Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. El contexto real de llenado de tanques permitirá hacer una primera transferencia de significado y recapitularemos contenidos preuniversitarios relacionados con el Modelo Cuadrático. El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
El rompecabezas. Relaciones entre gráficas de velocidad y posición
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2.- El Cálculo - Modelo Cuadrático
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Concibiendo un movimiento MUA
Retomaremos el Movimiento Rectilíneo Uniforme para con él concebir un movimiento en el que la velocidad varíe uniformemente. En esto la tecnología tendrá una participación decisiva. Podremos entonces hablar de un Movimiento Uniformemente Acelerado.c
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Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
[MÚSICA] Es momento en que
hagamos un recordatorio de todo lo que hemos aprendido acerca de las relaciones
entre la gráfica de la velocidad y la gráfica
de la posición, en un movimiento en linea recta.
Hemos aprendido varias cosas.
Esto es algo que nosotros en nuestro discurso llamamos un análisis cualitativo,
en el sentido de que no estamos trabajando con
las representaciones algebraicas, no
estamos considerando los valores numéricos.
Sino que más bien estamos haciendo un énfasis en la visualización.
En observar un gráfico, en interpretar.
En encontrar esa relación entre velocidad y posición y tratar de que
este juego, este juego intelectual entre gráficos sea algo de lo que
nos apropriemos, por que tendrá enormes
ventajas en nuestro adentrarnos con la matemática.
Me gustaría entonces presentarlos esta animación.
En donde vamos a trabajar con un rompecabezas.
Welcome Tenemos entonces a nuestros compañeros
aquí, nuestras piezas, vamos a ver la primera pieza de nuestra rompecabezas.
Me está diciendo que tengo un gráfico de velocidad como este.
Como lo pueden ver, es un gráfico rojo, pues si, claro que es rojo.
Pero, ahorita lo que necesitamos ver en nuestra cabeza
es que es un gráfico de una velocidad constante.
Y es una velocidad positiva.
Si este es el gráfico de la velocidad, constante y
positiva, la pregunta es ¿Cual es el gráfico de posición
que tendremos en esta parte superior?
En este momento, cuando yo hago esto con mis estudiantes, es común que empecemos
a usar nuestras manos para estar señalando como va a ser ese gráfico.
En esta ocasión, por ejemplo, ellos hacen un señalamiento
como el que van a ver ahorita en el gráfico.
O sea, esta situación de un gráfico creciente
y con esta forma de una recta, está siendo
la correspondencia con un gráfico de velocidad constante.
Estamos haciendo un recordatorio de nuestro modelo lineal.
Ahorita la chica, digamos, o el chico se
mueve con velocidad constante el gráfico de la
posición es una linea recta, y podríamos decir
que en la posición inicial del chico era 0.
Recuerden que esta posición inicial es algo,
digamos, que puede moverse.
O sea, podremos haberlo puesto en cualquier lugar de
este eje vertical, pero en esta presentación siempre estaremos utilizando
el origen como el origen de la recta, en
que se mueve como el valor de la posición inicial.
Para no estar afectando que nuestros gráficos
siempre comiencen en, justamente, en el origen.
Entonces, pasemos a la siguiente pieza. En esta pieza tenemos ahora
un caso de una velocidad que aparte de
que es roja, es una velocidad constante negativa.
Por ende, entonces el gráfico de la posición, tendríamos una consecuencía ¿no?
Al ser negativa, la posición debe de ser un gráfico decreciente.
Al ser una velocidad constante, la gráfica de la posición tiene que ser una recta.
Entonces, en este momento es cuando
les digo, comienza a observar en los estudiantes que hacen,
digamos, trazados, pensando en cual es la consecuencia de esa velocidad.
En este caso, el trazado es como lo
hice yo ahorita, como estamos viendo en la pantalla.
Nuevamente, vean que lo empece en el origen porque ahorita la posición inicial
no va a ser algo que vayamos a variar. La siguiente pieza que tenemos en nuestro
rompecabezas, nos dice así, que una velocidad tiene este comportamiento.
¿Cual es ese comportamiento?
Pues que es una velocidad positiva lo estamos viendo arriba del eje ¿no?
Es una velocidad creciente ¿ok? Esto nos esta recordando,
entonces, a un movimiento you MUA es un Movimiento Uniformemente Acelerado va
a ir la chica hacia donde, si nosotros
enfocamos en nuestra cabeza ahora en el software.
Tiene que ser un movimiento hacia la derecha cada vez más rápido.
Y si ahora les comento lo que pasa cuando hacemos esto
en salon pues pensaran que habrá estudiantes que lo han captado.
Que tipo de gráfico que deberíamos de tener, es
un gráfico que sea creciente y cóncavo hacia arriba.
A veces usamos
las manos, a veces usamos palabras.
Todo eso en el afán de haber establecida you una relación entre estos dos gráficos.
Una siguiente pieza.
En esta pieza ahora vamos a tener una velocidad como la están viendo que
sigue siendo una velocidad positiva, porque estoy arriba del eje ¿cierto?
Pero en este caso es una velocidad
decreciente, porque el gráfico está de bajada.
Estoy dibujándolo con el cursor, tengo que empezar de izquierda
a derecha, como escribimos, y entonces, haría un gráfico decreciente.
¿Ok?
Tengo velocidad positiva, por ende, el gráfico
de la posición tiene que ser creciente.
Tengo, por otra parte, una velocidad decreciente por ende, el
gráfico de la posición tiene que ser cóncavo hacia abajo.
Entonces,
hay dos informaciones aquí que tenemos que juntar en nuestro pensamiento.
Tenemos que juntar la información de algo creciente con concavidad hacia abajo.
En este momento, hacer el ejercicio desde el punto de vista de intelectual
cognitivo nos llevaría a una imagen previa que después vamos a ver en la animación.
No se
si lo han imaginado you ustedes aquí tengo you lo que debería
de haber visto, o lo que deberían de haber visto en su imaginación.
Tenemos un gráfico creciente y cóncavo hacia abajo.
Pasemos a una siguiente pieza.
Y en esta pieza lo que vamos a observar es una velocidad negativa ¿cierto?
¿Por qué?
Porque estamos debajo de este eje.
Entonces estamos en valores negativos de velocidad.
Por otro lado es una velocidad creciente, vean como estoy
dibujando el gráfico, subiendo, el gráfico que sube es creciente.
Entonces, la información acá nos tiene que decir que se
trata, si uso ahorita mi relación you con el software.
Yo estaría diciendo que es un movimiento que
va hacia la izquierda cada vez más lento.
¿Cierto?
En ese momento estoy interpretando a partir de la gráfica de la velocidad.
Veo velocidad negativa, veo movimiento a la izquierda.
Veo una velocidad que esta acercándose al valor de 0.
Entonces, digo que es un movimiento hacia la izquierda cada vez más lento.
Ahora puedo pensar en una gráfica de posición que
me exprese, que me interprete ese tipo de movimiento,
un movimiento a la izquierda cada vez más lento.
¿Cual sería la imagen que ustedes proponen para ese movimiento?
A la izquierda, cada vez más lento.
Tendrá que ser un gráfico decreciente, porque la velocidad es negativa,
y un gráfico cóncavo hacia arriba, porque la velocidad es creciente.
Yo estoy coordinando
las informaciones, velocidad negativa posición, gráfico de posición decreciente.
Voy a dibujar en mi mente algo decreciente.
La velocidad es creciente entonces, en consecuencia, la
posición tiene que ser una gráfica cóncava hacia arriba.
Voy a combinar las dos informaciones.
Necesito decrecimiento con concavidad hacia arriba.
¿Cual sería ese trazado? Espero que en su mente haya estado el que
estamos viendo ahora en la pantalla. Decrecimiento con concavidad hacia arriba.
Y pasemos a la siguiente pieza.
Ahora vamos a tener el caso de una velocidad negativa pero decreciente.
Si jugamos con la información que you
hayamos establecido vean ustedes, velocidad negativa, me implica
que voy a dibujar una posición decreciente.
Luego, tengo una velocidad decreciente, me implica que voy a
dibujar una posición con una gráfica con cóncava hacia abajo.
Combinemos las dos informaciones.
Decreciente la velocidad, cóncava hacia abajo en la gráfica de posición.
Negativa la velocidad, decreciente la posición.
Un decrecimiento
con concavidad hacia abajo. Decrecimiento con concavidad
hacia abajo, no tarda un estudiante en decirme que es algo así.
Y ahorita lo vamos a ver en nuestro gráfico.
Allí está, decrecimiento con concavidad hacia abajo lo que me esta señalando
que es un movimiento hacia la izquierda, cada vez más rápido.
Pasemos a la penúltima pieza y en esta ocasión,
vamos a tener aquí una velocidad que combina, ¿se fija?
Por primera ocasión, tenemos una combinación de una
parte positiva y una parte negativa de la velocidad.
Inmediatamente, eso va a implicar acá un crecimiento y después un decrecimiento .
El gráfico de la posición no se va a mantener creciente
o decreciente sino que combina crecimiento y después decrecimiento
y digo después porque el tiempo pasa hacia la derecha.
En esta zona va a ser creciente y en esta decreciente.
Por otra parte, como la gráfica de velocidad es decreciente, la
concavidad en el gráfico de posición tiene que ser hacia abajo.
Entonces combinemos, concavidad hacia abajo en el gráfico de
posición con un crecimiento y después un decrecimiento.
No queda de otra mas que ser un dibujo así.
Crece con concavidad abajo y sigue decreciendo con concavidad abajo.
Es como un puente ¿no?
Y tenemos aquí la situación. ¿Porque empieza en 0?
Por que así lo hemos querido. Que todos nuestros gráficos empiecen en 0.
Pero estamos de acuerdo en que podría haber
empezado en cualquiera de estas valores de acá.
Observen ustedes como justo cuando la velocidad va aquí en 0, es cuando
aquí obtenemos este punto, es el que esta más arriba en el gráfico.
Correspondiendo con el cambio de un crecimiento
a un decrecimiento en el gráfico de posición.
Pasamos a nuestra ultima pieza. Y en esta pieza tendremos
el caso, digamos, análogo, pero con una velocidad
ahora que cambia de valores negativos a positivos.
Por ende, la posición tendrá que ser decreciente y luego creciente.
¿Que me dicen de la concavidad?
A ser nuestra gráfica de velocidad creciente acá
tendremos que ver un gráfico cóncavo hacia arriba siempre.
Entonces si pensamos,
aquí en esta zona de velocidad negativa implica decrecimiento.
Aquí en esta velocidad positiva implica crecimiento.
Y aquí esta velocidad creciente me dice con concavidad hacia arriba.
No queda de otra más que se forme la letra U.
Eso es lo que expresan a veces los estudiantes para referirse a esa gráfica.
Que también con las manos es usual obtenerla cuando
you hemos hecho este ejercicio de combinación, de formación entre gráficos.
Les confieso que no es algo completamente sencillo,
es algo con lo que muchos estudiantes batallan.
Pero igual, ciertamente, habrá quienes seamos
más visuales que otros, más sin embargo
yo pienso que esta habilidad visual es algo que vale la pena desarrollar.
Espero que este ejercicio
les haya ayudado en ese sentido. Pero déjenme probarlos.
Porque si realmente esto ayuda, yo esperaría que
pudiéramos jugar como se los voy a proponer ahora.
¿Que es lo que vamos a hacer en nuestra presentación?
Lo que me voy a permitir hacer, si me acompañan
en la pantalla, es un pequeño juego en este sentido.
Vamos a hacer que estas gráficas
se revuelvan un poco. you las revolvimos.
Y la pregunta es ¿Cuál va con cuál?
Y por si fuera poco Hagamos, digamos, otra revoltura más, hasta que
las tenemos en la posición que estamos viendo ahorita.
Hemos asignado aquí valores numéricos ¿Ven?
Uno, dos,
tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho nueve,
diez, once, doce, trece, catorce, quince, dieciséis.
Hemos hecho ahí una cierta realización donde les damos una ventaja.
Porque el primer renglón son posiciones.
El segundo renglón son velocidades, el tercer renglón
son posiciones y el cuarto renglón son velocidades.
El juego
consiste en relacionar una posición con su correspondiente velocidad.
Hay que tener cuidado de no asociar
posición con posición o velocidad con velocidad.
Aquí el juego es estricto en el sentido de que
cada numero de posición irá con un numero de velocidad.
Yo les invito a que hagan este ejercicio visual que empiecen
ahorita, en este momento a hacer una asociación.
Tomen un lápiz, un papel y digan, por ejemplo, este numero uno ¿Con quien?
¿Con quien va?
¿Con cuál de los gráficos que están acá lo voy a asociar?
¿Este numero uno tendrá que corresponder con un numero de los que están acá?
Yo les invito a hacer el ejercicio, yo les invito
en este momento a parar el vídeo si os gustan
y cuando tengan su solución, los invito a que hagan un
click de nuevo, déjenlo en pausa para que después de esa pausa,
pueden regresar en donde en mi pantalla les voy a dejar la
respuesta. [MÚSICA]
[MÚSICA]
[MÚSICA]
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