[ЗАСТАВКА] Очень важная теорема, которая выполняется для сжимающих отображений — это теорема о неподвижной точке. Теорема о неподвижной точке — это одна из основополагающих теорем в математике. Видите, она вам встретилась в линейной алгебре. Это не теорема из линейной алгебры. Теорема о сжимающих отображениях встречается где угодно, она встречается в математическом анализе, в дифференциальных уравнениях, в оптимальном управлении, в любой геометрии, это одна из таких основных теорем в математике, на которой в общем-то более или менее все стоит. Итак, пусть у нас есть сжимающее отображение, есть пространство M, в пространство M. Оно сжимается с коэффициентом сжатия лямбда. Обязательно у сжимающего отображения найдется неподвижная точка. Найдется точка, которая при этом отображении остается на месте. Посмотрите, эта теорема совершенно удивительная. Мы от отображения не хотели ничего, пусть оно только уменьшает расстояние, больше ничего. Оно может быть как угодно загадочным, таким сяким, разным в разных местах, мы не требовали ни линейности, ничего близкого к линейности, мы не говорили ни о какой непрерывности, только пусть, пожалуйста, это отображение будет сжимающим. И что оказывается? Этого небольшого простого требования оказывается достаточно, для того чтобы у отображения обязательно существовала неподвижная точка. Давайте сразу заметим, что неподвижная точка может быть только одна. Мы еще даже не знаем, верна ли эта теорема, мы еще не успели в нее поверить, но если она верна, двух неподвижных точек быть не может. И вот почему. Если две точки под действием отображения остаются на месте, то расстояние между точками и между образами этих точек — они же совпадают, они же неподвижны — не уменьшится, останется прежним. Значит, если у отображения есть две неподвижные точки, оно уже точно не является сжимающим. Прежде чем думать о доказательстве теоремы о неподвижной точке, давайте попробуем придумать контрпример. Я сразу придумала такой контрпример. Посмотрите, давайте возьмем какое-нибудь сжимающее отображение, ну, ту же гомотетию. У гомотетии сразу видно, что есть неподвижная точка, это центр гомотетии. Теперь давайте из множества M (ну, вот если была гомотетия на плоскости, значит из плоскости) выкинем эту неподвижную точку. Слава богу, неподвижная точка была одна, двух неподвижных точек не бывает, нам придется убрать всего лишь одну точку. Оставшееся отображение будет сжимающим, расстояния между всеми точками только уменьшаются, а никакой неподвижной точки нет! Ведь это была единственная неподвижная точка, мы же ее убрали. Действительно, для того чтобы выполнялась теорема о неподвижной точке сжимающего отображения, нужно наложить требование не только на отображение, нужно сказать не только то, что отображение сжимающее, нужно наложить некоторые требования на само пространство M, на само пространство, снабженное расстоянием. Наличия расстояния в пространстве недостаточно. Математики говорят, что пространство должно быть полным. Это значит, что в пространстве не должно быть никаких дырок, не должно быть никаких выколотых точек, никаких отверстий, а, по-другому говоря, более формально говоря, если мы возьмем какую-нибудь последовательность, у которой вообще есть предел, последовательность точек пространства, то этот предел должен принадлежать множеству M. Пространство должно быть замкнутым, любая фундаментальная последовательность должна обязательно сходиться. Хорошая новость состоит в том, что все множества, которые мы только будем рассматривать, они являются полными, например, плоскость является полным метрическим пространством, трехмерное пространство является полным метрическим пространством. Любая геометрическая фигура, любой многоугольник, ну, многоугольник, содержащий внутренность, является полным метрическим пространством, если мы аккуратно включим все границы, все грани, ребра, если мы включим это в фигуру, то это снова получится полное метрическое пространство, никаких дырочек в нем нет. Любая последовательность, у которой только есть предел, у нее этот предел обязательно принадлежит самому пространству M. Когда мы говорим о метрическом пространстве полном, о сжимающем отображении, мы обсуждаем очень общую ситуацию, метрические пространства бывают очень-очень разные, отображения бывают очень-очень разные, расстояния бывают очень-очень разные. Но для того чтобы представить картину в общей общности, надо много всего знать. Давайте посмотрим на один простой частный случай. И в этом простом частном случае увидим, почему эта теорема верна. Увидим, откуда берется неподвижная точка. Частный случай будет такой. Давайте рассмотрим какую-нибудь некоторую местность и нарисуем карту этой местности. Рисование карты местности это и есть сжимающее отображение. Если мы рисуем на карте две точки города, то они на карте будут, эти точки будут ближе, чем в самом городе. Ну, и чтобы это отображение было из множества M в множество M, а не на какую-нибудь карту, которая лежит отдельно, давайте положим карту прямо на саму местность. Вот мы нарисовали карту какой-то местности, и давайте на это местность кинем карту этой же местности. Что говорит теорема о сжимающем отображении в этом случае? Она говорит вот что. Обязательно будет точка, которая совпадет со своим изображением на карте. Вот мы взяли какую-то точку, вот лежит карта на земле, эта карта... на этой карте изображены все точки и эта точка в частности, и обязательно найдется точка, для которой окажется, что ее изображение лежит ровно на этой точке. Это и есть теорема о неподвижной точке. Действительно, смотрите, у нас есть пространство M, это местность, которую мы рисовали на карте, у нас есть сжимающее отображение. Мы всю местность сжали до маленькой картинки на карте. И неподвижная точка отображения, та точка, которая оказалась изображена на том же месте, где она сама находится. Почему это верно? Почему найдется такая точка, которая будет... изображение которой будет лежать ровно на этой точке? Давайте попробуем понять, почему это выполняется. Давайте возьмем какую-нибудь точку на местности. Какую-нибудь, любую, мы даже совершенно не беспокоимся, изображена она там... где... может быть, вообще, карта лежит не на ней, просто взяли какую-то точку. Давайте теперь делать вот что. Давайте найдем изображение этой точки на карте. Ведь у нас на карте изображена вся местность, значит эта точка тоже где-то изображена на карте. Хорошо, мы получили точку на карте. После этого сделаем вот что: если эти точки вдруг совпали, прекрасно, мы нашли неподвижную точку отображения, если эти точки не совпали, у нас под точкой карты находится какая-то точка местности, ведь карта лежит на местности. Давайте возьмем точку на местности и сделаем для нее то же самое. Найдем ее изображение на карте. Если они совпали, все прекрасно. Если они не совпали, давайте найдем точку местности, которая лежит под этой точкой карты, и так далее. Мы получили такую, вообще говоря, бесконечную последовательность точек. Точка на местности — ее изображение на карте — точка под изображением — это точка на местности — ее изображение на карте — точка под этим изображением. Я хочу сказать, что расстояние между точками этой последовательности будут уменьшаться. Ну, действительно, у нас же сжимающее отображение. Вот мы взяли точку на местности, точку на карте, еще какую-то точку на местности. После этого, когда мы посмотрим на этот отрезок на карте, он, конечно, будет меньше, чем был этот отрезок, потому что отображение сжимающее. Потом мы еще раз сожмем этот отрезок, еще раз сожмем, еще раз и еще раз. Каждый раз этот отрезок будет сжиматься как минимум в лямбда раз. Смотрите. Расстояние между этими точками будет все время не больше, чем члены геометрической прогрессии с показателем 1/λ. Расстояния будут устроены как... меньше, чем члены сходящейся геометрической прогрессии, значит точки будут все ближе, ближе и ближе. Это значит, что последовательность точек сходится к какой-то точке. Эта точка и будет неподвижной точкой сжимающего отображения. Именно на этой точке будет лежать точка карты, которая изображает ровно ее. Итак, мы увидели, почему выполняется теорема о сжимающем отображении в случае карты. Мы взяли точку, ее образ при отображении, ее образ при отображении, ее образ при отображении, и увидели, что эти точки, расстояние между этими точками будет все меньше, меньше и меньше на каждом шаге и поверили в то, что эта последовательность сойдется в какой-то точке, раз последовательность сойдется в какой-то точке, это будет точка множества M, ведь множество M — это полное пространство. Мы доказали, ну, как бы доказали, это для простого случая, но точно так же это доказательство проводится и в общем случае для любого метрического пространства, любого сжимающего отображения. Хорошо, мы начали совсем с другого. Мы хотели найти положительное собственное значение у матрицы, а вместо этого стали рассматривать какую-то карту, какую-то местность, сжимающее отображение. Как одно связано с другим? [ЗАСТАВКА]
