Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. La transferencia a varios contextos reales permitirá fortalecer un aprendizaje con significado e integrar tecnologías digitales especializadas. El objetivo es desarrollar un pensamiento matemático en el aprendizaje de contenidos relacionados con el Modelo Cúbico.El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Si cruza 3 veces el eje horizontal
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3.- El Cálculo - Modelo Cúbico
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La derivada cuadrática y la función cúbica
Hablaremos del contexto de llenado de tanques para apreciar las diferentes características gráficas que puede tener una función cúbica. Haremos énfasis en la obtención de la derivada y la antiderivada como procesos algebraicos. Utilizaremos la derivada para identificar máximos, mínimos y puntos de inflexión.
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Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Volvemos nuevamente con nuestro tema del modelo cúbico.
Espero que les haya ido bien la ocasión pasada.
Recuerden que construimos una función cúbica, tratando de
que ella satisfaciera ciertas condiciones que nosotros impusimos.
Les deje que hicieran una comprobación.
Yo creo que si me acompañan en el papel va a ser más fácil, que lo veamos.
Si bien recuerdan teníamos esta expresión
de nuestra función cúbica, y después lo que hicimos
fue calcular su derivada con los términos que aparecen aquí.
A estos números que fíjense, les dijo números son letras a, b, c, d.
Y yo digo a estos números ¿qué tal?,
porque se llaman, ahorita estos números funcionan como parámetros en la ecuación.
Entonces cuando veo las letras a, b, c y d tengo que pensar en números fijos,
no variables como la letra x que es la
variable y la letra y en la expresión matemática ¿no?
Bueno, siguiendo con esta aclaración tendríamos
ahora que hablar de su derivada y
al derivar tener cuidado que esta letra a es un número, entonces al derivar
aquí este tres pasa multiplicando la a, me queda tres a por x cuadrada,
este número dos multiplica a la b, dos b por x más la letra
c que queda sola y la d no apareció nada. ¿Por qué queríamos esta derivada?
Porque andábamos con esta pregunta ¿no?,
¿qué debe cumplirse para que la cúbica tenga un máximo y un mínimo?
you nos dábamos cuenta que con nuestros graficadores habían ocasiones en
que salían cúbicas con máximo y mínimo pero en ocasiones no.
Entonces lo que dijimos fue, que lo que necesitábamos es que nuestra función
derivada tuviese un cero en valores reales.
Al tener la derivada igualada con cero, esto
que esta aquí es una ecuación cuadrática ¿cierto?
Ahorita esta ecuación cuadrática nos quedó digamos un
poquito más diferente de como la estamos acostumbrados
a trabajarla, porque nosotros vimos una cuadrática a
poco no, siempre vemos una a por x cuadrada,
más una b por x más una c igual a cero ¿no?
Pero nuestra expresión you tenía los parámetros a, b y c dentro de ella.
Entonces tuvimos que hacer este juego de identificación de la a, de la b y
la c, tomar nuestro discriminante, que está dado por b cuadrada menos cuatro a c.
Pero esta b cuadrada sería la b cuadrada que ahorita
les estoy retiñendo con el color, con el tono naranja ¿no?,
es esta b.
Entonces esta
b al cuadrada es dos b al cuadrado menos cuatro por
la a que es un tres a por la c ¿no?
Nos queda esta expresión de la cual fue bien bonito factorizar un cuatro
y entonces nos quedó nada más este término que fue como nuestro descubrimiento ¿no?
Osea para darle la respuesta a esta pregunta, dijimos que lo que
necesitamos es que este coeficiente al cuadrado menos tres veces este por este,
debe de ser positivo.
Fíjense que eso es independientemente ahorita del valor que tenga la letra d.
¿Okay?
Entonces esa condición yo les decía que es como un teorema ¿no?
Pero igual nos pusimos a construir una cúbica de una manera
un poco distinta, osea no vamos a hacerlo así, no voy
a construir una cúbica que tenga máximo y mínimo pensando a
ver que tal si le doy a la b el valor
de tres y a la a le doy el valor de dos y a
la c el valor de uno, a ver si funciona que esto es positivo.
Hacer ese juego me llevaría a una cúbica que realmente tiene un máximo y un mínimo.
Pero yo lo que les propuse fue construir una
cúbica con otra técnica digamos que también es conveniente
desde el punto de vista de pensar en los
cortes con el eje horizontal, con el eje x.
En ese momento propusimos que las
soluciones en los cortes, fueran menos uno, un medio y dos.
Y eso nos hizo pensar en los factores x más uno, x menos un medio y x menos dos.
Y de esta manera poniendo la multiplicación
de los factores, fue que construimos nuestra función.
Entonces nos quedó nuestra función como x más uno,
por x menos un medio por x menos dos.
Yo les pedí que hicieran esta
multiplicación, se multiplican estos tres binomios.
¿Como se multiplican?
Si no lo hicieron, bueno igual lo voy a hacer ahorita.
Espero que, hacerlo un poco también rápido para tampoco invertirle
tiempo a esto si muchos de ustedes you lo hicieron.
Voy a tomar estos dos primeros binomios y entonces hacemos la multiplicación de
x por x que es x cuadrada y vean voy a respetar este orden.
Esta x la multiplico por menos un medio y me queda
menos un medio de x, nos pasamos ahora con el siguiente término
que es el uno por x nos va a quedar más x,
y luego uno por menos un medio nos queda menos un medio.
Estos cuatro términos salieron de esta multiplicación
y esto se multiplica por x menos dos.
En estos términos observen, porque eso es algo
que veo que los estudiantes luego no realizan.
Estos dos
términos son del mismo calibre digamos ¿no?
del mismo tipo.
Entonces vamos a juntarlos y nos quedaría la expresión como x cuadrada menos un
medio más uno, si a uno le quito un medio me queda un medio ¿no?
Entonces me queda más un medio de x menos un medio por x menos dos.
¿Okay?
Estamos listos ahora si para nuestra multiplicación.
Habrá que multiplicar este primer
término por los dos de acá, luego este por los dos y este por los dos.
Se fijan, serían que seis términos en total.
Vamos adelante, x cuadrada por x estoy empezando así, me quedaría x cúbica, x
cuadrada por menos dos me quedaría menos dos x cuadrada, me voy a pasar
con el un medio, un medio por x me quedaría un medio de x,
perdón por x, me quedaría un x cuadrada.
Un medio de x por menos dos nos quedaría menos x, ¿van conmigo?
Después tendríamos menos un medio por x sería menos un medio de x
y finalmente menos un medio por menos dos nos va a quedar más uno.
¿verdad?
Vamos a juntar las cosas que son comunes, ¿qué tenemos en común?
La cúbica esta solita, menos dos x cuadrada
y este mitad de x cuadrada podríamos juntarlo ¿no?
. ¿Qué es lo que tenemos?
Menos dos más un medio. Piénsenlo en medios.
La cantidad dos son cuatro medios, entonces tengo menos cuatro medios
más un medio es como pensar en menos cuatro más uno.
Entonces nos queda menos tres, la respuesta
es menos tres medios de x cuadrada.
Acá que tendríamos.
Menos x menos un medio de x, ahora otra vez les digo piensen en medios.
Menos dos medios menos un medio. Es como pensar en menos dos
menos uno, osea menos tres medios ¿si?, de x más uno.
Finalmente esta es nuestra expresión.
Esto es algo que matemáticamente yo creo que
ofrece dificultades desde el punto de vista cognitivo.
Porque vean ustedes como tengo una expresión como la de arriba y esta
de abajo.
Y esas expresiones están representando el mismo
objeto matemático y se ven muy distintas.
Osea cuando veo esta expresión y luego veo esta, en mi mente como que no
está asociado lo mismo, lo que los hace
iguales es este proceso algebraico que hicimos ¿no?
Entonces ahorita la representación algebraica no se ve, no se ve igual.
Pero si está representando
al mismo objeto matemático, a la misma función,
ahora ¿por qué la queríamos escrita de esta manera?
Porque si está escrita así yo puedo identificar quien es
la a por x cuadrada, quien es la b por x,
quien es la c, la b por x cuadrada perdón, aquí
me equivoque es cúbica, cuadrada, lineal y por la d ¿si?
Entonces de esta manera yo puedo decir que la a vale ¿qué vale?,
aquí no hay nada
detrás de x cúbica, es decir, otras
de nuestras notaciones matemáticas que luego sorprende ¿no?
en la mente.
Aquí dice a y aquí no veo nada, pero si no veo nada tengo que ver un uno.
Porque uno por x cúbica se escribe x cúbica, uno no va a
andar escribiendo uno por x cúbica, uno no más escribe x cúbica ¿no?
Entonces la a vale uno, la b vale menos tres medios,
la c vale menos tres medios y la d vale uno.
¿Okay?
Y entonces con esta a, b, c y d yo lo que
quería era que comprobáramos lo que
descubrimos acá, esto de aquí ¿se acuerdan?
Que esta función va a tener máximo y mínimo a fuerza.
¿Por qué?
Pues porque veíamos gráficamente incluso, si va a pasar por aquí,
por aquí y por aquí y es como esta ¿no?,
sube, baja y sube entonces tiene que tener un
máximo y tiene que tener un mínimo, a fuerza.
La construimos de esa manera, pero
queremos comprobarlo con lo que hemos descubierto.
Y entonces estaríamos nosotros tratando de ver que esto se cumpla.
¿Se cumple o no se cumple? Pues vamos a ver.
Aquí tenemos que nuestra b vale menos tres medios.
Vamos a poner menos tres medios al cuadrado, ¿por qué al cuadrado?,
porque aquí dice b al cuadrado ¿no? .
Luego dice menos tres por a por c. ¿Okay?
Entonces vamos a traernos menos tres por la a, nuestra a
es un uno por la c que es menos tres medios.
Hagamos esta multiplicación.
Menos tres medios al cuadrado son qué, nueve cuartos, acuérdense
que este signo negativo está elevado al cuadrado, se hace positivo.
Y nos queda después de esto un más,
menos por menos da más nueve medios.
Independientemente de que hagamos esta suma o no la hagamos, ¿okay?
es obvio que esta cantidad es positiva ¿verdad?
Y si es una cantidad positiva,
estamos nosotros comprobando aquello que descubrimos.
Bravo ¿no?
Realmente hemos hecho una construcción que también cumple con lo otro.
Y para
eso lo que usamos fue un artificio distinto.
Este artificio lo hicimos muy gráfico se acuerdan, les voy a enseñar aquí lo que
teníamos de la gráfica de esta función, que you la había yo manipulado ¿no?,
para que se viera de una forma mejor, ¿okay?
Y entonces en esta gráfica estamos comprobando que aquí
está el menos uno, se fijan, este sería el
punto cinco y este sería el dos. Las tres soluciones
o las tres raíces cuando proponemos que la función cúbica sea igual a cero.
Al proponer que la función cúbica sea igual a cero, déjenme mostrarles
algo sobre esto, que es lo que les comentaba ahorita de las dificultades ¿no?
Osea yo por un lado tengo, no me habían quedado
aquí hojitas, denme un segundo, aquí tenemos unas.
Yo por un lado tengo y igual a x más uno, por x menos
un medio y por x menos dos, que fue la que construimos.
Y por otro lado con lo que acabamos de hacer ¿si?
you la tenemos en esta otra forma. Osea la tenemos,
vamos a ponerla en el mismo color, y igual a x cúbica menos tres medios de x
cuadrada, menos tres medios de x más uno. Yo les decía son lo mismo.
Y esto en mi cabeza parece que fuera distinto, se ve tan
distinto y a la mejor peor cuando les cambié el color ¿verdad?
Pero bueno, mi énfasis es precisamente ese, darles
a entender como los objetos matemáticos se pintan
de distintos colores a veces, y eso hace que nuestra mente ¿no?,
actúe diferente.
Estas dos expresiones representan este mismo objeto.
Y yo en este objeto veo que cruza tres veces
Cuando lo veo así, lo veo claro, porque el igualar
y con cero me llevaría a que los factores x
más uno, por x menos un medio por x menos
dos sea igual a cero.
Y esto nos va a llevar a igualar a cero cada uno de ellos.
Y entonces nos queda que x más uno es igual a cero, x
menos un medio igual a cero, y x menos dos igual a cero.
¿Si?¿Por qué estoy igualando a cero cada uno de ellos?
Porque acuérdense you les he enfatizado antes, si yo tengo números que se
multiplican como este caso, aquí dice x más uno por x menos un medio
por x menos dos.
Si al multiplicarse da cero, eso tiene que ser por culpa de
que alguno de ellos sea cero, no hay de otra en los números.
Yo no puedo multiplicar cosas que no sean cero, y que luego el resultado sea cero.
Entonces eso me permite hacer estas disyuntivas, que me llevan
a las soluciones que por otro lado you sabíamos, ¿por qué?,
pues es como construimos nosotros la función ¿no?,
de acuerdo?
Pero si yo hubiera, si cambio el marcador a ver si nos queda todavía un tiempo
para poderlo ver con esto, si cambio el marcador y ahora les hago la expresión con
el tono naranja, y les digo a ver
resuelvan esta cúbica, claro que si están viendo
esto dirían pues si esperaría que dijeran que
la solución es menos un medio y dos ¿si?,
aun sin haber conocido esto, pero habiendo visto el gráfico.
¿si?
Pero si no tuviéramos el gráfico, ¿qué es lo
que nos recuerda el tener este tipo de ecuación cúbica?
Hemos hablado you en el curso al respecto ¿no?
Y veíamos que las oportunidades que habría
para encontrar las soluciones de esta cúbica,
pues son oportunidades que a lo mejor nos va bien y son números racionales.
Pero a lo mejor no nos va tan bien, y son números irracionales ¿no?
O a la mejor peor aun, nos quedan números complejos.
¿Cierto?
Entonces cuando yo vaya a resolver esta ecuación cúbica por donde vengo,
you se que es una ecuación cúbica que tiene tres soluciones reales, ¿cierto?
Que es más, son racionales, ¿no?, osea son de las primeras.
¿Por qué?,
pues porque las conozco, el menos uno, el un medio y el dos.
Pero imagínense que hacemos lo siguiente, fíjense, ahorita
en esta gráfica lo que voy a hacer,
finalmente y ahí les voy a dejar con esta incógnita, es volver a escribir la misma
función que teníamos ¿no?, que era que vamos a ponerle aquí y
igual a, se me fue la, denme un segundito. Aquí
tenemos nuestra expresión, okay, vámonos aquí, es y igual a
x más uno, por, vamos a
ponerle x menos punto cinco para economizar,
por, y luego le ponemos x, el paréntesis x menos dos.
Pero lo que quiero hacer con el graficador ahorita es decirle, súmale un dos.
Les voy a decir porque un dos. Porque si yo sumo un dos, entonces lo
que voy a hacer es que mi gráfico, este gráfico, esta función que es igual a esta
le sumé dos ¿si? .
Entonces lo que voy a hacer con ello es que la gráfica se suba dos unidades.
Y en ese momento, ¿qué es lo que están viendo ustedes en el nuevo gráfico azul?
Cortó una vez y nada más.
Osea lo subí lo suficiente para que este lugar you no vuelva a cortar.
Y entonces, ¿qué va a pasar con esta ecuación?
La nueva ecuación que pongamos, osea que es simplemente
esta más dos, más dos ¿no? .
Si le sumo uno más dos se queda una ecuación que se parece tanto y que sin
embargo sus soluciones you no van a caer como tres soluciones reales, ¿cierto?
De hecho una va a ser real y dos van a ser imaginarias.
Yo los invito para que en el siguiente video ¿si?,
hayan hecho un poquito de álgebra con
esa suma del dos, y que nos convenzamos del tipo de soluciones que va a tener
la ecuación cúbica que se formó, cuando simplemente
gráficamente lo que hice fue subir dos unidades ¿no?
Este efecto tan simple en el punto de vista
numérico, desde el punto de vista numérico traerá enormes diferencias.
Los espero entonces y seguimos al tanto ¿no?
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