Volvemos entonces ahorita todavía con nuestro tema del modelo cúbico y, eh, bueno, vamos a regresar hacia lo que estábamos haciendo previamente y quería insistirles, ¿no?, nada más en que la presentación que estamos nosotros ofreciendo tiene una intencionalidad de hacerles a ustedes conectar dentro del campo de la matemática lo que es lo gráfico con lo que es lo algebraico con lo que es lo numérico. Realmente you tenemos teorías, ¿no?, teorías que hablan sobre, eh, las dificultades, ¿no?, que hay cuando se aprenden matemáticas y están conectadas con este tipo de flexibilidad entre las representaciones matemáticas. Insistimos en esto por que quisiéramos que, bueno, no sientan ustedes, ¿no?, diferencia con respecto a estar haciendo ejercicios de un mismo tipo siempre, ¿no?, si no que más bien vean, ¿no?, la plasticidad, ¿no?, que pueden tener el estar en, eh, navegando en la matemática, ¿no?, en sus distintas representaciones y estar obteniendo información que a la vez es conocimiento matemático, ¿no? Entonces, tratando de que no sea más que una rutina, ¿no?, de ejercicios nosotros estamos con ustedes aquí razonando, ¿no?, al mismo tiempo invitandolos a razonar, invitandolos a interactuar a transferir el conocimiento, en fin, a hacernos preguntas y a contestarnoslas. Entonces, sí yo quisiera regresar ahora sobre el papel lo que pasó, o sea, fue que pusimos esta, teníamos esta función en tono rojo la cual you sabíamos, ¿no?, que cortaba en el menos 1 en el un medio y en el 2 y después, eh, les hice ver, ¿no?, que podíamos subirla dos unidades. ¿Por qué dije dos? Porque yo vi más o menos esta altura, vean esta, que no llega al dos. Entonces yo dije, sí subo todo dos unidades voy a lograr que este punto quede arriba y sí queda arriba del eje entonces you no va a cortar, you no voy a tener estos dos cortes. Entonces eso va a hacer que mi curva cruce, cruce acá pero you en esta zona de acá you no va a cruzar y, entonces, en el momento que yo me plantee, ¿no?, la expresión y igual a 0 para encontrar los cortes con el eje horizontal me va a quedar una ecuación cúbica de la cual yo puedo decir cosas a un y cuando no la tengo resuelta, ¿si? O sea, la ecuación es esta. ¿Por qué dice ahora más 3? Porque acuérdense que lo que hice fue agregarle dos unidades. Entonces lo que hice fue traerme la expresión que you habíamos trabajado antes al hacer los productos de los binomios y, entonces, le agregué al más uno que teníamos más dos y entonces me dieron más 3, ¿no? Entonces cuando yo quisiera trabajar esta ecuación cúbica, la que están viendo ahorita. De las cosas que uno sabe, ¿no?, es que, bueno, pues puedo multiplicar todo por 2 para que no nos queden estos quebrados y poderlos usar ese resultado que les he platicado acerca de las soluciones. Aquí quedaría 2 x cúbica menos 3 x cuadrada menos 3 x más 6 igual con 0. Esta ecuación tiene las mismas soluciones que esta, ¿okay? Lo único que hicimos fue multiplicar por 2 este lado y como del otro lado tengo un 0, 2 por 0 también da 0. Entonces me vuelvo a quedar la ecuación. Entonces, lo que hace 0 arriba también hace 0 abajo, ¿okay? Entonces, estoy convirtiendola en esta ecuación de la cual you les había comentado que sí uno piensa en los factores de este coeficiente y piensa en los factores de este coeficiente uno puede asegurar que, sería acá más menos 2, más menos 1, luego hablo y estoy pensando varias cosas al mismo tiempo, ¿no? Estos factores y estos factores son los que me dan las combinaciones posibles para sacar las soluciones pero las soluciones racionales, o sea, las que son cocientes de enteros y you desde el principio de nuestro curso hemos tomado conciencia de que los números racionales en cierta forma son bien poquitos, ¿no?, de, comparados con los números irracionales, ¿no? O sea, sí yo veo los racionales en la recta numérica y los pintara todos me van a quedar chorros de agujeros, ¿no?, los agujeros de los irracionales. O sea, realmente esas cosas no son fáciles de concebir mentalmente. Ahí es en donde yo digo, la teoría matemática esa fue bien necesaria para poder dar precisión a todas esas ideas que ahorita yo les estoy manejando, digamos, en un sentido muy coloquial, ¿okay? Entonces, bueno, yo se que las soluciones racionales de esta ecuación que serían los cortes con el eje x de esta curva tienen que estar entre las combinaciones que se hagan cuando yo agarro uno de estos y lo divido entre uno de estos. Vamos a tomarlo entre el uno. Entonces, por ejemplo, fíjense. you sabemos, por este gráfico, que la solución tiene que estar en los negativos. Entonces, no me voy a complicar ahorita checando con los positivos. Piensen que pongo el menos 6 entre el 1, ¿no?, el menos 6. Obvio que no va a ser menos 6 anda por acá, nada que ver, ¿no? Entonces, no, no es el menos 6. El menos 3, ¿no?, dividido entre el menos 1 o entre el 1, ¿no? Me quedaría menos 3, nada que ver. Entonces estos no van a ser. Estos no van a ser. En cuanto al 2 lo divido entre menos 1, ¿no?, el menos 2. No es cierto, tampoco cortó por el menos 2, ¿no? Cuando el 1 lo divido entre el 1 en el menos 1, mentiras tampoco fue aquí. Ahora, si dividiera entonces el 6 entre el menos, entre el 2, ¿no?, le quedaría que el 3, menos 3. ¿A poco el menos 3 va a ser solución? No, no cortó en el menos 3, ¿no? Entonces otra vez decimos este no va a ser. Luego el menos 3 entre 2, me quedaría el menos 3 medios. A ver, este pudiera ser. Supongamonos aquí. Vamonos a ver aquí la cantidad y si ustedes se fijan el menos 3 medios debería estar aquí a la mitad. Entonces no es. Tampoco va a ser para este. Menos 2 entre menos 2 me va a dar el menos 1. you se que no es. Menos 1 entre 1 me va a dar el menos 1 otra vez. Total no se si me pudieron seguir o no. O sea, yo en mi mente estaba tratando de ver cada uno de estos divido entre cada uno de estos factores me dieron todas las oportunidades de encontrar una solución racional de esta ecuación y, ¿qué fue lo que paso? Que ninguno de ellos pega. O sea, ninguno de ellos va a hacer que cuando haga la división sintética me quede igual a 0. Entonces lo que estamos nosotros descubriendo es que esta ecuación que tenemos aquí tiene una solución que le pondríamos irracional, o sea, que nunca va a ser el cociente de dos enteros. O sea, que siempre, bueno, que su representación decimal es infinita y no periódica. Esas son cosas que you apenas en la teoría, ¿se fijan?, o sea, dentro de la practica, bueno, uno aproxima y en ese sentido, bueno, era lo que yo les quería compartir aquí cuando les he dicho, ¿no?, mi, eh, afán por hacer de la tecnología un aliado en nuestro pensamiento. Esta ecuación tiene una solución irracional y, necesariamente, las otras dos son complejas, ¿no? ¿Okay? Bueno, esa solución irracional no la voy a poder encontrar con la división sintética. La división sintética solo sirve para estas, ¿de acuerdo? Entonces estoy desarmada, ¿no? No voy a encontrar esas soluciones de esta manera pero tengo este recurso y en estos recursos uno puede hacer cosas tan simples como esto, ¿no? ¿Vieron lo que hice? Y ahí estoy dandome idea de donde el valor numérico y sí me acerco más, tengo más idea. Entonces, puedo empezar a trabajar. Fíjense, esta entre el menos 1.4 y el menos 1.2. Estoy viendo este lugar, eh, donde cruza y luego lo hago más así, más así, o sea, estoy tratando de precisar lo más posible, ¿se fijan? Esta, esta, ¿cómo les diré?, manera de materializar, ¿no?, lo que acá no pudimos hacer con lo algebraico, es algo que me encanta, ¿no? Ahí tenemos un menos 1.33 y un menos 1.328. O sea, así se puede ir uno, ¿no? La capacidad de estos recursos es realmente, eh, encantadora. Entonces, ¿cuál es mi consejo? O sea, yo quisiera también en esto, eh, dar mi opinión, ¿no? O sea, hay veces en que los métodos algebraicos que son los que han sido lo fuerte en la enseñanza no, no funcionan y, y no tiene sentido dar métodos así cuando son muy limitados. Yo diría que demos ahora la oportunidad a la tecnología, ¿no?, de hacernos ver esto que estoy tratando de hacer, me estoy regresando, hacernos ver una curva en su totalidad y poder interpretar en ella. Entonces para mi ahorita resolver una cúbica significó, significó encontrar aquí este punto y eso lo puedo hacer, ¿no? Lo puedo hacer como lo hice con ese movimiento también hay diferentes opciones. Eso you depende de la, del software que uno esté manejando en particular pero ese you es mi consejo, ¿okay? Hemos encontrado ahorita un momento que fue fácil, ¿no?, porque realmente subimos un gráfico dos unidades y you. Las cosas cambiaron, las soluciones no fueron tan bonitas pero es bien bonito, ¿no?, poder ver que esa solución esta aquí, salo, solo hay que saberla o buscarla o profundizar un rato sobre ella y saber no necesariamente en el campo, digamos, algebraico, si no en el gráfico con el numérico, ¿se fijan? Ahorita estaba invitandolos a ver números cada vez más cercanos, ¿okay? Bien. Volvamos otra vez para terminar con este vídeo, ¿no?, a, sobre la gráfica que teníamos originalmente que era la roja. Si, sí ustedes se acuerdan esa gráfica roja es la que tendríamos cuando aquí en lugar del más 3 teníamos un más 1. O sea, porque era cuando la construimos de una manera que nos acomodaba, ¿no? Entonces lo que yo quiero es traerme ahora esa expresión, la de la roja. Vamos a tomar el tono rojo, y entonces la expresión de la roja era, bueno es, y igual a x cubica menos 3 medios de x cuadrada menos 3 medios de x más 1, ¿okay? Ustedes pueden comprobarlo, ¿no? Fue cuando hicimos esas multiplicaciones de los tres binomios. Lo que quiero ahora ver con ustedes es esta you sabemos que tiene un máximo y un mínimo. Vamos a encontrarlos. Sí veo el gráfico es este y este, ¿no?, que, ¿dónde están?, pues aquí miren aquí está y aquí está pero ahora la idea es dar el valor numérico en que valor de x se tienen cada uno de ellos, ¿no?, y la altura será después un problema también por encontrar. ¿Cómo encuentro esos valores donde esta el máximo y el mínimo? Lo que necesito saber es en dónde su derivada cruza el eje, ¿no?, y entonces eso es lo que hemos estado aprendiendo en todo nuestro discurso. Derivemos entonces 3 x cuadrada menos 3 x menos 3. ¿Cierto? 3 x cuadrada menos 3 medios por este 2 que bajó nos queda menos 3 x menos 3 medios, aquí me faltó el medio, ¿no?, que sería por la x. Aquí you no más quedaría menos 3 medios. Entonces la ecuación que, cuadrática que tenemos cuando igualamos la derivada a 0 es 3 x cuadrada menos 3 x menos 3 medios y esta la vamos a igualar con 0, ¿okay?, y al igualarla con 0 yo preferiría este número 2 multiplicarlo en todos lados. O sea, todo por 2 facilita las cosas. Esto yo se los aconsejo a los estudiantes mucho porque luego los quebrados, por eso no los quieren. A lo mejor realmente los quebrados son bien amigables, ¿no?, nada más hay que saber donde, ¿no?, trabajar con ellos y aquí, por ejemplo, yo les diría es muy amigable, muy amigable pero yo lo voy a multiplicar todo por 2 porque este 2 por 0 me sigue dando un 0 y you no voy a tener los quebrados. Entonces, al aplicar la fórmula general va a ser más sencillo. Entonces, nos va a quedar 6 x cuadrada menos 6 x menos un 3 y esto va a ser igual con 0, ¿no?, y esta ecuación entonces es la que vamos a resolver cuando antes factorizemos un poquito, ¿verdad?, porque valdría la pena por que si tengo un 6, 6, y un 3, ¿por qué no me atrevo a decir 3 por 2 x cuadrada menos 2 x menos 1 igual a 0?, y sí hago esto me va a quedar este 3, bueno, lo puedo pasar dividiendo acá o pensar que este producto va a ser 0 por culpa de que 2 x cuadrada menos 2 x menos 1 nos da igual a 0, ¿cierto? entonces hasta este momento yo me siento, digamos, tranquila de que voy a resolver esta ecuación cuadrática, eh, con mi fórmula general y no voy a batallar tanto, ¿de acuerdo? Entonces, vamos a hacerlo. Vamos a resolver esta ecuación cuadrática para que encontremos donde se tienen el máximo y el mínimo, ¿no? Aquí tenemos nuestra ecuación y entonces vamos a trabajar. x es igual, podríamos hacerlo un poco mental el menos b, ¿se acuerdan? El, la b es el menos 2 entonces nos quedaría menos menos 2 más menos la raíz cuadrada de, ¿qué? De la b al cuadrado. La b es el menos 2, menos 2 con su signo, paréntesis al cuadrado menos 4 por la a que es 2 por la c que es menos 1, ¿okay?, y todo esto entre 2 a que es 2 por 2. Entonces nos va a quedar aquí, ¿qué? 2 más menos raíz de un 4 menos 4 por 2 por menos 1 nos va a quedar más un 8, ¿no? 4 por 2 son 8 entonces nos queda entre 4. Acá 2 más menos raíz de 12 entre 4 y a mi este 12 me recuerda siempre a un 4 por 3, ¿cierto?, y este número 4 lo puedo sacar del radical y nos va a quedar 2 más menos raíz de 4 por raíz de 3, o sea, 2 más menos 2 raíz de 3 entre 4, ¿si?, que finalmente podríamos trabajar 2 entre 4 pues nos va a quedar un 1 entre 2, ¿cierto?, y aquí nos quedaría más menos 2 entre 4 nos quedaría más menos 1 entre 2 raíz de 3, ¿no? ¿Si? Entonces, ahorita, you podríamos ver dos soluciones, ¿cuáles son? x es igual a 1 más raíz de 3 entre 2, y x es igual a 1 menos raíz de 3 entre 2. ¿Quienes son estas soluciones aquí en el gráfico? Estas son las que nos van a dar el valor máximo y el mínimo. ¿Cuál es el máximo, cuál es el mínimo? Eso es nada más algo que lo podemos ver con las cantidades. Fíjense están exactas, eh. Son números irracionales, ¿de acuerdo?, y así las vamos a dejar. Ahorita no voy a aproximar. No necesito eso para darme cuenta de cual es el del máximo y cual es el del mínimo. El que tiene el signo negativo tiene que ser el que está más atrás, aquí sería el máximo. Vamos a ponerle aquí max, y el que tiene el signo positivo es el que está acá y sería el mínimo, ¿no? ¿De acuerdo? ¿Cómo encontrar este, eh, este dónde o a qué altura esta el máximo y el mínimo? Ahí si sería algo en donde yo diría me voy con el graficador o simplemente aproximo estas cantidades y tendríamos que evaluarlas, ¿en dónde? Esta es una pregunta que siempre los alumnos sacan. ¿En dónde? Pues, ¿en dónde? Tiene que ser función. Estoy dibujando esta función, ¿no? Sí yo los metiera en la derivada me tendría que salir un valor igual a 0 porque vienen de allí, vienen precisamente de haber igualado nuestra derivada con 0. Entonces la idea sería para ustedes ahorita que logramos encontrar el, donde toma el valor máximo y mínimo nuestra función roja, ¿si?, la que habíamos inventado, que son números irracionales, los pudimos encontrar, ¿si?, y que el, el valor de la altura podríamos encontrarlo digamos, bueno, si evaluamos ahí en la función, ¿qué función? En la orijon, original. No tiene sentido pensar que en la derivada por que en la derivada valdrían 0, de ahí vienen. Yo creo que con esto, bueno, hemos hecho un buen buen repaso de todo lo que, digamos, en cálculo se conoce en la parte de aplicación es como la graficación. La graficación de funciones es algo que, yo creo, en cierto momento tuvo que haber sido una aplicación pero por ahora, con este tipo de recursos, estamos viendo todas las ganancias que puede haber en el aprendizaje de la matemática cuando podemos usar estos recursos a nuestro favor. Los espero en la próxima sesión en donde, ahora si, tomaremos una función cúbica para resolver un problema de optimización.
