[МУЗЫКА] [МУЗЫКА] Нашу прошлую лекцию мы с вами завершили утверждением о том, что у всякой конечной группы имеется лишь конечное число попарно неэквивалентных неприводимых представлений, а регулярное представление раскладывается в их прямую сумму. Сегодня мы с вами поговорим о представлении симметрической группы и об элементах Юциса — Мёрфи. Один из фундаментальных фактов теории представлений конечных групп говорит нам о том, что число неприводимых представлений конечной группы совпадает с числом классов сопряженности группы. И на одной из прошлых лекций было показано, что класс сопряженности на самом деле для любой перестановки определяется ее цикловым типом. То есть для симметрической группы класс ее сопряженности параметризуется всевозможными разбиениями целого положительного числа n. Еще один фундаментальный факт в теори представлений симметрической группы говорит нам о том, что неприводимые представления симметрической группы степени n нумеруются диаграммами Юнга из n клеток. В самом деле, пусть у нас с вами имеется разбиение λ целого положительного числа n. Обозначим тогда через Vλ пространство соответствующего неприводимого представления симметрической группы степени n. Тогда регулярное представление симметрической группы раскладывается в прямую сумму неприводимых представлений в λ. При этом неприводимое представление в λ содержится в регулярном представлении группы с кратностью, которая соответствует его размерности. Более того, на самом деле между размерностью попарно неэквивалентных неприводимых представлений и порядком симметрической группы имеется некоторая связь, которую вы сейчас видите на слайде в виде формулы. Введенное нами регулярное представление называют также групповой алгеброй симметрической группы степени n. Известно, что групповая алгебра симметрической группы является векторным пространством, которое задается, или еще по-другому говорят «индексируется», элементами группы так, как это сейчас показано на слайде. Важным для нас объектом групповой алгебры являются так называемые элементы Юциса — Мёрфи. Они были открыты в 1974 году Юцисом, и Мёрфи в 1981 году независимо. Отсюда и их название. Давайте определим эти элементы. Элементы Юциса — Мёрфи в групповой алгебре симметрической группы степени n определяются как сумма транспозиций, где под суммированием транспозиции понимается суммирование соответствующих им матриц. Первые два элемента задаются (они фиксированы), первый элемент — это нулевая матрица, а второй элемент — это матрица, которая соответствует транспозиции (1 2). Давайте сейчас рассмотрим какой-нибудь пример, как получаются элементы Юциса — Мёрфи, например, для симметрической группы степени три. По определению, первый элемент — это у нас матрица, которая является нулевой. Следующий элемент — это транспозиция (1 2). Ее матричное представление, мы с вами знаем, как получается: единицы должны появиться в позициях (1 2), (2 1), а также в позиции (3 3). И наконец последний элемент для этой группы — это суммирование двух транспозиций (1 3) и (2 3). Матричные представления этих транспозиций, мы знаем, как получаются: мы берем две матрицы, одну, другую, складываем их и получаем ту матрицу, которую вы сейчас у себя видите на слайде. Таким образом, как вы видите из этого примера, матричное представление позволяет очень наглядно понять, как же устроены элементы Юциса — Мёрфи. Совершенно очевидно, что эти элементы являются линейными операторами групповой алгебры симметрической группы. И элементы Юциса — Мёрфи играют очень важную роль в теории представления метрической группы. В частности, следующий факт говорит нам о том, что действие элементов Юциса — Мёрфи на пространстве Vλ неприводимого представления симметрической группы диагонализируется, а собственные значения имеют некоторое комбинаторное описания в терминах стандартных таблиц Юнга. Вот мы с вами на самом деле и подходим к тому моменту, когда все непонятное в той самой главной формуле, которая была введена на первой лекции, обретает свой математический смысл. Сформулируем важный результат теории представления симметрической группы. Итак, пусть у нас имеется с вами разбиение λ целого положительного числа n. Тогда существует базис v пространства Vλ, индексируемый стандартными таблицами Юнга формы λ, такой что выполняется соотношение, в котором в левой его части вы видите элементы Юциса — Мёрфи, а в правой части у нас возникает индикатор числа i в стандартной таблице Юнга. Помните? Если вы не помните, что это такое, то, пожалуйста, пересмотрите лекцию три этого же модуля. На самом деле в данном случае этот индикатор является собственным значением в заданном базисе. А вот какое отношение это соотношение имеет к нашему Star графу, а также к нашей основной формуле, мы рассмотрим с вами в следующий раз.