[MÚSICA] Yo quisiera que en esta sesión hiciéramos una recapitulación, ¿y qué quiero decir con esto? Pues, qué mejor que la Real Academia Española que nos diga de qué se trata este asunto, qué es lo que pretendo con ustedes hoy. Si me acompañan en la computadora, acabo yo de acceder a la página de la Real Academia Española. Puse la palabra recapitular, y me dice "Recordar sumaria y ordenadamente lo que por escrito o de palabra se ha manifestado con extensión". O sea, eso es algo que you hemos visto, y hemos visto el modelo cuadrático. Hemos visto muchas cosas de él, pero quiero hacer un recordatorio sumario y ordenario, ¿no? Yo pensaba que lo que quería hacer con ustedes era una síntesis. Bien, si yo le pongo aquí síntesis, me va a decir que se trata de una composición de un todo por la reunión de sus partes, una suma y compendio de una materia u otra cosa, you en química esta you no la tomamos. Se fijan, en cierta forma sí quiero hacer una síntesis, pero no quisiera hacer una síntesis con todo todo todo lo que hemos visto, sino enfocarme, sobre todo a la parte que tiene que ver con esta introducción al cálculo, con lo que nosotros hemos querido lograr en este curso. Recuerden ustedes que se trata de ver aquella matemática que nos va a llevar a la matemática universitaria, al cálculo en sí. Entonces, sí hemos hecho un acercamiento al cálculo, una didáctica del cálculo en donde hemos recordado cosas de álgebra, de geometría y demás, pero el objetivo ha sido muy claro en el sentido de ponernos en la línea de lo que van a estudiar después, en lo que van a profundizar, pero ponernos en la línea de lo que el cálculo trata. Para nosotros, ahorita hacer esta suma y compendio que nos dice la Real Academia Española es tratar o composición, dice, por la reunión de sus partes, esto. Fíjense, para mí significa la parte algebraica y la parte gráfica, ¿no? Y esa parte gráfica la hemos hecho siempre con el software, ¿no? Ahorita que estamos con posibilidades con la tecnología, tenemos la libertad de no tener que estar pensando en números enteros nada más. Entonces, vamos a poner, por ejemplo, y igual a, digamos, un séptimo. Vamos a poner un 1 entre 7. Un séptimo puede ser de x, digamos al cuadrado. Déjenme ver si le atiné al cuadrada. Ahí está, muy bien. Un séptimo de x cuadrada, ¿sí? Si ustedes recuerdan cosas de lo que hemos visto, you estoy yo condicionando por ese coeficiente de x cuadrada que la parábola sea una parábola que abre hacia arriba, ¿okay? Pongamos ahora un menos [AUDIO_EN_BLANCO] 2.7, ¿sí? Menos 2.7 x. Ese menos 2.7 you me está diciendo que la velocidad inicial, estoy interpretando en términos del movimiento, la velocidad inicial es negativa. Entonces, el gráfico por el eje vertical va a tener que empezar decreciendo, empezar entre comillas, porque el gráfico ahorita you tiene todo todo su dominio en lo real, eso que. Finalmente, le podemos agregar un un, ¿qué será? Un 2.9. 2.9. Números muy curiosos. ¿Por qué otra vez el 2? Vamos a ponerle un 3.9, ¿no? ¿Se acuerdan lo que está haciendo ese 3.9? Ese 3.9 coeficiente solo me va a estar diciendo dónde va a interceptar la parábola el eje vertical. Puse un 3.9. Será por aquí. Si en este momento le decimos a gramática grafica, you graficó. Miren que están correspondiendo las cosas. O sea, si es una concavidad arriba, si corta en el 3.9, si comienza decreciendo a partir del eje y. Nada más que nos quedó en una zona muy inadecuada para ver completa la gráfica. Nosotros sabemos que es una parábola, cierto. Una sería hacer un acercamiento y ver si la atrapamos. Perdón, dije acercamiento, es un alejamiento, y a ver si la atrapamos. Ahí está. Ahí está atrapada, ¿se fijan? O sea, you tenemos la imagen completa. Y con eso es suficiente para que ahorita podamos ver ciertas relaciones con respecto a la derivada. ¿Por qué usamos gramática? Porque aquí le decimos deriva, y ahí tenemos la derivada en un tono rojo oscuro, ¿cierto? Es más, podemos tomar esa función, la derivada, ¿sí? Ahí está la derivada, y le decimos deriva, y entonces, nos va a quedar la derivada en un tono verde, ¿sí? Ahorita que estamos viendo así ese gráfico, y para las cosas que yo quiero rescatar con ustedes, piensen, me gustaría tener una imagen más completa del gráfico en sí. Entonces yo puedo notar que una variación de la x desde menos 10 hasta el 12, perdón, hasta el 20, hasta el 20 o más, 25. Del menos 10 al 25 puede ser buena. Y en el eje vertical del menos 15 al al 20 pudiéramos poner, ¿no? Vamos a tratarlo. Miren, aquí en opciones, ¿no es cierto? No es opciones, es en View, en menú de View. En Grid Range nos aparece esta ventana. you se las había mostrado. Entonces, vamos a decirle que a la izquierda se ponga hasta el menos 10, ¿no? Para que no nos quede esta zona blanca que está acá. Luego, le decimos a la derecha el 24. Vamos a darle un 25, ¿sí? En la parte de abajo dice menos 14. Yo creo que lo podemos dejar en el 14. Y en la parte de arriba podríamos aumentar un poquito, a un 16. Entonces, el gráfico quedó un poco mejor, ¿sí? Veamos en este gráfico qué es lo que está pasando con respecto a la parábola y con respecto a la recta. Aquí yo quisiera nuestras anotaciones. Son cosas que you habíamos visto. Vean ustedes la concavidad hacia arriba del azul. Vean ustedes la gráfica roja que está creciendo, ¿no? Vean ustedes que la gráfica azul decrece en esta zona que estoy usando el cursor, y vean cómo en correspondencia, la gráfica roja es negativa, ¿de acuerdo? Vean ustedes cómo después en esta zona, la gráfica azul crece, y vean ustedes cómo después, en ese punto, la gráfica roja es positiva, ¿no? O sea, si tomamos una imagen de esto, vamos a tomar una imagen. [AUDIO_EN_BLANCO] Con un rectángulo aquí, okay. Vamos a tomar una imagen de esta parte. Nos la traemos acá para poder escribir sobre ella, ¿cierto? Porque yo quiero remarcarles eso, precisamente. O sea, si yo tomo aquí este resaltador, quisiera que vean esta zona que estoy resaltando ahorita donde la roja es negativa, ¿no? Y vean ahorita la gráfica azul, y pueden decir que es decreciente, ¿sí? Vamos a tomar unos post-it que había sacado de aquí. Fíjense, en el post-in verde dice: ¿Qué pasa en la gráfica de velocidad? Podríamos decir ahorita, por lo que les señalé, es negativa. ¿De acuerdo? Y ahora, la pregunta en el otro es: ¿Qué pasa en la gráfica de posición? Y la respuesta, ¿cuál va a hacer? Podríamos nosotros decir ahorita que esa es decreciente. No sé si me estén siguiendo. O sea, estoy viendo lo que pasa en una, y luego, también escribiendo lo que pasa en la otra en referencia, ¿okay? De la misma manera, ahorita podríamos borrar esto de aquí, ¿no? Y ahora, les pediría que ustedes vieran en esta zona de acá, donde la gráfica roja es positiva, y que volteen y vean lo que pasa en correspondencia con la gráfica azul. ¿Okay? Eso nos hace que en nuestros post-it, ¿qué digamos? Que la gráfica de velocidad, interpretándolo en términos de movimiento es positiva, nuestra gráfica de posición es, ¿qué diríamos?, creciente, ¿no? [AUDIO_EN_BLANCO] Creciente. you tenemos ese otro resultado anotado de nuestra síntesis, ¿okay? Y por último, lo que veríamos también es en todo nuestro gráfico, vean ustedes cómo en todo nuestro gráfico de velocidad o de la derivada está creciendo, ¿no? O sea, cuando yo lo dibujo, voy así subiendo, ¿de acuerdo? Entonces, ese crecimiento corresponde con la concavidad hacia arriba de la gráfica, ¿no? Son cosas que you habíamos notado antes, y eso que hemos notado, ahorita lo estamos sintetizando, y entonces, ¿qué diríamos arriba? ¿Qué pasa en la gráfica de velocidad? Diríamos es creciente. [AUDIO_EN_BLANCO] ¿Y qué le vamos a responder? ¿Qué pasa en la gráfica de posición? En correspondencia con ese crecimiento, vamos a tener es cóncava hacia arriba, ¿de acuerdo? Un resultado más me gustaría escribir aquí en estos post-it, que no me lo está dando el gráfico que estamos viendo, ¿no? Pero que, seguramente, si nos vamos a Graphmatica y hacemos algo como esto, miren, vamos a tomar nuestra gráfica de la función, esta que está aquí es nuestra función, es esta. Voy a poner aquí un paréntesis. Voy a poner un paréntesis acá, voy a poner un signo negativo aquí detrás, ¿sí?, menos y le decimos que nos la grafíe, ¿ok? Lo que provoqué fue que todo el gráfico me lo hiciera una reflexión con respecto al eje de las x y ahora lo tengo cóncavo hacia abajo, ¿ok? Si este gráfico le pido que me lo derive: ¿qué fue lo que pasó con la nueva gráfica que apareció? Es decreciente, ¿se fijan?, o sea, es esta que estoy ahorita con el cursor señalando. O sea, lo que nos falta en nuestras anotaciones aquí es decir que cuando la gráfica de velocidad es decreciente, nuestra gráfica de la posición es… ¿qué? Cóncava hacia abajo. ¿Ok? Entonces son cuatro resultados importantes, son conocimientos que, independientemente de la curva que sea, podemos mantener en nuestra cabeza, que estamos diciendo que cuando la derivada sea negativa, la función va a ser decreciente. Y que podemos también saber que, cuando la derivada es positiva, como sería el caso en esta zona de aquí, ahí es positiva porque estoy arriba del eje, ¿se fijan? Cuando la derivada es positiva, la gráfica de la posición es creciente, ahí está creciendo, positivo.. En el post-it de la derivada me da crecimiento en el post-it de la función. ¿Que otra cosa? Tenemos ahora el caso del crecimiento, el crecimiento en la derivada, véanlo, está creciendo en la derivada, ¿de acuerdo? ¿Qué está pasando en el gráfico de la posición? En el gráfico de la posición, en este caso, en el gráfico de la función se ve que es cóncavo hacia arriba, ¿no? Entonces tenemos que, cuando la derivada es creciente, el gráfico de la función es cóncavo hacia arriba, y cuando la derivada es decreciente, que no es el dibujo que tenemos aquí, cuando la derivada es decreciente, la gráfica de la función es cóncava hacia abajo. Entonces, les repito: estos resultados no son exclusivos de parábola y su derivada lineal, sino de todas las funciones en general. Son teoremas, son teoremas más en cálculo que se ve hasta un capítulo de las aplicaciones del cálculo. Son teoremas que nosotros hemos traído en el discurso, a un principio, porque dentro del contexto del movimiento y con el uso de tecnología podemos, en este momento, afianzarlos de un modo más concreto que incluye también lo visual, como es el caso ahorita. Entonces, si ahorita ustedes imaginaran, imagínense que yo les pudiera partir la parábola aquí, piensen que le parto, que tuviera yo unas tijeras y ¡zas!, le corto yo aquí, me voy a quedar con dos partes de la parábola, una que viene así, y la otra que va así, ¿de acuerdo? Esas partes son diferentes, ¿de acuerdo? Una diferencia que se las quisiera yo poner sobre la mesa con unos dibujos que tengo yo aquí, si me acompañan aquí al papel, vamos a ver, voy a tratar de poner uno de ellos de la forma que decíamos allá. O sea, tendríamos esta parte de aquí, vamos a verlo. Esta parte que está correspondería con la segunda parte de la parábola. Vean cómo es una curva, ahora sí pueden estar seguros que no es una parábola porque yo la dibujé a mano y sabrá Dios cómo lo hice, lo único que traté fue de juntar este junto con este punto, pero tratando de hacer esta forma que veíamos en el graficador. Entonces, ahorita ustedes están viendo esta gráfica que you la hemos llamado creciente por el hecho de que la estoy dibujando así, voy creciendo cuando dibujo de izquierda a derecha, ¿no? Y aparte es cóncava hacia arriba, vean cómo está apuntando, como si la palma de mi mano apuntara arriba, ¿cierto? Bueno, esta gráfica es creciente y cóncava hacia arriba. Pero, ¿qué pasaría…? Fíjense en el ligero cambio que voy a hacer en ella, ¿qué pasaría si la giro y la pongo así? Ese giro, de noventa grados, que hice, provocó una diferencia garrafal. Es la misma curva, ¿no?, pero, ahora, ¿cómo la estamos viendo? La estamos viendo decreciente, ¿cierto? aunque aún sigue siendo cóncava hacia arriba, ¿cierto? O sea, sería como la otra mitad de la parábola que estábamos viendo en la computadora, ¿no? Ahora no es parábola, ¿se fijan? Ahora es una curva, que es decreciente y cóncava hacia arriba, ¿ok? Hacemos otro giro Si giramos así, ¿qué va a pasar? Ahora tenemos una curva que es creciente y ahora es cóncava hacia abajo, ¿no?, la mano estaría apuntando, la palma de la mano apuntaría hacia abajo. Creciente y cóncava hacia abajo, ¿de acuerdo? Y es la misma curva, ustedes han visto que yo no he movido el papel de aquí, de la pantalla. you está haciendo magia, ¿no? Ahora le hacemos así y ¿qué nos quedó? Nos quedó una curva que es decreciente y cóncava hacia abajo, ¿no? La palma de la mano apuntaría hacia abajo, ¿no? Decreciente y cóncava hacia abajo. O sea, un mismo cacho de curva nos ha permitido ilustrar, o sea, todos los ejemplos, ¿no? ¿Se acuerdan? Ahorita sería importante que en nuestra mente podamos seguir el dibujo y pensar… Creciente, cóncava hacia arriba, ¿no? Decreciente, cóncava hacia arriba, Creciente, cóncava hacia abajo. Y decreciente, cóncava hacia abajo. Fueron combinaciones que tuvimos que hacer en nuestro pensamiento, ¿no? para poder, digamos, interpretar la forma de la gráfica. Yo lo que tengo aquí son pues cuatro, cuatro gráficas, todas iguales, no más les puse de distinto color, ¿se fijan? y entonces quisiera que las pusiéramos las cuatro, ¿no?, en las cuatro posiciones en las que pudieran estar, o sea, aquí voy a poner esta como esta, esta como esta, me falta, you estoy jugando aquí… ¿Cuál es la que me falta? Me falta algo como esto, ¿no? Tengo dos decrecimientos y dos crecimientos. A ver si caben los cuatro… ¿Y qué? Voy a poner así un poco más arriba para que se vea completo. Entonces, ¿qué es lo que tenemos en el caso número 1, en este caso que está aquí? con el… este que está aquí, caso número 1. ¿Qué podríamos decir? Esta gráfica es decreciente. Voy a poner una letra D de decreciente y vamos a poner así una abreviación cóncava hacia abajo. ¿Sí? Acá en el caso número 2, vamos a poner este caso número 2 en verde, tendríamos una gráfica que es creciente y con una concavidad hacia abajo, ¿ok? Luego tendríamos acá el caso número 3, vamos a poner este como el caso número 3, y en este caso tendríamos un gráfico que es creciente y es cóncavo hacia arriba, ¿no? Cóncavo hacia arriba. Y, finalmente, tendríamos el caso número 4, que es decreciente y es cóncavo hacia arriba, ¿ok? Entonces, vean ustedes cómo en estos cuatro tenemos cuatro tipos de gráficas y estos cuatro tipos de gráfica combinan o una D o una C, ¿sí?, con un cóncavo abajo o con un cóncavo hacia arriba, ¿no? Y estos cuatro casos que estamos aquí ilustrando con estas tarjetas van a ser los casos que nos van a permitir interpretar lo que pasa con la magnitud en cuestión. Si ahorita recurro al contexto del movimiento, ¿sí?, ¿qué estaría diciendo para el caso número 1? Este es un movimiento que va hacia la izquierda y va cada vez más rápido, ¿sí? Si no se han convencido de eso, déjenme ponerles aquí un pequeño triangulito. Vean este segmento que estoy tratando de dibujar. Piensen que se lo dibujo igualito acá, del mismo tamaño. Vean ustedes aquí: esto estaría representando el cambio de posición y este estaría representando el cambio de posición. Vean cómo este cambio de posición, aunque estos son iguales, estos segmentos horizontales son iguales, los segmentos verticales están aumentando, ¿no? Y entonces eso me puede hacer la referencia de que es un movimiento cada vez más rápido, ¿no?, movimiento hacia la izquierda. Vamos con el caso número 2. ¿Qué estaríamos diciendo en el caso número 2? En este caso número 2 diríamos que es un movimiento hacia la derecha, yo lo veo más lento, ¿sí? Lento, ¿por qué? Bueno, otra vez si quieren veamos este segmentito aquí piensen que se los pongo igualito, del mismo tamaño, por acá. Piensen que son iguales. Piensen en esta longitud, que significaría el cambio de la posición. Piensen en esta longitud de acá. Se ve claramente que esta longitud es menor que esta, el tiempo pasó y entonces este movimiento sería cada vez más lento, ¿no? Movimiento hacia la derecha cada vez más lento. Nos vamos al caso número 3, que tenemos acá. En este caso número 3 diríamos que es un movimiento hacia la derecha, cada vez más rápido, ¿cierto? Cada vez más rápido, vean. Mi referente pudiera ser poner un segmentito aquí, de la misma longitud ponerlo acá, ¿cierto?, y observar este segmento vertical y ahora observar este que está representando el cambio de la posición. ¿Ok? Se ve que claramente que este es mayor y entonces diríamos que es cada vez más rápido el movimiento, a la derecha cada vez más rápido. Y, por último, tendríamos, en el caso número 4, este que está aquí, un movimiento hacia la izquierda cada vez más lento, ¿no? Vamos a poner nuestros segmentitos. Supongamos que este segmentito, está de la misma longitud por acá, y aquí observamos este segmento vertical, que es el cambio de posición, y lo observamos acá y vemos que ahora es menor. Entonces diríamos movimiento hacia la izquierda cada vez más lento, ¿no? Porque se recorre menos distancia. ¿Ok? Entonces, hemos hecho ahorita, digamos, una manera de tener estas cuatro historias. Estas cuatro historias nos van a hablar de lo que puede ocurrir con una magnitud que se está estudiando. Puede ser que sea una magnitud que está creciendo, ¿sí?, en cuyo caso será importante decir si crece cada vez más lento o cada vez más rápido, o puede ser que sea una magnitud que está decreciendo, ¿no? pero que nuevamente, o sea, aparte de que está decreciendo, o sea, aparte que la magnitud va a tomar valores cada vez menores, lo que necesitaríamos conocer nosotros es si decrece cada vez más rápido o decrece cada vez más lento. Cuatro historias. Son cuatro historias posibles sobre nuestros gráficos. Estos gráficos los vamos a combinar, vamos a tratar de ver que una función de las que estudiemos nosotros es una función que toma estas formas combinadas, ¿no? Esto es lo que se llama una función monótona en cálculo. Es una función que creciente o que es decreciente y que admite una cierta concavidad, ¿no?, estamos separando nuestras historias por la concavidad, ¿ok?, y por el crecimiento y el decrecimiento. Con estas cuatro historias, estas cuatro historias yo las voy a tomar de aquí, con estas cuatro historias, si ustedes las tienen también en sus manos, vamos a poder identificar diferentes comportamientos según las situaciones que vayan apareciendo. Yo los invito que, para la próxima sesión que nos veamos, piensen en un movimiento diferente del que hemos hecho you. ¿Se acuerdan que you hemos visto cómo el chico iba para la derecha cada vez más lento se para y luego regresa hacia la izquierda cada vez más rápido? Yo les invito a que piensen en un movimiento que sea diferente, o sea, que vaya hacia la derecha, ¿sí? Yo puedo ir a la derecha, puedo pararme, ok, pero, al pararme, no necesariamente me regreso, puede ser que me paré porque dije "ay, algo se me olvidó", y luego no se me olvidó, y le sigo a la derecha, ¿no? O sea, yo les invito a que con ese pensamiento me acompañen en el próximo video. ¿Qué pasaría si voy a la derecha cada vez más lento, me paro y luego decido seguir a la derecha pero cada vez más rápido? ¿Cómo sería el gráfico de la posición? ¿Cómo sería el gráfico de la velocidad? Nos vemos en la próxima sesión en donde utilizaremos el software apropiado para que podamos discutir sobre estas cuestiones. Los veo entonces. [MÚSICA]
