Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. La transferencia a varios contextos reales permitirá fortalecer un aprendizaje con significado e integrar tecnologías digitales especializadas. El objetivo es desarrollar un pensamiento matemático en el aprendizaje de contenidos relacionados con el Modelo Cúbico.El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Historia larga del cochecito rojo
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3.- El Cálculo - Modelo Cúbico
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Ecuaciones y funciones cúbicas
Retomaremos el contexto real del movimiento en línea recta para activar procesos algebraicos relacionados con la interpretación gráfica del movimiento. Consideraremos diferentes casos de ecuaciones cúbicas en las que podremos calcular sus soluciones con procedimientos algebraicos sencillos.
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Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Pues seguimos con esta larga historia ¿no? de estar haciendo los cálculos necesarios
para poder sacar la historia de la trayectoria que siguió el cochecito rojo.
Si me acompañan otra vez al papel, habíamos hecho you varias operaciones ¿no?
Habíamos sacado you la función de aceleración.
you resolvimos la ecuación donde la aceleración es igual a cero.
Nos salió
en el tiempo 6.
you resolvimos la ecuación donde la velocidad es igual a cero, nos salieron
los tiempos 1 y 11, y you resolvimos
el cálculo de la velocidad en el tiempo donde la aceleración es cero.
Este cálculo lo tenemos justo aquí.
La velocidad a los 6 segundos es menos 25. ¿Okay?.
Seguimos con nuestro siguiente inciso ¿no?
el siguiente inciso, el inciso 5.
Ahorita vean estamos solamente siguiendo instrucciones, a
veces eso, bueno pues es más sencillo ¿no?
que estar razonando las cosas, ahorita nada más estamos razonando en lo que
hay que hacer desde el punto de vista de la representación algebraica ¿no?
en matemáticas.
Dice calcula la posición en los tiempos donde
la velocidad es cero y donde la aceleración
es cero, ¿okay?.
O sea, andamos evaluando la posición ¿en dónde?
¿En dónde la vamos a evaluar? En los tiempos donde la velocidad es cero.
¿Dónde es la velocidad igual a cero?
La velocidad era igual a cero en el tiempo 6 ¿se acuerdan?.
Entonces vamos a evaluar x de 6, y después donde, perdón,
aquí no era en 6 eso es en donde la aceleración
es igual a cero. ¿Cierto?
haber déjenme traer la hojita.
La velocidad, la aceleración es igual a cero en t igual a 6.¿Okay?.
Entonces vamos a evaluar la posición en 6 y después vamos a ver donde la
velocidad es cero, la velocidad es cero en en el 1 y en el 11.
Entonces vamos a evaluar también x de 1 y x de
11 ¿no?.
O sea en estos dos aquí la velocidad es cero.
¿Si?.
Y en este de acá aquí la aceleración es cero.
¿Okay? entonces tenemos que evaluar estos tres.
Estos tres valores de la función y bueno nuestra función es
nuestra función cúbica, tendríamos que hacer
las operaciones con esta expresión ¿no?
que tenemos acá.
Vamos a usar un recurso ¿si?
si les parece no voy a solamente picarle a
una calculadora sino que voy a usar el recurso ¿no?
que tenemos como se los he mostrado con anterioridad, esta en esta iPad.
Esta calculadora ¿no?.
Que tenemos, ustedes pueden obtenerla haciendo referencia en nuestros
recursos adicionales y miren yo he tecleado aquí ahorita bueno,
lo metí en el 1 ¿se fijan?
O sea la calculadora esta tiene esta ventaja ¿no?
que nos permite hacer la escritura como si fuera
una escritura matemática como si lo estuviera escribiendo a mano.
Dice 11 por 1, puse un paréntesis ahí, menos 6 por 1 al
cuadrado más un tercio por 1 al cubo incluso los exponentes ¿se fijan?
no tenemos que poner digamos el acento circunflejo nada
más con poner ¿no? la notación matemática.
Hicimos el cálculo y nos dió este valor numérico.
Yo lo estoy viendo este valor y me da este
montón de números 3 y digo esto es un tercio.
¿Si?
o sea realmente la calculadora me esta dando un valor aproximado.
Realmente esto ha de ser como, si son 5 enteros ¿cuántos tercios son?
Si son 5 enteros y cada entero tiene 3 tercios
entonces serían 15 ¿no?.
15 tercios más el tercio que esta aquí deben de ser 16 tercios.
¿Si?
igual estas calculadoras como muchas calculadoras ¿no?
que veo en los estudiantes you tienen la ventaja de que nos hacen este cambio ¿no?.
Aquí si yo le doy un clic, me va a transformar la cantidad en quebrado.
16 tercios ¿se fijan? 16 tercios que habíamos comentado.
Entonces el valor 16 tercios es el valor que yo voy a anotar aquí.
16 tercios, pero acuérdense que aquí si tengo que hacerlo en el lugar del 1.
¿Okay?.
Vamos a calcular este valor en el 6 o sea si lo calculáramos en 6 la ventaja es que
aquí incluso en mi mente estoy tomando conciencia que
ese 1 lo voy a quitar y le voy a
poner un 6 ¿Cierto?
este otro uno que esta aquí donde evaluamos ¿no?
a la t al cuadrado le ponemos un 6 y aquí a
este otro 1 que era la t al cubo le ponemos un 6.
Damos un igual y entonces la respuesta es un menos 78.
¿Okay?
este menos 78 lo vamos a anotar aquí, menos 78 y finalmente, tomamos otra
vez para evaluar en el 11. O sea ¿qué es lo que vamos a hacer?
Toda esta expresión es la expresión de la x de t que tenemos acá ¿cierto?
lo que ahora estamos haciendo es evaluar el 11 antes evaluamos en el 6.
Quitamos ese 6 ponemos un 11 quitamos este 6
ponemos un 11 quitamos este 6 y ponemos un 11.
¿Okay?
damos un igual, nos queda esta cantidad se
fijan aquí anda el un tercio metido ¿no? ¿cierto?.
Voy a hacer que nos cambie a quebrados y quedan menos 484 tercios.
¿Okay?.
Ese menos 484 tercios, vamos a ponerlo aquí, 484 tercios ¿no?.
Podríamos tener un aprox.
más o menos de lo que es si le cambiamos así, menos 161
punto 33 ¿si?.
Vamos a ponerle aquí para recordarlo cuando estemos
en nuestro gráfico vamos a ponerle así ¿no?
punto 33 con la barrita arriba es decir que es una expansión decimal infinita.
you con esto puedo justificadamente poner que esto es un igual ¿no?
cuando puse esta rayita diciendo que es un 3 interminable, una lista interminable de
números 3.
Okay pues hemos resuelto digamos nuestro inciso 5 ¿no?
con todas las de la ley ¿para que lo queremos?
no se ahorita, lo único que estamos
haciendo es resolver preguntas en un contexto matemático.
Dice en la ultima, número 6 plantea la ecuación x de t igual a cero y resuelvela.
¿Okay? x de t igual a cero y resuelvela.
Esto merece otro color. Vamos a tomar
este color y vamos a traernos la ecuación, la función perdón x de t.
¿No?
Entonces esa función sería este 5, número 6.
x de t igual a cero.
Nuestra función esta acá arriba, vamos a tomarla de acá, entonces
quedaría que x de t igual a 11 t menos 6 t cuadrada más un tercio
de t cúbica igual a cero. ¿Okay?
entonces que es lo ¿que nos quedó ahora?.
Nos queda un tercio de t cúbica menos 6 t cuadrada más 11 t igual a cero.
Se los escribí al otro lado nada más ¿porque?
por costumbre yo creo poner siempre la variable con mayor exponente primero.
Y ahora, bueno pues lo que pudimos observar en el video
anterior anterior ¿no?
que este tipo de ecuación cúbica si la podemos resolver.
¿Porqué?
porque tenemos la posibilidad de factorizar.
O sea hay una t que esta aquí.
Una, dos, tres veces podemos sacarla como un factor común t que multiplica a
un tercio de t cuadrada menos 6 t más 11 igual a cero t por
esto da acá, t por esto da esto, t por 11 da 11 t.
¿Okay?
Entonces en este momento tenemos nuestra disyuntiva ¿Porqué?
porque este producto es igual a cero. En este momento de aquí a acá hay
algo en mi pensamiento, algo que me hace, que
me hace decir: puedo hacer que t igual a cero
y puedo hacer que esto se me vaya a cero.
Ese pensamiento es algo muy importante ¿no?
en matemáticas para que el producto de dos números
me de cero, uno de ellos tiene que ser cero.
Ustedes dirán: dice dos números pero me señala una t y una cosa acá ¿no?
una ecuación cuadrática pues si porque a final de cuentas
esto que esta aquí va a ser un número ¿no?.
Cada vez que la
t tome un valor.
Entonces si aquí tengo un número y el otro
es el que esta encerrado en este paréntesis ¿no?
y este también.
Se están multiplicando y el producto es igual a cero si yo no tuviera esta
justificante yo no podría hacer esta acción de
igualar a cero cada uno de los términos.
Se los comento porque hay estudiantes que cuando ponen aquí un 1,
entonces al igualar a 1 igualan a 1 cada uno de los términos
como que es una acción muy sin pensar o sea nada más una mecánica ¿no?.
Por eso les recuerdo aquí esto es un uso del pensamiento.
Un razonamiento matemático importante para que el producto de dos
números de cero uno de ellos tiene que ser cero.
De ahí entonces t igual a cero es una solución y la otra sería cuando hagamos
que un tercio de t cuadrada menos 6 t más 11 nos de igual a cero.
¿Si?.
Esta ecuación cuadrática tiene una a que es un tercio.
Valdría la pena que toda la multiplicáramos por 3 para que nos
quede una ecuación cuadrática equivalente y que no tenga ese numerito un tercio ¿no?
estorbando que luego a veces los quebrados estorban ¿no?
en los procesos algebraicos y numéricos entonces vamos a poner aquí todo por 3 nos
daría t cuadrada menos 18 t más 33 igual a cero ¿no?
Todo lo hice por 3 salió un tercio por 3, me quedó un 1.
El 16 por 3 quedó un 18 y el 11 por tres un 33.
¿Okay?.
you se ve mejorcita esta ecuación cuadrática,
vamos a resolverla con nuestra fórmula general.
La a es un 1 que esta aquí, b es menos 18, c es 33 entonces que nos queda,
que la t es igual a menos b, menos, menos 18 es 18 más
menos, raíz cuadrada de b cuadrada es un menos 18 al cuadrado.
Menos 4 por la a por la c que es el 33 y todo esto
entre dos veces a que es un 1 ¿no? y entonces esto nos va a dar
tanto como un 18 más menos, ahorita voy a necesitar mi
calculadora, 18 al cuadrado, vamos a ponerle aquí,
es un 18 ahí esta, la subimos al cuadrado. ¿No?
y esto va a ser igual a un 324 tenemos aquí un 324 menos 4 por
33 que es un 4 por 3 son 12, 132 ¿verdad?. Todo esto entre 2.
Nos va a dar tanto como 18 más menos la raíz de 324
menos 132 vamos a ponerlo aquí el menos 132 y nos va a
quedar un 192. Y todo esto entre el dos ¿okay?.
Este número you no nos gustó tanto ¿verdad?, el 192 you no
quedó tan bonito en ese radical, nos salió una raíz como esperábamos ¿no?,
bueno claro cuando esperábamos cuando quisiéramos que todas las cosas
fueran sencillas pero no tienen que ser tan tan sencillas.
you hemos hablando de la totalidad de números que podemos tener ¿no?.
Apareciendo ¿no?
en nuestras operaciones. Entonces vamos a seguirle aquí un poquito,
tendríamos que nuestra t es igual a 18 más menos esa raíz de 192.
Esa raíz de 192 yo los invito,
digamos a que la podamos expresar de otra manera yo creo que podríamos sacar en
192 no se que tanto ustedes manejen esto. Voy a sacarle una mitad a 192.
Esto nos quedaría aquí un 9 porque la mitad de 19 es
9 me va a sobrar un 1, mitad de 2 es 6.
Voy a sacar otra mitad y me va a quedar la mitad de 9 es un
4 y me sobra un 1, la mitad de 16 es un 8, saco
otra mitad me queda un 24, otra mitad me queda un 12, mitad, mitad ¿ven?
lo que estoy haciendo es sacar los factores dos ¿si?
en esto y you nos va a quedar tercera una.
¿No?. O sea lo que podemos ver aquí es que va a
aparecer el 2, seis veces como factor. o sease que esto lo puedo escribir yo como
un 64 es un 8 al cuadrado ¿no? por el número 3 que quedó
acá esto que estoy haciendo es simplificar la cantidad ¿okay?
para poder sacar este 64 del radical y nos
va a quedar entonces un 18 más menos 8 raíz
de 3 entre 2 de donde podríamos simplificar 18 entre
2 nos va a quedar un 9 más menos este
8 raíz de tres entre 2 queda un 4 raíz de 3.
9 más menos 4 raíz de 3.
O sea esos dos valores son los dos valores que se unen
al t igual a cero para que nuestra posición sea igual a cero.
Lo retomamos, vamos a retomarlo digamos en nuestra hoja estábamos considerando
aquí, plantea la ecuación x de t igual a cero y resuelvela.
Y entonces aquí x de t igual a cero es en t igual a cero
¿verdad?. En t igual a ¿Dónde me quedó
la cantidad? 9 más 4 raíz de 3 y
la otra es en t igual a 9 menos 4 raíz de 3.
¿Si? Vamos a darnos una
idea de estos dos valores numéricos nada más antes
de despedirnos, haber que tanto tiempo nos queda ¿si?
tendríamos aquí un 9 más un 4
por la raíz de 3. ¿Okay?
y esto nos va a dar un 15 punto 9 2 8, vamos a ponerlo aquí.
15 punto 9 2 8 2 ¿si? apróx.
Y si pusiéramos un signo de menos ¿no? antes entonces pondríamos aquí un negativo
le damos igual y nos va a quedar un 2 punto 0 7 1 7 9.
¿No?.
En este caso you tenemos los valores aproximados ¿no?
de estas
cantidades donde la posición es cero ¿si? Tenemos las otras respuestas ¿no?
you hechas.
Yo creo que en este video ha sido suficiente ¿no?
you martirio de estar resolviendo estas ecuaciones
con los números tan complicadillos que nos salieron.
Me parece bueno que dejemos hasta aquí.
Voy a tratar de juntar toda nuestra información en
una sola imagen para que podamos proceder en el
siguiente video a hacer los dibujos de las gráficas ¿no?.
Los dibujos de las gráficas que eventualmente
nos van a llevar a concluir nuestra historia.
Una larga historia de el movimiento del cochecito rojo.
Los veo entonces.
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