На прошлой лекции мы с вами вспомнили очень важное свойство перестановок, а именно принадлежать единственному классу сопряженности. На самом деле, число классов сопряженности в симметрической группе степени n равно количеству разбиений положительного числа n. Вот об этом, а также о том, как эти разбиения связаны с цикловым типом перестановок, с разбиениями и диаграммой Юнга мы сегодня и будем говорить в нашей лекции. Разбиением положительного целого числа n называется последовательность положительных целых чисел, скажем, Лямбда1, Лямбда2 и так далее, Лямбда l таких, что они образуют невозрастающую последовательность. Их сумма при этом должна быть равна n, таковы условия. Так вот, для обозначения разбиения Лямбда числа n зачастую используют символ, который напоминает букву "т", которая лежит на боку. Мы будем пользоваться этим символом в наших лекциях. Итак, у нас имеется разбиение числа n, и мы готовы с вами определить, что же такое цикловой тип перестановки. Пусть у нас имеется перестановка на множестве из n элементов, и она раскладывается в произведение независимых циклов, скажем, Лямбда1, Лямбда2 и так далее, Лямбда l. И при этом это разложение удовлетворяет определению разбиений числа n с учетом длин тривиальных циклов. Вот такое разбиение и называется цикловым типом перестановки. Давайте сразу рассмотрим какой-нибудь пример. Пусть n равно четырем, тогда у нас имеется пять разбиений следующего вида: само число четыре, разбиение его на три и один, разбиение два, два, разбиение два, один, один и разбиение один, один, один, один. Соответствующие им цикловые типы перестановок вы также можете видеть сейчас на слайде, а именно: мы имеем с вами перестановки четырех элементов, перестановки трех элементов, попарные перестановки, перестановки двух элементов, а это значит транспозиции и тождественную перестановку. Более того, мы можем сказать, какому классу сопряженности эти разбиения принадлежат, поскольку на прошлой лекции самым подробным образом мы с вами рассмотрели все классы сопряженности симметрической группы степени четыре. Таким образом, мы с вами разобрались с разбиениями и цикловым типом перестановок. И сейчас самое время поговорить о диаграммах Юнга, которые представляют разбиение. В наших лекциях мы будем с вами пользоваться французской системой обозначений для диаграмм Юнга. Диаграммой Юнга называется множество из n клеток, которые выровнены по левому краю так, что всякая вышестоящая строка будет чуть короче или имеет ту же самую длину, что и предыдущая строка. Тогда диаграмма Юнга Лямбда в квадратных скобках, связанная с разбиением Лямбда, имеет в точности l строк, а также Лямбда i-тое клеток в каждой i-ой строке. Давайте теперь посмотрим, как выглядит диаграмма Юнга, соответствующая разбиению числа четыре. Этот пример мы с вами только что рассмотрели. Итак, если мы возьмем само число четыре, то диаграмма Юнга представляет собой четыре клетки, которые расположены в одной строке. Следующее разбиение три, один имеет две строки: в первой строке три клетки и одна во второй. И так далее. Все эти диаграммы вы сейчас видите у себя на слайде. Также помимо французской системы обозначения диаграмм Юнга, существует зеркально отраженная относительно горизонтали английская система представления диаграмм Юнга. И вы сейчас видите все эти диаграммы в английской системе обозначений также на слайде. Итак, что мы сделали? Мы с вами показали, что диаграммы Юнга задают разбиение Лямбда числа n. Сейчас самое время нам ввести определение таблицы Юнга формы Лямбда. Таблицей Юнга формы Лямбда называется заполнение клеток диаграммы Юнга числами от единицы до n так, что в каждую клетку попадает ровно одно число из этого списка. Нам понадобится еще такое понятие, как индикатор числа в таблице Юнга. Именно этот индикатор у нас используется в нашей основной формуле, которую мы вводили с вами для кратности собственных значений Star графа в первой лекции. Для начала давайте определим множество, состоящее из координат (i,j), где i и j соответствуют строке и столбцу, в которых находится клетка с нумерацией, опять же, снизу вверх и слева направо. Таким образом, каждая клетка (i,j) такого множества содержит уникальное число, целое число m. Вот для этого целого числа m мы и вводим индикатор с от m, который равен разности координат i и j, и его мы будем использовать в нашем курсе. Таким образом, мы готовы с вами ввести понятие стандартной таблицы Юнга. Таблицу Юнга, в которой числа в клетках стоят в возрастающем порядке снизу вверх, а также слева направо, называют стандартной таблицей Юнга. Давайте рассмотрим пример. Пусть у нас n равно пяти. В этом случае мы имеем семь разбиений, которые вы видите сейчас на слайде. Вы также можете видеть, помимо разбиений, для каждого из этих разбиений соответствующие цикловые типы перестановок. Давайте теперь возьмем какое-нибудь одно единственное разбиение числа пять и получим для этого разбиения все стандартные таблицы Юнга. Например, возьмем разбиение числа пять в виде три и два. Тогда по правилам заполнения стандартных таблиц Юнга мы с вами получим всего пять стандартных таблиц Юнга в этом случае. Вы их все видите сейчас на слайде. Как мы их заполняем? Мы их заполняем достаточно просто. Если мы с вами в первую строку поставили числа от единицы до трех (один, два, три), то у нас есть ровно один вариант, как заполнить клетки во второй строке. Точно так же остальные стандартные таблицы Юнга у нас возникают, и их всего пять. Давайте теперь посчитаем для какой-нибудь одной из этих таблиц индикаторы чисел, размещенных во всех ячейках, скажем, первой таблицы. Индикатор числа пять будет равен нулю, потому что число пять находится в ячейке с координатами два, два, индикатор числа четыре будет равен единице, потому что четверка у нас находится в ячейке с координатами два, один. Для тройки у нас индикатор будет равен минус два, потому что тройка находится в ячейке с координатами один, три и так далее. В дальнейшем, на самом деле, нас будет интересовать индикатор только одного единственного числа, а именно n — это число, которое соответствует степени симметрической группы. А вот почему, об этом вы узнаете в нашей следующей лекции.
