Итак, первая лекция четвертого модуля. А это значит, что у нас с вами ровно середина курса. Мне кажется, самое подходящее время, чтобы немного осмыслить все происходящее и добавить, скажем так, чуть больше осязаемости и интуитивности. Мы уже упоминали в нашем курсе, что химия имеет довольно тесные связи с теорией графов. Давайте рассмотрим одно из таких взаимовыгодных сотрудничеств научных дисциплин нагляднее на примере теории Хюккеля. Для этого нам потребуется вспомнить молекулу углеводорода. Рассмотрим следующее органическое соединение, известное как бензол. Водород, конечно, важный элемент, но в рамках данной лекции мы с вами сосредоточимся только на углеродном скелете молекулы. Заметим, что связи в молекуле на самом деле не одни и те же. Существуют так называемые Сигма- и Пи-орбитали. Электроны из Сигма-орбитали образуют локализованные связи с другими атомами углерода и атомами водорода, а электроны из Пи-орбитали не локализуются в отдельных атомах углерода, а делокализуются по всему углеродному скелету молекулы. Скелет молекулы мы можем представлять графом. Вершины графа — это атомы углерода. И две вершины мы считаем смежными тогда и только тогда, когда между ними есть Сигма-связь. Квантовая теория говорит нам о том, что свойства электронов, атомов и молекул в стационарном состоянии описываются волновыми функциями, которые являются решениями уравнения Шредингера. При этом для сложных систем со многими электронами (а молекула в таком контексте уже является сложной системой) уравнение Шредингера, как правило, не может быть решено в замкнутой форме, а это означает, что нужно искать какие-то приближенные решения. Эрих Хюккель, один из основоположников квантовой химии, изучал уравнение Шредингера для орбиталей электронов, образующих Пи-связи. Мы не будем углубляться с вами слишком далеко в недры квантовой механики, поэтому сразу перейдем к нужным нам выводам. После некоторых приближений в уравнении Шредингера и каких-то выкладок мы приходим к так называемому секулярному уравнению, представленному на экране. Собственные числа этого уравнения будут представлять собой возможные значения для энергии Пи-электронов, а координаты соответствующих собственных векторов определяют молекулярные орбитали, характеризуемые этими энергиями. Спектр соответствующего графа дает несложные алгебраические соотношения для множества возможных энергетических уровней Пи-электрона. Таким образом задача определения значений энергий молекулярных орбиталей сводится к определению спектра соответствующего молекулярного графа. Стоит заметить, что несмотря на, в каком-то смысле, свою простоту и, может быть, в каком-то месте даже недостаточность теоретической обоснованности, на практике получается, что полученные с помощью этой теории результаты оказываются весьма точными и, более того, очень полезными с точки зрения химии. Давайте теперь возьмем какой-нибудь углеводород побольше. Допустим, есть граф углеродного скелета на 16 вершинах, и у нас будет 16 электронов Пи-орбитали. Пусть Тета i — это собственные значения этого графа, и давайте посмотрим, какой химический смысл несут в себе собственные значения, находящиеся посередине, то есть Тета8 и Тета9. В квантовой механике есть такой принцип Паули, из которого следует, что электроны заселяют те молекулярные орбитали, которые соответствуют наибольшим собственным значениям, но при этом больше двух электронов в орбитали у нас быть не может. Это означает, что на каждом энергетическом уровне от Тета1 до Тета8 у нас будет находиться по два электрона. Заметим, что в силу двудольности нашего графа Тета9 будет равно минус Тета8. Что же произойдет, если два этих собственных значения, Тета8 и Тета9, будут находиться очень близко друг к другу или вообще совпадут? А в таком случае, как мы видим, последний электрон будет пытаться перескочить на следующий энергетический уровень, поскольку для этого скачка ему не нужно сильно много энергии. И в свою очередь это будет влиять на химические свойства соединений. Так вот собственное значение Тета8 соответствует высшей занятой молекулярной орбитали, а собственное значение Тета9 — низшей вакантной молекулярной орбитали. Разница между энергиями этих орбиталей является очень важным параметром в химии. Отдельный интерес в теории Хюккеля уделяется полной Пи-электронной энергии. Это величина представляет собой сумму энергий всех электронов молекулы. Принцип Паули мы с вами уже вспоминали, и из него мы получаем, что для молекулы с n атомами у нас энергия записывается следующим образом. Однако, когда граф двудольный, то из симметричности спектра мы можем записать энергию как сумму модулей наших собственных значений. Это, конечно, далеко не единственные взаимосвязи между химическими свойствами и характеристиками соответствующих графов, но пожалуй, на этом мы пока остановимся. И кстати, насчет химии. Помните ту теорему о том, что спектр матрицы смежности двудольного графа у нас симметричен относительно нуля? Так вот на самом деле впервые этот результат был получен в работе по теоретической химии, а не по математике. Помимо этого спектры графов и сами графы могут возникать и в приближенных численных решениях некоторых дифференциальных уравнений. Графы можно часто рассматривать как дискретные аналоги непрерывных объектов или процессов. Допустим, у вас есть стержень, который вы как-то нагреваете, и вам интересно, когда эта система придет в равновесие. Вы записываете уравнение теплопроводности, и в качестве дискретного аналога вы берете граф пути на каком-то количестве вершин. Так вот оказывается, скорость, с которой эта система будет приходить в равновесие, она связана с собственными значениями так называемого лапласиана этого графа. Но рассмотрим еще один интересный пример. В 1966 году Марк Кац в своей статье поставил такой вопрос: можно ли услышать форму барабана.? И хотя сама по себе такая формулировка возникала раньше, именно работа Каца сделала ее, скажем так, популярной. Вопрос состоял в следующем: частоты звуков, которые издает мембрана барабана, зависят от формы этого барабана. Можно ли в обратную сторону определить форму мембраны по известным частотам звуков? Частоты звуков по известной форме мембраны можно посчитать с помощью уравнения Гельмгольца. И оказывается, что эти частоты являются собственными значениями лапласиана. Таким образом да, мы с вами слышим спектры. Фишер рассматривал дискретный аналог задачи Каца. При таком подходе мембрану он заменял на множество атомов, и в состоянии покоя они лежали на вершинах регулярного решетчатого графа, вложенного в плоскость, и влияли друг на друга за счет упругих сил. Фишер показал, что из спектра графа дискретной модели можно получить то же самое количество информации, что и из спектра в непрерывном случае. Оказалось, что хотя для отдельных классов плоских графов их спектры могут что-то говорить касательно вложения графов в плоскость, в общем случае задача о планарности графа не может быть решена одним лишь рассмотрением его спектра. А вопрос, можно ли услышать формулу барабана, как вы догадываетесь, естественным образом сводится к вопросу об однозначном определении графа по его спектру. Как мы знаем, это далеко не так. И в завершение лекции я бы хотела рассказать вам, пожалуй, один из моих любимых примеров. Если до этого мы с вами обсуждали вопрос, как услышать граф, то сейчас мы будем говорить с вами о том, как увидеть граф. Мы уже упоминали планарные графы. Это такие графы, которые можно рисовать на плоскости без пересечения ребер. Предположим, что наш граф планарный, но как-то так сложилось, что мы его не очень удачно с вами нарисовали. Как же нам получить красивую картинку? Для этого можно воспользоваться очень любопытной теоремой Татта, которая говорит, что если у нас есть 3-связный планарный граф (а 3-связность означает, что при удалении любых двух вершин графа он остается связным), так вот: с 3-связным планарным графом можно сделать следующую вещь. Возьмем любую грань графа — гранью в графе называется часть плоскости, ограниченная ребрами этого графа. Итак, мы выбрали грань. Вершины этой грани зафиксируем по углам выпуклого многоугольника, а все оставшиеся вершины расположим так, чтобы они находились в центре масс своих соседей. В результате этих действий мы получаем планарный граф с прямыми ребрами. Как это можно интерпретировать? Предположим, каждое ребро у нас представляет собой идеальную пружинку. И теперь представьте, что мы берем вершины выбранной грани и утаскиваем их вовне нашего графа, да еще и жестко фиксируем. Обычно, когда рассказывают этот пример, используют метафору про вбивание гвоздей. Итак, мы вбили гвозди в вершины нашей грани, а остальные вершины, что будет происходить с ними? Под действием пружин они начинают как-то перемещаться, пока система не придет в равновесие. Так вот, если граф планарен и 3-связен, то мы получаем красивую картинку. А если рассмотреть данный вопрос с алгебраической точки зрения, то он сводится к решению линейной системы на лапласиан. Итак, мы уже несколько раз услышали слово лапласиан. Что же это такое? С этим мы с вами познакомимся в следующей лекции, а еще через одну лекцию мы с вами вернемся к вопросу о визуализации графа с помощью спектральных методов. Итак, мы с вами поговорили о химии, о физике и даже о рисовании. Давайте посмотрим, что еще нас ждет в четвертом модуле.
