Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. La transferencia a varios contextos reales permitirá fortalecer un aprendizaje con significado e integrar tecnologías digitales especializadas. El objetivo es desarrollar un pensamiento matemático en el aprendizaje de contenidos relacionados con el Modelo Cúbico.El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Factorizamos la suma y resta de cubos
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3.- El Cálculo - Modelo Cúbico
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Ecuaciones y funciones cúbicas
Retomaremos el contexto real del movimiento en línea recta para activar procesos algebraicos relacionados con la interpretación gráfica del movimiento. Consideraremos diferentes casos de ecuaciones cúbicas en las que podremos calcular sus soluciones con procedimientos algebraicos sencillos.
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Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Pues volvemos ahora con nuestras ecuaciones cúbicas,
recuerden cuando comenzamos a estudiar estas ecuaciones cúbicas vimos que las
cosas pueden ser muy complicadas pero a la vez también pueden ser muy simples
porque hemos estado considerando algunas ecuaciones cúbicas en particular.
Yo me vine preparada, aquí traigo mi libreta donde habíamos estado haciendo
las operaciones anteriores, entonces no me va a dejar de mentir mi libreta,
vean ustedes como tomamos esta ecuación cúbica tan larga
pero lo que hicimos fue considerar que la b y que la c fueran cero.
En ese sentido la hicimos sencilla, esta es simple esta ecuación cúbica,
de hecho hicimos un ejemplo y un ejemplo que resulta también
bonito en el sentido de que la solución sale como un número racional.
Acuérdense ustedes de que lo que hicimos fue un despeje nada más,
nos salió el valor de x igual a menos un medio.
Les estaba yo recordando que el teorema fundamental del álgebra nos decía
o nos dice que esta ecuación tiene que tener tres soluciones, sin embargo ahorita
hemos obtenido una, nos quedamos con la pregunta de las otras dos, okey.
En ese sentido fue que nos pasamos a la otra hoja
y lo que les recordé yo aquí fue la división de polinomios.
En esta expresión de ocho x cúbica más uno igual a cero,
sabiendo que x es igual a menos un medio es una solución,
pusimos el factor x más un medio como un
factor sobre el cual vamos a dividir la expresión ocho x cúbica más uno.
Hicimos nuestra división de polinomios, hicimos un recordatorio de esto,
llegamos al residuo cero y llegamos entonces a la expresión que hace
falta aquí, a este algo que multiplicado con esto nos da la expresión original,
esa expresión la tengo en esta otra página y en el momento en que encontré
aquí un dos que era factorizable, yo dije no lo puedo dejar sin factorizar.
Este dos lo multiplicamos con el término x más un medio y entonces nos quedó
nuestra expresión como la estamos viendo ahora.
Esta expresión, esta que les estoy ahorita remarcando
es una expresión que en cierta forma es aplicación de la fórmula que tengo acá
abajo, la fórmula que tengo aquí abajo se llama suma de cubos.
Esta expresión es muy típica en el álgebra que se estudia,
a lo mejor ustedes la traían en su cabeza,
a lo mejor no igual pueden encontrarla en cualquier momento en internet seguramente,
y yo estaba ahí recordándoles como esta sería una aplicación en el
sentido de que veríamos que la letra a es dos x y que la letra b es un uno, y
entonces aquí tendríamos el cuadrado de la a menos a por b más el cuadrado de la b.
Para repasar estas cuestiones yo me propongo en este video voltear la
hoja y que hagamos lo mismo y vamos a adelantar un poco más también,
o sea no van a creer que sea repetición de lo mismo, osea vamos a tomar una expresión
con el signo negativo, vamos a poner aquí ocho x cúbica menos uno igual a cero.
Entonces vamos a volver a hacer aquí la operación que hicimos con anterioridad
que significaría bueno, pues despejar, ¿no?
Aquí fácilmente digo paso este menos uno del otro lado y entonces me va a quedar
ocho x cúbica es igual a uno
que x cúbica es igual a un octavo porque el ocho estaba multiplicando.
Finalmente x va a ser la raíz, ya lo habíamos dicho de cúbica de un octavo.
Les había yo recordado también que cuando tenemos los radicales tenemos la ventaja
de poder decir raíz cúbica de uno arriba en el numerador y raíz cúbica de
ocho abajo en el denominador y aquí está la parte de que mi ejercicio estuvo tan
pero tan bien inventado que me sale aquí una solución muy bonita,
me sale aquí un medio.
Okey.
En este caso tuvimos una solución racional que no es lo común, okey.
Entonces una vez que tenemos esta solución podríamos nosotros decir
que el factor x menos un medio es un factor
de la expresión ocho x cúbica menos uno.
¿Qué quiere decir que sea un factor?
Bueno pues entre otras cosas sería que ocho x cúbica menos uno lo vamos
a poder escribir como x menos un medio por algo, ¿no?
Y este algo que tenemos aquí es un algo que vamos a poder
nosotros encontrar si hacemos nuestra división de polinomios.
Entonces eso es lo que vamos a hacer justo ahorita, fíjense como yo despejo ese algo,
ese algo va a ser ocho x cúbica menos uno entre x menos un medio.
Entonces vamos a hacerlo acá en la siguiente hoja porque sobre ella
quiero recordarles otro procedimiento adicional.
Entonces vamos a hacer la división de ocho x cúbica menos uno entre
x menos un medio, recuerden que lo que hacemos es tomar ocho x cúbica,
dividirlo entre x lo cual nos da ocho x cuadrada,
vamos a poner aquí ocho x cuadrada por x, nos regresamos da ocho x cúbica,
ponemos el signo negativo en nuestro procedimiento, después qué nos quedaría,
ocho x cuadrada por menos un medio que sería un menos cuatro x cuadrada
y ese menos cuatro x cuadrada le cambiamos el signo menos cuatro x cuadrada,
haciendo aquí la operación estos dos se van a cancelar,
aquí sería cuatro x cuadrada menos uno, seguimos en nuestra operación.
Ahora dividimos cuatro x cuadrada entre x nos va a quedar más cuatro x,
cuatro x por x da cuatro x cuadrada, cambiamos signo,
cuatro x por menos un medio quedaría menos dos x, cambiamos signo a más dos x,
hacemos nuestra operación otra vez, nos queda dos x menos uno entre x,
nos va a quedar aquí un más dos, dos por x son dos x, quedaría negativo x,
dos por menos un medio quedaría menos uno para la resta más uno,
y zas ya llegamos al cero, okey.
En este momento hemos encontrado aquí lo que sería el algo,
se acuerdan que decía acá en esta hoja, este algo que nos estaba faltando para
que multiplicado por x menos un medio de ocho x cúbica menos uno, okey.
Bien, en este momento y en este video yo quería recordarles un método que se llama
división sintética que probablemente ya lo conocen, probablemente no.
Es digamos como el nombre lo dice,
es una división de polinomios pero de manera sintética.
O sea lo que uno hace es poner los coeficientes de la ecuación cúbica que
en este caso son el ocho, después seguiría, vean que
aquí no hay un cuadrado, eso quiere decir que hay un cero, un cero por x cuadrada.
Después no tengo un término lineal multiplicado por x,
eso quiere decir que hay un cero por x, okey.
Y finalmente tengo un menos uno, sí, o sea qué es lo que hice aquí,
fue escribir el ocho x al cubo más cero cero x cuadrada más cero x menos uno.
O sea la misma expresión que tengo aquí en la división,
lo que voy a dividir entre x menos un medio.
Después lo que se hace es bajar, bueno poner aquí la solución,
la raíz, que estamos encontrando, que en nuestro caso es el un medio.
Bajamos este coeficiente ocho y les digo esta es una manera sintética de
hacer este procedimiento.
Hacemos una multiplicación, cuál multiplicación,
ocho por un medio nos va a quedar un cuatro que colocamos aquí,
este cuatro más cero se suman nos va a dar un cuatro, sí.
Cuatro por un medio repetimos la acción nos queda un dos que ponemos aquí,
cero más dos nos queda un dos, okey,
dos por un medio me va a quedar uno y menos uno más uno me va a dar un cero.
En este momento este cero que está aquí me está certificando
que x igual a un medio es solución de la ecuación que tenemos aquí, okey.
Y vean ustedes como los coeficientes que nos quedaron justamente son
ocho, que es el ocho que tenemos acá,
cuatro que es el cuatro que tenemos acá y dos que es el dos que tenemos acá.
O sea en cierta forma esta división sintética ya nos dice aquí
quien es el algo que nos estaba haciendo falta
cuando el x menos un medio lo tomamos como factor.
Entonces tendríamos ocho x cuadrada más cuatro x más dos,
verdad, igual a cero, sería el otro factor.
Entonces finalmente hemos logrado nosotros que ocho x cúbica menos uno
se escriba como qué, como x menos un medio por ocho x cuadrada más cuatro x más dos.
¿Cierto?
Y inevitablemente yo como matemática no voy a decir este ocho y
este cuatro y este dos por favor, allí hay un dos de factor que podemos sacar y nos
va a quedar entonces x menos un medio por un dos que multiplica a cuatro x cuadrada
más dos x más uno y finalmente podríamos hacer esta multiplicación de
este dos por x y por menos un medio y lo que obtenemos entonces
es que la expresión de ocho x cúbica menos uno, vamos a escribirla acá,
ocho x cúbica menos uno es igual a dos x menos uno Por x cuadrada,
ya me iba a equivocar, cuatro x cuadrada más dos x más uno, ¿no?
Cuatro x cuadrada más dos x más uno, okey.
Tenemos factorizada nuestra expresión, ¿okey?
Eso quiere decir que esto cuando nosotros igualamos a cero esta expresión
estaríamos sacando las soluciones de esta ecuación cúbica,
estando esta ecuación cúbica factorizada de esta manera podemos
aplicar nuestra alternativa y decir o esto es cero o esto es cero, ¿no?
Cuando hacemos esto pues estamos regresándonos.
O sea estamos llegando a la solución un medio que habíamos sacado desde el
principio.
Y por otro lado cuando estamos haciendo esto igual a cero
estaríamos obteniendo nosotros las otras dos soluciones, ¿no?
De la ecuación cúbica que nos estaban haciendo falta.
Recuerden el teorema fundamental del álgebra nos dice aquí hay tres soluciones,
pero ese tres soluciones está, ¿en dónde?
En el conjunto de los números complejos, ¿no?
O los reales, pudieran ser reales.
Ya nos salió una solución,
esta solución es real y es más aparte de real puedo decir es racional, ¿no?
Es el cociente de dos enteros, es una solución muy bonita.
Su expansión decimal es finita
o bueno a lo más es periódica pero en este caso es un punto cinco es finita, ¿no?
Y en el caso de esta ecuación cuadrática tenemos todavía, ¿no?
Que resolverla y al resolverla vamos a tener que sacar el discriminante.
Es más ahorita se me ocurría, ¿qué tal si vemos el discriminante de una vez?
El discriminante sería, ¿qué?
B cuadrada.
Vean ustedes que aquí está la b, ¿sí?
Vamos a poner aquí este es nuestra b, esta es nuestra a, esta es nuestra c, ¿cierto?
Y entonces sería b cuadrada menos cuatro a c.
Lo que está dentro del radical cuando tenemos la fórmula general y nos daría
esto un cuatro menos cuatro por cuatro por uno
que a todas luces es un número negativo, ¿no?
Menos 12.
O sea este número menos 12 del discriminante ya nos está diciendo
que las soluciones son dos soluciones pero que son complejas, ¿okey?
¿De acuerdo?
En ese sentido ya estaríamos nosotros seguros de que
las soluciones dos son complejas y una es una solución real.
¿Cómo se vería esto gráficamente?
Para decir gráficamente ya me estoy atreviendo con ustedes a decir voy
a llamarle y a ocho x cúbica menos uno, ¿sí?
Si le llamamos y a ocho x cúbica menos uno lo que tenemos ahora es una función cúbica
y entonces tiene su gráfica y el hecho de que nosotros hayamos igualado
aquí a cero quiere decir que estamos viendo cuando la y es igual a cero.
Entonces eso es lo que tendrá una interpretación gráfica.
Si me permiten aquí vamos a escribir esta ecuación en nuestra graficadora.
Entonces vamos a poner ocho x al cubo menos uno
y entonces le pedimos que nos la grafique en un color rojo,
aquí va a estar en color rojo y vean ustedes la curva.
La curva que tenemos sí nos quedó en una ventana media cómoda, ¿no?
Ahí se ve que hay una intersección con el eje x justo en el un medio, ¿se fijan?
Eso es justamente lo que nos salió aquí, ¿no?
Donde decíamos x igual a un medio.
Aquí está es justamente, vean allí ya salió el punto cinco, ¿de acuerdo?
Y esta gráfica ya no va a volver a cortar el eje,
donde quiera que la vea voy a verla desde muy lejos.
Vean ustedes no vuelve, no vuelve al eje horizontal, ¿sí?
Eso me está diciendo que la otras soluciones eran
las soluciones imaginarias.
¿Qué está pasando entonces con este tipo de funciones?
Cuando las soluciones aquí son imaginarias en la parte, ¿no?
Que queda en este algo que faltaba, eso nos va a estar diciendo que nuestro
gráfico de la cúbica va a cortar una sola vez el eje x, ¿no?
Y esto va a pasar en cualquier función que pongamos de esta manera.
Fíjense vamos ahorita a jugar un poco en este minuto que nos queda.
Y piensen ustedes que pusiéramos un, ¿qué?
No tengo que pensar en números bonitos.
Es un nueve punto siete x al cubo, vamos a ponerle así,
x al cubo, vamos a poner igual un menos siete punto cuatro, ¿no?
La vamos a salvar y le decimos que nos la grafique.
Va a estar graficada en un tono azul.
Vean ustedes la gráfica azul y aquí tenemos otra vez el lugar en donde
intersecta, ¿no?
El eje horizontal.
Que este lugar sea un número real estamos segurísimos,
que sea racional o que sea irracional eso es lo que está por verse, ¿no?
¿Qué tendríamos que hacer para saber si es o no es racional?
Pues tendríamos que igualar a cero nuestra ecuación en tono azul, ¿no?
Pero igual eso mismo, ¿no?
Nos va a hacer que, este, resolvamos una ecuación cúbica nuevamente.
La ecuación cúbica igualita a la que teníamos nosotros en un principio
pero con números un poquito más complicados.
Yo pienso que con esto es suficiente por ahora.
Me gustaría que nos quedáramos con esta idea de que estamos viendo ahorita
funciones cúbicas que son de la forma a x cúbica más d, ¿no?
O sea es una función cúbica muy sencilla que tiene dos términos,
el cúbico y que tiene el, el término digamos solo, ¿no?
Que no tiene a la variable.
Que veamos que esas gráficas son muy simples.
Siempre serán cosas que cruzan el eje horizontal una sola vez,
que siempre vamos a encontrar en ellas ejemplares de ecuaciones cúbicas
que tienen dos soluciones imaginarias y una solución real.
Yo los invito en el siguiente video en donde vamos a tratar ahora con
otro tipo de funciones cúbicas.
Acuérdense el propósito ahorita es que vayamos viendo poco a poco
casos de funciones cúbicas que nos lleven finalmente al caso más general.
Los veo en el próximo video entonces.
[MÚSICA]
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