Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. La transferencia a varios contextos reales permitirá fortalecer un aprendizaje con significado e integrar tecnologías digitales especializadas. El objetivo es desarrollar un pensamiento matemático en el aprendizaje de contenidos relacionados con el Modelo Cúbico.El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
¿Cómo se garantiza máximo y mínimo?
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3.- El Cálculo - Modelo Cúbico
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La derivada cuadrática y la función cúbica
Hablaremos del contexto de llenado de tanques para apreciar las diferentes características gráficas que puede tener una función cúbica. Haremos énfasis en la obtención de la derivada y la antiderivada como procesos algebraicos. Utilizaremos la derivada para identificar máximos, mínimos y puntos de inflexión.
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Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Pues bien, regresamos, y se trataba de que ahorita tuviéramos resuelta nuestra
segunda derivada igualada con cero, para encontrar los puntos de inflexión.
Ahora como les dije yo tengo aquí lista mi hojita
con mis soluciones, espero que lleguemos todos a lo mismo.
Realmente fue algo sencillo ¿por qué?
Porque vean ustedes como hemos ido de un lado para el otro.
Yo tenía acá esta hoja y aquí
realmente hicimos la antiderivación, osea que la derivada es esta.
Y esta derivada verdad, era la que habría de llegar si derivo esta función.
Entonces simplemente habría que derivar esta ¿no?
Entonces nos queda menos dos x menos tres, eso es lo que yo tengo copiado aquí menos
dos x menos tres, igualo con cero, despejo y me queda x es igual a menos tres medios.
¿Okay?
Esto para la función azul ¿no?,
para la cúbica azul.
Para la roja también, osea me traje la derivada que you teníamos.
La volví a derivar.
Nos queda menos dos x más tres, igualamos con cero
y pasamos, bueno aquí lo que hice yo fue pasar el
dos x y verlo como en un espejo you de una
vez, dos x igual a tres, x igual a tres medios.
Uno negativo otro positivo, como que a la misma distancia ¿verdad?
Por último en la verde también, la segunda derivada da
menos dos x más nueve y al despejar nos queda x igual a nueve medios.
Entonces estos valores de x nos están dando la posición en
x en donde se va a tener el punto de inflexión.
Si nos vamos a nuestros gráficos, ahora en la computadora y vemos la imagen que
you teníamos, ahí vamos a notar si lo hicimos o no lo hicimos bien ¿no?,
es una ventaja también. Vean ustedes que aquí estamos
en el menos tres medios, menos uno punto cinco.
Para la roja estaríamos en el uno punto cinco, y para la verde
estaríamos en el cuatro punto cinco, que el nueve medios es cuatro punto cinco.
Entonces estamos correctos realmente, yo cuando había construido estas funciones.
lo hice de esa manera.
Pero igual ahorita vamos a tener ocasión de hablar un poquito de esa construcción.
Ahorita por lo pronto, lo que hicimos
fue a partir de la derivada construir la
magnitud, y luego nos fuimos al revés ¿no?,
dada la magnitud, derivarla, volverlo a
derivar para encontrar el punto de inflexión.
Por eso se me ocurrió que en este caso miren ustedes, si yo le doy clic ¿no?,
en donde esta la función de la parábola azul.
Le di clic ahí y le dije a Graphmática deriva.
Y entonces apareció esta recta que
esta aquí.
Se fijan como esta recta cruza justamente donde la derivada tiene su máximo.
Y justamente ahí es donde la función tiene su punto de inflexión.
Entonces se nos hizo aquí un dibujo en tono azul ¿no?,
de las tres gráficas conectadas ¿no?, función, derivada, segunda derivada.
Hacemos lo mismo con las otras, se que haríamos entonces seleccionar
aquí por ejemplo la roja, esta es la roja supongo yo.
Y después gane con esta roja.
Le decimos que la derive ¿no? .
Y ahí esta la derivada, me la volvió a poner en azul.
Bueno, igual, vamos a ver si nos deja otra vez, a veces el Graphmática no lo permite.
Vamos a eliminarla y le vamos a decir otra vez derivala.
Ahí esta, you la tenemos en rojo porque me gusta también
que el dibujo quede parejito ¿no?,
que se vea todo lo azul corresponde a todo lo rojo corresponde.
Y vean ustedes otra vez que tenemos aquel
caso que habíamos platicado, en donde el vértice de
la parábola que es la derivada, es justo donde
su derivada, que es la segunda derivada, cruza ¿no?,
el eje horizontal.
Y aparte es el punto donde también tenemos el punto de inflexión.
Por ultimo en el caso de la verde,
tomaríamos esta gráfica verde la de la
parábola, y le diríamos a Graphmática derívame ¿no?,
y you ahí tenemos la recta que apareció.
Vean esta recta.
Ahorita lo que yo quisiera que ustedes observen es bueno, varias cosas ¿no?,
pero en relación con lo que habíamos
comentado vean la inclinación de esta recta.
Todas estas rectas están con la misma inclinación ¿no?,
una inclinación
que sería ¿qué?, pues negativa.
Una inclinación negativa ¿no?, para ustedes.
Ahí estamos viendo como todas estas parejitas
eso no fue una diferencia se acuerdan.
La amplitud, la abertura de las parábolas que son las derivadas era la misma.
Lo que nos concretamos fue más bien en ver, esto de que la parábola
cruce el eje horizontal o llegue o toque y se regrese, o no cruce.
Y you nos dimos cuenta que eso tiene
que ver con los puntos de inflexión, que a su vez ¿no?,
en este caso ¿no?,
provoca un máximo y un mínimo.
Como podríamos decir digamos algo, un resultado con respecto a la pregunta,
¿que tiene que pasar para que una función cúbica tenga un máximo y un mínimo?
Osea, la respuesta espero que ustedes la tengan
también en mente es, pues lo que se necesita es que su
derivada, que es una parábola corte el eje horizontal en dos valores reales.
¿Cierto?
Y para eso estaríamos asociando una característica
de su discriminante, que deberá de ser positivo.
¿Okay?
Podríamos hacer, construir un resultado matemático ¿no?,
al respecto.
Y poner nuestra función cúbica y después
derivarla, y ver que el discriminante sea cero.
Se los voy a medio esbozar aquí pero en el papel.
Osea acuérdense ahorita que, nuestra pregunta,
una pregunta surgida de este contexto ¿no?,
gráfico que hemos estado manejando es, ¿qué tiene que
pasar en una cúbica para que tenga un valor
máximo y un valor mínimo?
Porque you estamos convencidos de que hay cúbicas
que tienen máximo y mínimo y cúbicas que no.
Entonces para que una cúbica tenga un máximo y un mínimo, que es como
el caso de la azul, lo que necesito es que su derivada cruce el eje.
¿Okay? Si pongo una expresión algebraica general
como y igual a a x cúbica, más b x cuadrada,
más c x, más d. Como nuestra función cúbica ¿no?,
nuestra patrón digamos de función cúbica. Luego la derivamos ¿si?
. Vamos a derivar.
Y nos quedaría que tres a x cuadrado más dos b x, más c.
Esta es la parábola ¿verdad?, que es derivada de esta ¿no?
¿Cierto? .
Si la pregunta es,
¿qué debe cumplir, qué debe cumplir
para que
la cúbica tenga
un máximo y un mínimo?
Osea, ¿qué debe de cumplir esta función
no, para que tenga un máximo y un mínimo? Lo que sabemos nosotros es
que en el proceso de hacer la derivada igual a cero ¿no?,
ahí tendríamos esta ecuación cuadrática.
Tres a x cuadrada, más dos b x más c igual con cero.
¿Cierto?, y al hacer esta ecuación cuadrática ¿no?,
al resolverla
necesitaremos que el discriminante sea mayor que
cero, para que sean dos soluciones reales.
No para tener el caso rojo o el caso verde ¿no?,
sino el caso azul. Dos soluciones reales.
¿Y quien es ese discriminante? Bueno pues en ese momento si me conviene
que les cambie el tono del marcador. Vamos a hacerlo con otro relacionado ¿no?
. Este, esta es mi b, mi nueva b.
Esta es mi a, mi nueva a y esta es mi c que quedo igual ¿no?
¿si? .
Osea yo quiero que ahorita vean a x cuadrado más b x más c.
Porque voy a aplicar la expresión del discriminante
que es b cuadrada menos cuatro a c,
pero son el b cuadrada menos cuatro a c en estos ¿no?,
en este tono de abajo.
Que en el tono de arriba tendría que ser ¿quién?,
dos b al cuadrado ¿verdad?,
porque esta b es dos b, menos cuatro. La a que es un tres
a de acá por la c que es la misma c. Y entonces aquí nos quedaría
si podemos completar esta operación dos b cuadrada es cuatro b cuadrada,
menos un cuatro por tres un doce, a por c. ¿Okay?
Nos quedaría cuatro b cuadrada menos doce a c, que es lo mismo que tener un, bueno
podemos sacar un cuatro de factor que multiplica a b cuadrada menos ¿cuanto?,
para que me de aquí
un doce le pondríamos un tres a c.
Y esta cantidad tendría que ser mayor que cero.
¿Okay?
Entonces para que esta expresión sea positiva, ¿Okay?
necesitan darse ciertas condiciones con la b, con la a y la c.
Osea no cualquier a, b y c cumple que esto es positivo.
Esta es una manera de contestar
nuestro resultado ¿no?, estamos haciendo como un teorema ¿no?
Osea estamos encontrando aquí ¿qué debe de cumplirse?
Lo que debe de cumplirse en esta expresión es que b cuadrada menos
tres a c, que curioso en lugar de menos cuatro a c de la cuadrática, ¿no?,
b cuadrada menos tres a c tiene que ser positivo.
¿Okay? ¿De donde sacamos
esta expresión? .
De haber pensado que necesitábamos que la derivada al igualarse a cero, nos diera
lugar a una ecuación cuadrática cuyo discriminante sea positivo.
Esto para favorecer que la parábola, que es la derivada, cruce dos veces
y que provoque la función cúbica un valor máximo y un valor mínimo.
Entonces la respuesta está dado aquí.
Esta respuesta digamos es general ¿si?, se fijan esto es lo es que se requiere.
Ahora, no obstante a mi se me ocurre que podríamos construir
funciones cúbicas que corten, osea o que tengan un
máximo y un mínimo sin pasar exactamente por esta parte de aquí.
Osea, en que estoy pensando, ahí es
en donde me gustaría que usáramos una herramienta
como la que tenemos ahora. Se acuerdan de nuestro graficador acá.
A la mejor va a ser más fácil que lo visualicemos aquí.
Osea esta hoja que está aquí es valiosísima.
Hemos visto como en una expresión cúbica podríamos desde un principio decir,
esta tiene un máximo y un mínimo o esta no lo tiene.
¿Okay?
Sin nisiquiera usar un graficador.
Pero por otro lado, les digo lo que yo estoy
llevando en mi pensamiento un poquito más allá, es a esto que les decía de construir
una cúbica con máximo y mínimo.
you se que visto desde acá me dirían pues agárrate
una b, una a y una c que cumplan con esto.
Si es cierto ¿no?,
bueno igual eso se va a cumplir pero lo vamos a hacer que se cumpla de una
manera distinta, porque quiero ver ahorita que en
su pensamiento también se enfrenten a estas situaciones ¿no?,
de cuando es aquí la función la que estoy yo graficando ¿no?
. Osea si a mi se me ocurre, que la función
cúbica pase por aquí, y pase por aquí y pase por aquí, ¿si?
Osea como tengo la oportunidad de que en una función cúbica, si igualo a cero
la función cúbica me queda una ecuación de grado tres que tiene tres soluciones.
Bueno, si esas tres soluciones fuesen reales, y mi cúbica entonces tiene
estos tres lugarcitos por donde debe de pasar, imagínense como iría la cúbica.
Osea no puede haber más que de dos ¿no?,
de dos opciones, o sube, baja y sube. O baja, sube y baja ¿no?
Se fijan, osea, realmente ahorita estoy analizando la continuidad
de este tipo de funciones que me permite garantizar ¿no?,
que pudiera darse un comportamiento tipo esto.
¿Si?,
o pudiera darse un comportamiento tipo no se, ni le atine muy
bien ahí pero bueno esto.
Tampoco ahí le atine muy bien fíjense ustedes, que you tengo las crucitas o
si no siempre voy a tener chance de hacer mis crucitas más grandes ¿no?
. ¿Qué tal?
Entonces lo que quería era simplemente mostrarles como en este dibujo ¿verdad?,
tenemos tres, tenemos dos opciones en las
cuales, necesariamente llevo un máximo y llevo
un mínimo. ¿Okay?
¿Cómo vamos a hacer para construir esa función?
Esto es lo que quiero ahorita compartirlo con ustedes, y que es algo
como lo que yo hice para construir
las parábolas con las que estuvimos trabajando.
Algo parecido, eh.
Entonces vamos a hacer que con esta graficadora, vamos a hacer algo como eso.
Entonces yo les propongo que vámonos aquí, tenemos una de las gráficas,
tenemos aquí cuatro opciones.
Vamos a poner en la opción roja, que les parece, si yo quisiera que
cortara aquí, entonces necesitaré que, vamos a usar el marcador rojo.
Vamos a suponer que este punto fuera el menos uno.
¿si?
Entonces x igual a menos uno va a ser una solución de la ecuación cúbica.
Eso quiere decir
que x más uno pase, pase este para acá igual a cero
sería uno, como uno de los factores cuando se resuelve la cúbica.
Entonces estaría poniendo este factor de x más uno como parte de la expresión.
Osea esta función que ando construyendo aquí, realmente es una función del tipo x
menos la primer raíz por x menos la segunda raíz por x menos la tercer
raíz, ¿si?,
y ahorita la primera raíz que voy a poner es el menos uno.
Entonces aquí pondríamos nuestro paréntesis,
pondríamos aquí x más uno ¿cierto?,
cerramos el paréntesis. Y luego le vamos a decir que eso lo
multiplique por, pongámosle aquí que, fuera este el punto cinco, el un medio.
Por seguir un
poquito mi dibujo.
Entonces vamos a ponerle aquí otro paréntesis y le ponemos aquí x.
¿Qué tendríamos que hacer aqui?, aquí hay una diferencia ¿verdad?,
x igual a un medio va a ser la solución, entonces el factor sería x menos un medio.
Entonces vamos a ponerle aquí x menos
punto cinco, para ponerlo con el quebrado ¿si?,
digo con decimal, lo cerramos, cerramos el paréntesis por y
ahora nos falta el tercer término.
Digamos que ahora en quien les gusta que fuera, el dos, vamos a poner el dos.
Entonces aquí x igual a dos sería la solución, x menos dos sería entonces
nuestro factor, y entonces ponemos aquí x, donde esta la x, menos dos ¿si?
. Cerramos.
Salvamos. Y ahora le decimos que nos la grafique.
Y vean la grafica que hemos obtenido, es una gráfica como la
naranja de acá, se fijan, como la naranja, que bueno ahí se ve un
poquito la abertura pero la ventaja de este graficador es este poder ¿no?,
vean ustedes como le estoy, perdón, estoy ampliándola
un poco.
Voy a cerrarla un poco así y entonces you ustedes pueden percibir, claro
que estoy haciendo un manejo de las escalas muy a mi conveniencia ¿no?
Esto a veces es bien ventajoso, tengo la
misma expresión algebraica y esta es su gráfica.
Estamos viendo que cruza en el menos uno punto cinco y en el dos.
¿Okay?
Entonces esta expresión you, es una
función cúbica que tiene un máximo, un mínimo
y claro su siempre constante punto de inflexión.
¿De acuerdo?,
esta función cúbica es una de las que debe de cumplir con
lo que habíamos nosotros encontrado acá, que b cuadrada menos
tres a c es mayor que cero. Claro que para saber quien es b y quien
es a y quien es c, necesito tener la expresión algebraica en esta forma ¿no?
¿Cierto?
Y ahorita la manera de construir esa expresión no fue por allí.
Osea ¿como llegaríamos nosotros a esa forma que tenemos allá?
Lo que ustedes tendrían que hacer es poner la expresión como lo tenia acá ¿no?,
x. como lo tenemos aquí en la pantalla de
la, perdón, de la ipad, x más uno por x
menos un medio por x menos dos ¿si? .
Esta es la operación que yo les voy a pedir que hagan ¿no?,
osea la operación de tarea es multipliquen x más
uno por x menos un medio por x menos dos.
Recuerden que en cada una de estas
multiplicaciones tienen que multiplicar estos dos binomios primero,
este por este más este por este, más este por este más este por este.
Y luego you me quedo aquí algo que van a tener tres términos,
se simplifica cada uno de esos tres términos, se multiplican por estos dos.
Osea se hace que nos van a dar seis términos en total ¿cierto?,
que luego seguramente se van a poder simplificar algunos.
¿Okay?
Yo los
invito a que hagan esa operación.
No los dejo solos, yo se que estas cuestiones de
algebra que luego a uno no le gustan, pero bueno
ahorita lo que he tratado yo de hacer es, que
este ejercicio algebraico sea consecuencia de una pregunta anterior ¿no?
¿Cuál fue nuestra pregunta?
Es que hemos construido una función cúbica que si tiene máximo y mínimo.
Pero quiero comprobar aquel resultado
que vimos con anterioridad, acerca de que su
derivada debe de cruzar dos veces el eje horizontal.
Para eso necesito tener la expresión de la cúbica como a
x cúbica más b x cuadrada más c x más d.
A eso es a los que los estoy forzando, a que hagan la multiplicación de esos
tres binomios y yo los espero para que
en nuestro próximo video podamos retomar esa información
y comprobar nuestro resultado ¿no?,
acerca de funciones cúbicas que aceptan un máximo y un mínimo.
Los espero entonces en el siguiente video donde
retomaremos esto y avanzaremos hacia problemas de optimización.
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