[ЗАСТАВКА] Мы уже встречались с очень похожим выражением. Когда мы меняли базис при действии оператора, мы проводили подобные очень близкие вычисления и получали другой ответ. Когда мы переписывали матрицу линейного оператора при перемене одного базиса на другой базис, мы получили ответ не C транспонированное AC, как в случае билинейных форма, а C в −1 AC. Возникает естественный вопрос, пока что просто из любопытства, а потом мы увидим, насколько этот вопрос практический: а бывают ли вообще такие матрицы, для которых это одно и то же, что C транспонированное, что C в −1? Бывают ли такие матрицы и что это за матрицы, и как найти такие матрицы, и каким свойством такие матрицы обладают? Во-первых, очевиден ответ — такие матрицы, да, бывают. Например, матрица E, безусловно, является такой матрицей. E в −1 — это E, E транспонированное — это тоже E, и значит E в −1 = E транспонированное, и в этом случае, если мы вместо матрицы C поставим матрицу E, то выражение C транспонированное AC и C в −1 AC, эти матрицы просто совпадут. Такая матрица — не единственная. Не только матрица E обладает таким свойством. Матрицы, обладающие этим свойством, C в −1 = C транспонированное, называются ортогональными матрицами. Итак, если матрица C ортогональна, то C в −1 AC просто равно C транспонированное AC для любой матрицы A. Какие мы знаем примеры, какие можно придумать примеры ортогональных матриц, кроме очевидного примера, который мы уже привели, матрицы E? Ну вот, пожалуйста, мы приводим два примера матриц, одна матрица в трехмерном пространстве действует, другая матрица действует в двумерном пространстве, и обе эти матрицы обладают именно таким свойством. Если мы найдем для этих матриц C в −1, то мы увидим, что это C в −1 прямо совпадает с C транспонированное. Даже не хочется делать этих вычислений. Вычислить C в −1 довольно затратное мероприятие. C в −1 вычислять требует некоторой работы, некоторых вычислений. Мы сейчас приведем свойства ортогональных матриц, которые проще. Для того, чтобы проверить эти свойства, не надо проводить такие вычисления, как поиск обратной матрицы. Итак, что значит, что матрица ортогональна. Что значит, что C в −1 совпадает с C транспонированное. Иначе говоря, это просто значит, что C транспонированное * C — будет единичная матрица. Давайте запишем это выражение, просто распишем матрицы. Итак, мы взяли матрицу C транспонированное, умножили на матрицу C, и должна получиться матрица E, должна получиться такая матрица, у которой на диагонали стоит единица, а вне диагонали только нули. Давайте посмотрим, что это значит. Как вычисляется элемент матрицы произведения? Нам нужно соответствующую строку умножить на соответствующий столбец. Для того чтобы получить элемент матрицы в произведении, который стоит на пересечении i-той строки и j-того столбца, надо взять i-тую строку в первой матрице, j-тый столбец во второй матрице и умножить строку на столбец по тому правилу, ну как мы обычно умножаем матрицы. Что же получается? Мы видим, что вне диагонали должны получиться нули и на диагонали должны получиться единицы. Итак, если мы умножаем i-тую стоку на j-тый столбец, при том, что i не равно j. Мы же умножаем транспонированную матрицу на прямую матрицу. Мы получим выражение вида a1i * a1j + a2i * a2j +... + ani * anj, и такая сумма должна быть равна нулю, если только i не равно j. Это в точности значит, что все элементы вне диагонали у произведения равны нулю. И наоборот, если мы рассмотрим произведение, если мы рассмотрим элементные диагонали в произведении, мы умножаем i-тую строку на i-тый столбец. Поскольку мы перемножаем матрицу и ее транспонированную матрицу, то мы получим выражение вида a1i в квадрате + a2i в квадрате +... + ani в квадрате, и вот такая сумма квадратов должна быть равна единице, для того чтобы на диагонали получились ровно единицы. Отсюда, кстати говоря, сразу видно, что никакой элемент матрицы по модулю не может превосходить единицу. Если матрица ортогональна, все элементы матрицы будут не больше единицы. Если мы видим, что какой-то элемент матрицы равен 2 или 3, то можно даже больше ни о чем не думать. Эта матрица не ортогональная. Другими словами, мы можем сказать, если мы будем говорить об элементах матрицы, о столбцах матрицы, как о векторах, тогда мы можем сказать, что матрица C ортогональна тогда и только тогда, когда скалярное произведение ее различных столбцов равно 0, то есть когда, говоря на геометрическом языке, столбцы этой матрицы представляют из себя ортогональные друг другу векторы, и скалярное произведение каждого вектора-столбца на себя будет равно 1. Это, по другому говоря, значит, что длина этого вектора равна 1. Здесь мы всё-таки апеллируем к представлению n-мерного пространства, как какого-то геометрического пространства, и я говорила, что это делать необязательно. Да, это делать необязательно, достаточно обойтись не геометрическим представлением, а просто теми выражениями, которые мы только что записали. Сумма попарных произведений равна 0 если i не равно j, и сумма квадратов равна 1. [ЗАСТАВКА]
