[МУЗЫКА] [МУЗЫКА] На прошлой лекции мы показали с вами, как связаны элементы Юциса — Мёрфи со стандартными таблицами Юнга, а именно мы сформулировали следующий важный факт из теории представлений симметрической группы. Для разбиения λ целого положительного числа n существует базис в пространстве vλ, индексируемый стандартными таблицами Юнга формы λ, такой что выполняется соотношение на собственные числа, в котором присутствуют элементы Юциса — Мёрфи и индикаторы чисел стандартной таблицы Юнга, которые по совместительству и являются собственными значениями Star графа. Но откуда это следует? Давайте мы с вами сейчас покажем связь между Star графом и элементами Юциса — Мёрфи. По определению, Star граф является графом Кэли на симметрической группе, которая порождается n − 1 транспозицией вида (1i), где i пробегает от 2 до n. Очевидно, что если вместо этого порождающего множества взять другое порождающее множество из n − 1 транспозиции вида in, вы получите граф Кэли, который будет изоморфен Star графу. Таким образом, действие элементов Юциса — Мёрфи на базисном векторе дает нам собственные значения Star графа, а именно все целые числа в диапазоне от −(n − 1) до n − 1 являются собственными значениями Star графа. В том числе и ноль тоже будет являться собственным значением при n ≥ 4. А как же обстоит дело с кратностями собственных значений Star графа? Давайте отметим, что поскольку Star граф является (n − 1) регулярным, это значит, что (n − 1) будет являться собственным значением с кратностью 1. Это следует из спектральных свойств регулярных графов, которые были самым подробным образом изучены в предыдущем модуле. В том же модуле было показано, что спектр двудольного графа является симметричным относительно нуля. Это означает, что если у вас имеется собственное значение θ с некоторой кратностью, то −θ будет являться также собственным значением и с той же самой кратностью. Поскольку у нас граф является двудольным, это значит, что это правило действует и для него. И вот мы с вами подходим к главному результату, в котором сейчас запишем формулу для вычисления кратности положительных собственных выражений Star графа. Итак, кратность собственного значения n − t записывается формулой, в которой суммирование берется по всем разбиениям λ целого положительного числа n. Первый множитель — это у нас размерность неприводимого представления, совпадает с числом различных стандартных таблиц Юнга формы λ, а второй множитель равен числу стандартных таблиц Юнга формы λ, для которых индикатор числа n совпадает с собственным значением n − t Star графа. Посмотрим, как выглядят спектры Star графов в степени n при малых значениях n. Например, спектр Star графа S2 содержит только два собственных значения +1 и −1, и оба имеют кратность 1. Спектр Star графа S3 содержит собственные значения ±2 и ±1, кратности которых соответственно равны 1 и 2. Ноль как собственное значение появляется у нас впервые для Star графа степени 4. Кратности других собственных значений в этом случае будут равны 3, 6 и 1. С ростом n, очевидно, растут и кратности. Так, в случае n = 5 кратность нуля уже будет равна 30, а при n = 6 кратность нуля будет 168. Если же мы с вами рассмотрим симметрическую группу степени 7, то в этом случае кратность нуля будет равна 840. Вот давайте возьмем самый сложный из этих спектров и рассмотрим на его основе, как подсчитываются кратности собственных значений. Итак, пусть у нас n = 7, в этом случае у нас имеется 15 различных разбиений, которые вы сейчас видите на слайде. Далее, для каждого из 15 разбиений мы найдем множество всех стандартных таблиц Юнга соответствующей формы. Мы знаем с вами, что мощность каждого такого множества совпадает с размерностью неприводимого представления. Это именно то, что нам и нужно. Так, например, для разбиения λ число 7 размерность соответствующего неприводимого представления будет равна 1, поскольку имеется только одна стандартная таблица такой формы. Индикатор числа 7 в этом случае будет равен −6, потому что число 7 находится в ячейке (1, 7). Далее, для второго разбиения (6, 1) у нас имеется два различных множества стандартных таблиц Юнга с различными индикаторами числа 7, а именно пять стандартных таблиц Юнга с индикатором −5 и одна стандартная таблица с индикатором, равным единице. Всего их шесть. Это и есть размерность неприводимого представления для данного разбиения. Аналогично получается для разбиения (5, 2). У него также будет два множества стандартных таблиц Юнга с различными индикаторами числа 7, а именно девять стандартных таблиц Юнга с индикаторами −4 и пять стандартных таблиц с индикатором ноль. Всего 14, что совпадает с размерностью неприводимого представления разбиения (5, 2). Далее, мы продолжаем таким же образом и находим все стандартные таблицы Юнга для всех 15 разбиений. И для них показываются числа стандартных таблиц Юнга, индексированные по индикатору числа 7. А как же проверить, что у нас все верно? Для этого мы воспользуемся той самой формулой из предыдущей лекции, которая говорит нам о том, что сумма квадратов размерности неприводимого представления должна быть равна порядку группы. Проверяем. Совпало. Замечательно. Теперь, когда у нас все диаграммы Юнга представлены и размерности неприводимых представлений найдены, мы готовы с вами вычислить кратности собственных значений Star графа. Так, для собственного значения ноль мы имеем следующее. Для каждого из разбиений (5, 2) и (2, 2, 1, 1, 1) имеется 14 стандартных таблиц Юнга, среди которых пять стандартных таблиц Юнга с индикатором 7, равным нулю. Кроме этого, для каждого из разбиений (4, 2, 1) и (3, 2, 1, 1) у нас имеется 35 стандартных таблиц Юнга и десять стандартных таблиц Юнга с нужным индикатором, что в соответствии с главной формулой дает нам 840. Это и есть кратность нуля. Давайте повторим эту же процедуру для собственного значения 1. Итак, для разбиения (6, 1) имеется шесть стандартных таблиц Юнга, и из них только одна стандартная таблица с нужным индикатором. Далее, для разбиения (3, 2, 2) имеется 21 стандартная таблица Юнга, и из них 16 с нужным индикатором. И наконец для разбиения (2, 2, 2, 1) имеется 14 стандартных таблиц Юнга, из них девять с нужным индикатором, что в соответствии с главной формулой дает нам 468. Это и есть кратность собственного значения 1. А поскольку граф является двудольным, то это и будет кратностью собственного значения −1. Аналогичным образом подсчитываются кратности других собственных значений. Потренируйтесь, пожалуйста, в расчетах самостоятельно, чтобы убедиться, как много времени на это требуется. Спрашивается: а можно ли немного упростить этот подсчет? Да, можно. В следующий раз мы с вами об этом и поговорим.
