This class presents the fundamental probability and statistical concepts used in elementary data analysis. It will be taught at an introductory level for students with junior or senior college-level mathematical training including a working knowledge of calculus. A small amount of linear algebra and programming are useful for the class, but not required.
Set Notation and Probability
Loading...
Из курса от партнера Johns Hopkins University
Mathematical Biostatistics Boot Camp 1
239 оценки
Из урока
Introduction, Probability, Expectations, and Random Vectors
You are about to undergo an intense and demanding immersion into the world of mathematical biostatistics. Over the next few weeks, you will learn about probability, expectations, conditional probabilities, distributions, confidence intervals, bootstrapping, binomial proportions, and much more. Module 1 covers experiments, probability, variables, mass functions, density functions, cumulative distribution functions, expectations, variations, and vectors.
Познакомьтесь с преподавателями
Brian Caffo, PhDProfessor, Biostatistics
Bloomberg School of Public Health
Итак, перед началом обсуждения вероятности, нам потребуется немного базовой математики.
Сейчас каждый, кто слушает эту лекцию, введёт обозначение множеств
в некотором смысле, в свою жизнь и осветит его поверхностно
или более глубоко с математической точки зрения.
В случае вероятности, обозначение множеств подчиняется тем же правилам,
разумеется, это просто часть традиционных обозначений множеств.
Однако, трактования одних и тех же обозначений немного различаются.
Обычно, когда вы говорите о множестве, вы подразумеваете некоторое
сверхпространство, в котором всё заключено.
В статистике мы называем это выборочным пространством и
обычно обозначаем заглавной буквой омега, и
это совокупность всех возможных исходов эксперимента.
В качестве простого примера, давайте проведем эксперимент.
Мы подбрасываем кубик, и возможный набор исходов: один, два,
три, четыре, пять или шесть.
Здесь мы не будем играть в игры разума, мол кубик может упасть
на ребро или угол или ещё как-нибудь.
Он точно выдаст одно из чисел, и
тогда выборочное пространство будет включать целые числа от 1 до 6.
Событие - это любое подмножество выборочного пространства.
Так например, возможно событие E, что выпадет четное число.
тогда E - это набор, состоящий из чисел 2, 4 и 6.
Конкретные типы событий так
часто обсуждаются, что им дали отдельное название.
Элементарное, или простое, событие - это конкретный результат эксперимента.
Так например, если на кубике выпадает 4,
тогда мы обычно записываем строчную букву омега
омега = 4.
Сейчас мы не будем вдаваться в детали о фактическом числе четыре и
наборе, содержащем элемент четыре.
Но думаю, в традиционном определении, простое событие - это фактический элемент
а не множество, содержащее элемент четыре.
Но сейчас, я не думаю, что для наших целей требуется такое различие
затем всегда полезно поговорить о нуле.
Событие с нулевой вероятностью - это фактически событие, когда ничего не происходит.
Невозможное событие или пустое множество
обычно обозначается буквой, как здесь, которая просто называется ноль.
Ещё раз, обозначение множеств в теории вероятности подчиняется тем же правилам,
что и традиционные обозначения множеств.
Потому что они сами являются традиционными обозначениями множеств,
но просто трактуются по-другому.
Так, говоря, что элементарное событие - это элемент события,
мы подразумеваем, что E происходит, когда происходит w.
Например, возвращаясь к предыдущему слайду.
Если наше элементарное событие - это выпадение на кубике 4, а
событие - это выпадение чётного числа.
Если выпадает 4, то выпадает чётное число.
Если элементарное событие не входит в множество события,
это значит, что E не происходит, когда происходит w.
Например, если элементарное событие - это выпадение 5.
5 не принадлежит множеству чётных чисел, значит, когда выпадает 5,
не выпадает чётное число.
Мы можем продолжить логические рассуждения.
Например, "E является подмножеством F" - значит, что происшествие E
подразумевает происшествие F.
Например, давайте положим, что E - событие, когда выпадает чётное число,
E равно 2, 4, 6, а F - это событие, когда выпадает или чётное число, или 5.
То есть, F - это выпадение 2, 4, 6 и 5.
Двух, четырех, пяти, шести,
тогда происшествие E подразумевает происшествие F.
Значит, когда на кубике выпадает чётное число, тогда также выпадает
элемент множества чётных чисел и пяти.
Если стандартное множество E пересекает F,
это значит, что случаются и E и F.
Приведу определенный пример такого события, представьте, что E - это событие, когда
выпадает чётное число, F - это событие, когда выпадает простое число.
Давайте подумаем, какое простое число может выпасть. Это могут быть два,
три и пять.
E пересекает F - значит, что выпадает как чётное, так и
простое число. Это просто будет число два.
Итак, случай, что событие E пересекает F, значит, что вы получаете и чётное число, и
простое число, что, разумеется, в данном случае, значило бы, что выпадает двойка.
E объединение F - это стандартное обозначение множества для объединенного множества, но
в вероятностном трактовании это значит, что по крайней мере происходит E или F.
В моем прошлом примере, это бы значило, что выпадает
либо чётное, либо простое число, или же оба, в случае двойки.
"E пересекает F равно пустое множество" значит, что оба E и F
не могут произойти одновременно.
Представим, что E - множество чётных чисел, F - множество нечётных чисел,
тогда мы не можем подкинуть кубик так, чтобы выпало и чётное, и нечётное число.
Поэтому "E пересечение F" будет пустым множеством, и
это достаточно важно, чтобы мы дали им собственное название.
Здесь выделенным жирным вы можете видеть их собственное название.
Это взаимоисключающие события.
Если мы говорим, что два события взаимоисключающие,
это значит, что они оба не могут произойти
Часто можно слышать, как люди употребляют выражение "взаимоисключающие" неверно.
Технически оно означает, что
случаи взаимоисключающие, если оба одновременно не могут произойти.
Затем дополнение события, E комплементарное или иногда мы можем записать
E с небольшой чертой вверху, означает, что E не произошло.
В нашем случае, где E - чётное число: два, четыре или шесть,
E комплементарное - это нечётные числа: один, три и пять.
Так как что-то и противоположное ему не могут пройзойти одновременно,
их пересечение - всегда пустое множество.
E и E комплементарное всегда являются взаимоисключающими.
Существует стандартное множество фактов, о которых мы также должны помнить.
Это знаменитые, так называемые законы ДеМоргана.
"A пересекает B" комплементарное - это "A комплементарное" объединение "B комплементарное"
Можно думать, что этот маленький значок комплементарности
как бы вносит себя в круглые скобки к A и B,
"A комплементарное" и "B комплементарное", и кепка переворачивается в стаканчик.
Затем было бы здорово взглянуть на второй пример этого закона ДеМоргана.
"A объединение B" комплементарное - это Ac пересекает Bc, происходит то же самое:
эта "с" вносит себя в круглые скобки, поэтому получается А комплементарное и
В комплементарное.
В этом случае, стаканчик становится кепочкой.
Закон ДеМоргана по существу говорит, что, если вы комплементарны по ту сторону и
вы либо пересечение, либо объединение, "c" вносит себя, но
всё переворачивает.
Переворачивает все стаканчики и кепочки.
Я попытаюсь привести словесный пример законов ДеМоргана, и вот
лучшее, что я мог придумать.
Пусть A будет событием, что вы аллигатор, а
B - событием, что вы черепаха, тогда
событие "A объединение В" - это событие, когда вы или черепаха, или аллигатор.
Тогда комплементарность означает, что черепаха или аллигатор - это не вы, тогда
закон ДеМоргана утверждает, что "А комплементарное пересекает B комплементарное", А комплементарное -
вы не аллигатор, пересекает "B комплементарное" - вы не черепаха.
Итак, теория множества во взаимосвязи с языком звучала бы так: если алигатор или
черепаха не вы, тогда вы не аллигатор и также не черепаха.
Эти два высказывания равноценны.
По-моему, все согласятся, что те два высказывания схожи.
Другой пример на второй закон ДеМоргана: если ваша машина и гибридная, и дизельная,
пусть А - событие, что ваша машина гибридная, и
B - событие, что ваша машина дизельная, и берется их комеплементарное пересечение.
Если ваша машина и гибридная, и дизельная,
тогда ваша машина не является негибридной или недизельной.
что A комплиментарное объединение B комплиментарное.
Некоторые другие небольшие факты, которые, я уверен, вы помните из теории множеств,
А комплементарное комплементарное - это А
Так, если не не выпадает чётное число, тогда выпадает чётное число.
И величина "A объединение B" пересекает С - это "А пересекает С" объединение "В пересекает С".
Чтобы просто запомнить, можно думать об объединении как своего рода
сложении, а о пересечении - как об умножении.
Это небольшое правило очень похоже на свойство распределения.
С как будто умножается на А,
С умножается на B,
как будто вносится знак плюса между объединениями.
Таким образом вы можете запомнить это правило.
Всё это даёт вам самые основы, Розеттский камень, освоение традиционных обозначений множеств и
соединение их со способом мыслить о них в контексте вероятности.
Дальше мы на самом деле будем использовать множества для изучения вероятности.
Сейчас очень короткая часть лекции, в которой
мы поговорим о вероятности на самом абстрактном уровне.
И уже в следующей части, мы поговорим о вероятности как о
математическом понятии, но я хотел бы уделить минуту обсуждению
к чему же ведёт вероятность как инструмент моделирования для анализа данных, и вот
стратегия, лежащая в основе большей части науки, и идея такова.
Для данного эксперимента представьте всё, что вы знаете в виде систематиматической модели.
Например, в виде прямых или плоскостей,
или гиперплоскостей, где какой-либо исход, скажем,
гипертензия зависит от множества исходных факторов линейно.
И модель, как известно, или как предсказано теоретически, или
предположено для удобства, показывает зависимость известных исходных
факторов с известным исходом. И затем представьте что-то ещё в виде случайных величин.
Сейчас эту информацию трудно переварить, думаю,
многим, потому что почти во всех случаях применения вероятности,
очень сложно определить то, что называется случайным,
например, ранее на лекции мы говорили о ретроспективном анализе больничных записей.
И в этом случае, если бы вы моделировали исход, имел ли
человек заболевание, как предсказывается его историей,
и на модели выполняли некоторую форму ретроспективного выборочного анализа.
Было бы не совсем ясно, откуда берётся случайность, или в принципе
что значит случайность в данном контексте.
И хотя так дело и обстоит, мы всё равно используем вероятность для оценки
совокупности неизвестных данных в эксперименте, обращаясь с ними так, если бы они были бы
случайными, и затем нам нужно быть аккуратнее с трактованием вероятностного
высказывания в том контексте относительно того, что понятие "случайный" означает в том случае.
В каких-то других обстоятельствах имеется довольно конкретное определение того, что значит "случайный".
Например, иногда анализ клинических испытаний проводится с использованием
рандомизации, которую применили для отнесения пациентов к группе лечения или контроля, в качестве
фактической вероятности, которую и моделируют в математических моделях.
И тогда можно самым непосредственным образом указать на случайность, которую моделируют.
Однако здесь также существует свои проблемы.
Я просто хочу сказать, что процесс использования вероятности,
третий пункт, использование вероятности для измерения неточности ваших
заключений при моделировании случайности, - это очень деликатный вопрос.
И как вы можете понять из обсуждения, все эти первых три
важных пункта имеют за собой некоторый багаж в условиях предположений и
всего того, что в принципе нельзя оценить, и всё, что мы хотели бы сделать, - это проверить
насколько чувствительны наши заключения к предположениям в этих моделей.
В некоторых случаях, мы можем непосредственно проверить их.
Мы можем проверить, представляет ли связь между ответом и
исходными факторами прямую, и сказать, что всё в порядке, смоделировав такую прямую.
В других случаях имеются предположения, которые мы, возможно, не можем проверить.
Имеются переменные, которые мы не можем собрать,
или переменные, которые мы даже не знаем.
В этом случае,
нам нужно оценить чувствительность нашей модели в условиях неизвестности.
Нам нужно оценить, насколько робастен наш подход к неизвестным величинам, и
что вытекает из исследования, как были собраны данные?
Как использовались методы статистики?
Что фактически моделирует вероятность?
В дальнейшем мы и обсудим математику вероятности, и также,
надеюсь, коснёмся и этих вопросов.
Сейчас хочу подчеркнуть, что всё это очень, очень трудные темы,
над которыми многие бьются, если погружаться в них на достаточном уровне, и
в этом курсе мы лишь надеемся дать вам начальное представление обо всём этом.
И думаю, вы бы уже кое-что сделали, когда будете обдумывать вероятность
на своих анализируемых данных, - это то, что вы будете утверждать,
что имеется 95% доверительный интервал или пустое p-значение, или
что-то вроде того, фактически используя вероятность для анализа собственных реальных данных.
Давайте сделаем попытку понять, что значит моделировать случайность,
откуда берётся случайность и насколько хорошо, по-вашему,
ваши вероятностные высказывания характеризуют эту случайность.
Это конец первой лекции в Лагере Новобранцев Математической Биостатистики.
В этой лекции, мы охватили основные абстрактные понятия.
И в следующей лекции, мы охватим большинство математических основ,
лежащих в основе вероятности.
Итак, убедитесь, что вы запаслись кофе, чтобы начать.
# [МУЗЫКА]
Ознакомьтесь с нашим каталогом
Присоединяйтесь бесплатно и получайте персонализированные рекомендации, обновления и предложения.
Coursera делает лучшее в мире образование доступным каждому, предлагая онлайн-курсы от ведущих университетов и организаций.
© Coursera Inc., 2019 Все права защищены.
