На прошлой лекции мы с вами рассмотрели пример вычисления кратности собственных значений Star графа степени семь. Для этого нам понадобилось сделать следующие шаги. Во-первых, мы с вами нашли все разбиения числа семь — их оказалось 15. Далее для каждого из этих 15 разбиений мы построили все стандартные таблицы Юнга — их оказалось 232. После этого найденные стандартные таблицы Юнга были проиндексированы в соответствии с индикатором числа семь. И вот на основе этих данных нам удалось воспользоваться нашей главной, нашей основной формулой для вычисления кратности собственных значений Star графа, и мы нашли кратности собственных значений ноля и плюс и минус единицы. Вычисления были сложными. И в этой лекции сегодня мы покажем, как можно эти вычисления немножко сократить. Прежде всего мы с вами определим такое понятие как крюк в диаграмме Юнга формы Лямбда. Итак, крюком клетки (i, j) в диаграмме Юнга формы Лямбда называется множество всех клеток, которые находятся выше этой клетки, правее ее, а также сама клетка. А длиной крюка называется число клеток в крюке. Давайте мы с вами посмотрим, как возникают крюки в диаграммах Юнга, которые соответствуют разбиению целого положительного числа четыре. Для самого числа четыре у нас в диаграмме Юнга в клетке (1, 1) крюк — это все те клетки, которые от него справа; и тем самым длина этого крюка будет равна четырем. Крюки других клеток этого разбиения, а также их длины сейчас постепенно появляются на слайде. Точно таким же образом, аналогично вычисляются длины крюков для всех остальных разбиений целого положительного числа четыре. Это разбиение (2, 2), (2, 1, 1), а также (1, 1, 1, 1). Известно, что существует очень простая формула для вычисления длины крюка, но для того чтобы нам ввести эту формулу, нам понадобится еще некоторое дополнительное определение. Итак, пусть у нас имеется с вами разбиение Лямбда, тогда сопряженным к этому разбиению является другое разбиение Лямбда штрих. Но при этом должно выполняться следующее условие: клетка (i, j) принадлежит разбиению Лямбда тогда и только тогда, когда клетка (j, i) принадлежит разбиению Лямбда штрих. Таким образом в сопряженном разбиении его элементами будут являться высоты столбцов исходного разбиения. Так, в частности, разбиение (4) и (1, 1, 1, 1), а также разбиение (3, 1) и (2, 1, 1) будут являться сопряженными. Тогда длины крюков вычисляются по формуле, которую вы сейчас видите на слайде. Формула достаточно простая. Как же мы можем воспользоваться этой формулой? В 1953 году была найдена удивительная связь между крюками и стандартными таблицами Юнга, а именно: было показано, что если у нас имеется некоторое разбиение Лямбда целого положительного числа n, то в этом случае размерность неприводимого представления V Лямбда равна числу стандартных таблиц Юнга, которое задается той простой формулой, которую вы сейчас видите на слайде. Давайте с вами найдем число стандартных таблиц Юнга для всех разбиений числа четыре с использованием уже этой формулы. Мы просто воспользуемся с вами теми предыдущими вычислениями, которые мы только что сделали, а именно по диаграммам Юнга с длинами крюков в каждой клетке мы посчитаем число стандартных таблиц Юнга. Таким образом мы имеем: для разбиения (4) у нас одна стандартная таблица Юнга, так же как и для сопряженного разбиения (1, 1, 1, 1). Для разбиения (3, 1) их три, так же как и для сопряженного разбиения (2, 1, 1). И наконец, для разбиения (2, 2) у нас имеется две стандартные таблицы Юнга. Таким образом с помощью формулы крюка достаточно просто вычисляется первый множитель нашей основной, нашей главной формулы кратности собственных значений Star графа — это размерность неприводимого представления. Мы знаем, что она совпадает с числом стандартных таблиц Юнга некоторой заданной формулы. А как же быть со вторым множителем в этой формуле, а именно с числом различных стандартных таблиц Юнга с заданным индикатором числа n? Оказывается, что формулу крюка можно использовать и в этом случае. Как это сделать? Для этого нам нужно ввести еще одно понятие. Пусть диаграмма Юнга Лямбда с крышечкой получается из диаграммы Лямбда удалением клетки, которая содержит элемент n. Тогда для второго множителя верна формула, которую вы видите сейчас на слайде, где hij с крышечкой соответствуют длинам крюков в диаграмме Лямбда с крышечкой. Давайте продолжим работать с тем примером, который мы с вами рассматриваем, а именно с диаграммами Юнга, соответствующими разбиениям целого положительного числа четыре. Итак, для разбиения (4) в стандартной таблице Юнга четверка располагается в самой последней клетке. Что мы делаем? Мы убираем ее оттуда, получаем диаграмму Юнга, для которой вычисляем вновь длины крюков. И затем по новой формуле вычисляем второй множитель. Замечательно. Для разбиения (3, 1) делаем то же самое. Для него у нас имеются три стандартные таблицы Юнга, которые вы сейчас видите на слайде. Для каждой из этих таблиц мы удаляем клетку с числом четыре. Получаем диаграммы Юнга, в которых длины крюков представлены на слайде. Тогда число стандартных таблиц Юнга с индикатором числа четыре, равным один будет равно единице, а число стандартных таблиц Юнга с индикатором числа четыре, равным минус два, будет равно двум, что в точности соответствует найденному ранее. Далее, для разбиения (2, 2) имеются две стандартные таблицы Юнга с индикатором числа четыре, равным [inaudible]. Что мы делаем? Мы опять убираем клетку с элементом четыре, и в новой диаграмме Юнга считаем длины крюков, а также вычисляем нужную величину. Две оставшиеся диаграммы Юнга являются сопряженными к тем, что мы уже с вами рассмотрели, поэтому для них вычисления будут аналогичными. А теперь нам осталось только вычислить кратности, а кроме этого сделать проверку. Проверка состоит в том, что сумма кратности всех различных собственных значений графа должна нам дать число всех вершин этого графа. Проверяем. Совпало. Замечательно. Мы с вами полностью рассмотрели пример. Мы поняли, что можно сократить вычисление, и тем самым мы с вами освоили технику вычислений кратности и собственных значений Star графа на основе стандартных таблиц Юнга. А чтобы это все сделать, нам с вами понадобилось разобраться в очень даже непростой теории представлений симметрической группы. На этом мы с вами заканчиваем с нашим материалом этого пятого модуля. А в следующем модуле мы с вами (это будет завершающий модуль). В этом завершающем модуле мы с вами познакомимся со схемами отношений и когерентными конфигурациями, а также узнаем, как эти новые понятия связаны с теми, которые мы с вами рассмотрели, а также как они связаны с другими дисциплинами. На сегодня все. Всего хорошего.
