Это стандартный курс линейной алгебры, содержащий все необходимые для статистики и многомерного анализа приложения и алгоритмы, но не всегда содержащий подробные доказательства. Данный курс пригодится вам для того, чтобы изучить азы линейной алгебры и ознакомиться с базовыми определениями, понятиями и алгоритмами, научиться решать задачи, в которых необходим данный инструментарий. Многие пространственные задачи требуют знания линейной алгебры, а так же ряд задач экономики находит более простое решение, если владеть механизмами решения таких задач; эта наука находит себе применение во всех направлениях математики и ее приложениях, которые только можно представить. После прохождения данного курса вы научитесь корректно использовать понятия вектора, базиса, линейного пространства и линейной зависимости, оператора и матрицы, а так же овладеете несложными инструментами для решения и анализа задач линейной алгебры, научитесь оперировать матрицами и находить максимально подходящие условия для поиска ответа; ознакомитесь с классическими теоремами и узнаете красивые задачи данной науки, а также научитесь проверять свои решения на корректность, а результаты на адекватность, а еще мы обсудим теорему Перрона-Фробениуса и ее приложение к индексированию страниц в интернете. Внимательно смотрите лекции и вовремя выполняйте все необходимые задания. Удачи!
6.5. Формула для обратной матрицы и линейные уравнения
Loading...
From the course by National Research University Higher School of Economics
Линейная алгебра (Linear Algebra)
135 оценки
From the lesson
Операции над матрицами
В этом модуле мы расскажем, почему матрица и линейное отображение - это почти одно и то же, какие в мире бывают матрицы и как с ними обращаться.
Meet the Instructors
Irina KhovanskayaSenior Research Fellow, Lecturer
International Laboratory for Institutional Analysis of Economic Reforms
[МУЗЫКА] Если мы
возьмем n векторов в n-мерном пространстве,
составим из них матрицу, записав их по столбцам или по строкам,
то эти векторы будут линейно зависимы тогда и только тогда,
когда определитель соответствующей матрицы будет равен нулю.
Итак, мы получили свойство, универсальное свойство,
как понимать, зависимы ли линейно n векторов в n-мерном пространстве.
Просто надо посчитать определитель.
Да, посчитать определитель бывает достаточно громоздкой задачей.
Тем не менее эта задача алгоритмически разрешима.
Мы знаем, как это сделать.
Мы знаем, у нас есть путь.
Может быть, долгий, но тем не менее, мы знаем, как по матрице определить,
равен ли нулю определитель.
Значит, мы знаем, как для системы из n векторов в n-мерном пространстве...
Как по этой системе понять,
линейно зависимый вектор этой системы или линейно независимый.
На самом деле, определитель...
умение вычислить определитель помогает решать системы линейных уравнений.
Если у нас есть n уравнений от n неизвестных, тогда можно решить...
найти решение этой системы, просто найдя несколько определителей.
Это делается при помощи метода Крамера.
Метод Крамера не всегда очень удобно использовать, но тем не менее посмотрите,
пожалуйста, материалы к лекции, которые мы выложили для вас на сайте.
Мы рассказываем там, как решать системы линейных уравнений методом Крамера.
Может быть, этот метод вам понравится больше других.
Определитель помогает найти матрицу, обратную данной,
не используя метод Гаусса.
Опять же, просто вычисляя определители мы можем сказать,
чему равна матрица, обратная данной.
Да, вычислять определители громоздко, мы это помним,
но тем не менее такой метод есть.
Для того чтобы найти матрицу, обратную данной,
нужно действовать по следующему алгоритму.
Во-первых, нужно найти определитель матрицы А.
Если определитель матрицы А равен нулю — все,
мы проиграли, эта задача не решается, у нее нет обратной матрицы.
Если определитель матрицы А равен нулю,
то обратной матрицы у этой матрицы не существует.
Следующим ходом мы будем делать вот что: мы вместо матрицы А запишем
другую матрицу.
Мы каждый элемент матрицы А заменим на другой элемент,
а именно вот на какой: давайте возьмем элемент,
который стоит на пересечении i-той строчки и j-того столбца.
По знакомому нам правилу мы сначала припишем знак этому месту.
А знак будет тот же самый, что и раньше.
Это будет −1 в степени i + j.
Итак, вместо элемента, стоящего на пересечении i-той строчки и j-того
столбца, мы сейчас напишем некоторое число, умноженное на −1 в степени i + j.
Какое именно число нужно записать на это место?
А вот какое.
Опять же сделаем так, как мы делали,
когда раскрывали определитель по строке или по столбцу.
Давайте...
у нас элемент стоит на пересечении i-той строчки и j-того столбца?
Давайте вычеркнем i-тую строчку и вычеркнем j-тый столбец.
Мы получили матрицу меньшего размера.
У этой матрицы меньшего размера мы можем посчитать определитель.
Итак, напишем в это место определитель той меньшей матрицы,
который получился при помощи вычеркивания строки и вычеркивания столбца,
только умноженный на −1 в соответствующей степени, умноженный на −1 в степени i + j.
Это еще не все.
Полученную матрицу нужно транспонировать, нужно поменять местами строки и столбцы.
И теперь почти все.
Теперь эту матрицу нужно поделить на определитель матрицы А, именно...
что значит «поделить матрицу»?
Каждый элемент матрицы поделить на определитель матрицы А.
Действительно, получается обратная матрица.
Мы можем найти матрицу, обратную данной, при помощи такого вычисления,
и действительно, действительно получается обратная матрица.
Вы видите, если перемножить эти матрицы, получится единичная матрица.
Вот такой, на самом деле, чудесный способ искать обратную матрицу.
Конечно, этот способ не просто чудесный.
Этот способ следует из определения определителя.
На самом деле он целиком и полностью следует из того,
что определитель можно раскрывать по столбцу или по строке, не важно.
Но тем не менее все-таки ответ, мне кажется, чудесный.
Теперь, когда мы научились находить обратную матрицу,
мы можем еще немножко продвинуться в решении линейных уравнений.
Опять речь идет только о самых простых системах.
О системах, где есть n неизвестных и n уравнений.
Когда мы получаем зависимые переменные и свободные переменные,
этот метод применить нельзя, ничего хорошего здесь не получится.
Давайте посмотрим на этот случай, все-таки он тоже достаточно важный.
Это именно тот случай, где решение единственное, и довольно часто нам
приходится составлять и решать линейные системы именно в таких условиях.
Смотрите, систему линейных уравнений можно
представить себе как несколько другую вещь.
Можно представить себе,
что мы некоторую матрицу А умножаем на вектор неизвестных x (x₁, x₂,
..., xn) и получаем вектор — столбец известных чисел, вектор — столбец b.
Мы когда обсуждали...
когда в первый раз у нас возникла матрица, она возникла ровно в таком контексте.
Мы систему линейных уравнений, большое уравнение с правой частью,
с левой частью записали при помощи матрицы.
Расширенной матрицы, нерасширенной матрицы...
У нас возникла матрица...
система линейных уравнений, матрица А.
Итак, эта матрица на языке умножения матриц матрица...
вектор ответов мы можем записать уравнение...
систему линейных уравнений в виде просто одного матричного уравнения Ax = b.
А — это матрица n x n, x — это вектор из n, на самом деле, неизвестных,
именно эти иксы мы и хотим найти, и b — это вектор значений.
b состоит из n чисел.
Это то, что в нашей системе уравнений стоит в правых частях.
2x + 3 = 8...
2x + 3y = 8, и тогда вот это вот 8 будет первым элементом вектора ответов.
Что это нам дает?
Зачем мы это записали?
Мы просто переписали систему линейных уравнений при помощи матрицы.
А вот что это нам дает.
Мы же теперь умеем считать обратную матрицу.
Мы можем найти такую матрицу, на которую если мы умножим матрицу А,
получится единица.
Умножим справа или слева — неважно.
Давайте найдем для матрицы А матрицу А⁻¹.
Если такая матрица не нашлась,
если определитель матрицы А равен нулю, это другой случай.
Это другой случай, и так мы с этим...
этой системой уравнений не разберемся, если определитель матрицы равен нулю.
А если определитель матрицы не равен нулю, мы можем найти матрицу А⁻¹.
Можем?
Давайте найдем.
Давайте умножим это равенство на матрицу А⁻¹ с левой стороны, обе части.
Мы получаем А⁻¹ * А * x = А⁻¹ * b.
А⁻¹, так же как и матрица А — это квадратная матрица n на n.
Мы знаем, что А⁻¹ умножить на А равно единичной матрице.
Итого, единичная матрица умножить на x, а значит просто вектор x = А⁻¹b.
Что же мы получили?
Мы просто нашли все неизвестные.
Найдя обратную матрицу и умножив эту матрицу А⁻¹ на b,
мы получили векторы ответов для этой системы линейных уравнений.
Это выглядит очень-очень хорошо.
На самом деле, я прошу не забывать в этом месте,
что найти обратную матрицу — достаточно трудоемкая задача.
Можно искать ее методом Гаусса,
можно при помощи вычисления определителей меньшей матрицы,
но в любом случае обратную матрицу искать достаточно трудоемко.
Не то чтобы мы, находя обратную матрицу,
очень много выигрываем в решении системы линейных уравнений.
Нет, мы не то чтобы очень много выигрываем.
Можно решать систему линейных уравнений так, сяк,
и всегда надо произвести некоторое количество действий.
Ну эти действия можно вести по-разному.
Можно методом Гаусса, а можно, находя обратную матрицу к матрице А.
Трудоемкий или не трудоемкий, по крайней мере этот способ верный.
Вот мы видим, что можно найти...
Мы записали систему уравнений, нашли матрицу этой системы,
нашли обратную матрицу к этой матрице, умножили ее на вектор ответов.
И то, что мы получили — это действительно получилось решение вот этой линейной
системы.
Наш метод действительно работает.
И неудивительно, он же верный.
[МУЗЫКА]
Ознакомьтесь с нашим каталогом
Присоединяйтесь бесплатно и получайте персонализированные рекомендации, обновления и предложения.
Coursera делает лучшее в мире образование доступным каждому, предлагая онлайн-курсы от ведущих университетов и организаций.
© Coursera Inc., 2018 Все права защищены.
