene que ser por culpa de que alguno de ellos sea cero, no hay de otra en los números. Yo no puedo multiplicar cosas que no sean cero, y que luego el resultado sea cero. Entonces eso me permite hacer estas disyuntivas, que me llevan a las soluciones que por otro lado you sabíamos, ¿por qué?, pues es como construimos nosotros la función ¿no?, de acuerdo? Pero si yo hubiera, si cambio el marcador a ver si nos queda todavía un tiempo para poderlo ver con esto, si cambio el marcador y ahora les hago la expresión con el tono naranja, y les digo a ver resuelvan esta cúbica, claro que si están viendo esto dirían pues si esperaría que dijeran que la solución es menos un medio y dos ¿si?, aun sin haber conocido esto, pero habiendo visto el gráfico. ¿si? Pero si no tuviéramos el gráfico, ¿qué es lo que nos recuerda el tener este tipo de ecuación cúbica? Hemos hablado you en el curso al respecto ¿no? Y veíamos que las oportunidades que habría para encontrar las soluciones de esta cúbica, pues son oportunidades que a lo mejor nos va bien y son números racionales. Pero a lo mejor no nos va tan bien, y son números irracionales ¿no? O a la mejor peor aun, nos quedan números complejos. ¿Cierto? Entonces cuando yo vaya a resolver esta ecuación cúbica por donde vengo, you se que es una ecuación cúbica que tiene tres soluciones reales, ¿cierto? Que es más, son racionales, ¿no?, osea son de las primeras. ¿Por qué?, pues porque las conozco, el menos uno, el un medio y el dos. Pero imagínense que hacemos lo siguiente, fíjense, ahorita en esta gráfica lo que voy a hacer, finalmente y ahí les voy a dejar con esta incógnita, es volver a escribir la misma función que teníamos ¿no?, que era que vamos a ponerle aquí y igual a, se me fue la, denme un segundito. Aquí tenemos nuestra expresión, okay, vámonos aquí, es y igual a x más uno, por, vamos a ponerle x menos punto cinco para economizar, por, y luego le ponemos x, el paréntesis x menos dos. Pero lo que quiero hacer con el graficador ahorita es decirle, súmale un dos. Les voy a decir porque un dos. Porque si yo sumo un dos, entonces lo que voy a hacer es que mi gráfico, este gráfico, esta función que es igual a esta le sumé dos ¿si? . Entonces lo que voy a hacer con ello es que la gráfica se suba dos unidades. Y en ese momento, ¿qué es lo que están viendo ustedes en el nuevo gráfico azul? Cortó una vez y nada más. Osea lo subí lo suficiente para que este lugar you no vuelva a cortar. Y entonces, ¿qué va a pasar con esta ecuación? La nueva ecuación que pongamos, osea que es simplemente esta más dos, más dos ¿no? . Si le sumo uno más dos se queda una ecuación que se parece tanto y que sin embargo sus soluciones you no van a caer como tres soluciones reales, ¿cierto? De hecho una va a ser real y dos van a ser imaginarias. Yo los invito para que en el siguiente video ¿si?, hayan hecho un poquito de álgebra con esa suma del dos, y que nos convenzamos del tipo de soluciones que va a tener la ecuación cúbica que se formó, cuando simplemente gráficamente lo que hice fue subir dos unidades ¿no? Este efecto tan simple en el punto de vista numérico, desde el punto de vista numérico traerá enormes diferencias. Los espero entonces y seguimos al tanto ¿no?
