[МУЗЫКА] Сейчас мы введем очень важное понятие. Сейчас мы введем понятие «определитель матрицы». И будем сегодня действовать не так, как обычно. Мы сначала дадим определение (это определение не будет слишком простым), а потом поймем, что за вещь мы определили. Сначала определение будет формальным, а потом мы обсудим, что же это такое получилось. Обычно мы стараемся действовать так: обычно мы стараемся наблюдать какую-то вещь. Увидели ее в повседневной жизни, попытались определить формально, определили формально и используем в линейной алгебре. Сейчас мы даем определение определителя просто так, просто как будто мы его придумали. Конечно, мы его придумали не просто так, но легче сначала его определить, а потом уже разобраться, что это такое. Определять определитель мы будем тоже последовательно. Не так уж просто дать определение того, что это за... что это за объект. Ну во-первых, это функция от матрицы. Мы для матрицы, квадратной матрицы, матрицы размера n на n определим какое-то число. Как определяется это число по элементам матрицы, я сейчас расскажу. И рассказывать я буду последовательно. Сначала для матрицы 1 на 1, потом для матрицы 2 на 2, потом для матрицы 3 на 3. А потом расскажу, как, зная, что такое определитель матрицы n на n, получить определитель матрицы n + 1 на n + 1. Такое будет странное индукционное определение. Давайте смотреть. Пусть у нас есть матрица размера 1 на 1. Это просто число. Определитель этой матрицы и будет равен этому числу, ничего сложного. Давайте посмотрим на матрицу 2 на 2. Для того, чтобы определить определитель, нужно будет вычислить такое выражение: мы возьмем произведение чисел на одной диагонали матрицы и вычтем из них произведение чисел на другой диагонали матрицы. Может быть, эта вещь вам что-то напоминает. Может быть, когда вы решали систему линейных уравнений, вы сталкивались с таким выражением, когда пытались понять, решается система или не решается. А может быть и не сталкивались, это не так уж важно. Но действительно, такое выражение всплывает при решении линейных систем относительно двух переменных. Что будет, когда мы будем считать определитель матрицы 3 на 3? Нам снова придется складывать и вычитать некоторые произведения элементов матрицы. В каждом... каждое произведение будет содержать 3 элемента. Элементы будут... эти произведения будут... мы будем перемножать элементы из разных строчек и разных столбцов. Не будет никакого произведения, в котором перемножаются два элемента одной и той же строки или два элемента одного и того же столбца. Все время каждая тройка, которую мы перемножаем, все три элемента будут и из разных строчек, и из разных столбцов. Эти произведения мы будем брать иногда с плюсом, иногда с минусом. Посмотрите, как именно мы это сделаем. Мы перемножим элементы на главной диагонали, по той диагонали, в которой у единич... на которой у единичной матрицы стоят единички. И это произведение возьмем с плюсом. Также еще мы возьмем с плюсом два других произведения, которые говорят, что... про которые говорят, что они частично параллельны главной диагонали. Возьмем другую диагональ в матрице. У нас там снова стоит три числа. Мы их перемножим, и эти... это произведение возьмем с минусом. И еще два произведения, частично параллельных главной диагонали, мы тоже возьмем с минусом. Можно сказать, что определитель мы считаем по такой схеме, посмотрите: розовым отмечены те произведения, которые мы берем с плюсом и желтым — те, которые берем с минусом. С плюсом мы взяли главную диагональ и еще треугольничек состоит из трех чисел. Получится два треугольника, которых по одной стороне параллельны главной диагонали. И желтая схема соответствует тем произведениям, которые мы берем со знаком минус. Итак, вот такое выражение от элементов матрицы 3 на 3 мы назовем определителем матрицы 3 на 3. Уже определение определителя выглядит достаточно сложным и поначалу непонятным. Ну зачем мы определили такое число? Зачем нам вообще перемножать элементы матрицы? Мы их обычно складываем! Мы постепенно с этим разберемся. Давайте посмотрим вот на что. Я хочу сказать, что когда мы считали определитель матрицы 2 на 2, мы могли думать об этом немножко иначе. Ответ получить тот же самый, но думать об этом немножко иначе. Ну вот смотрите, определитель матрицы 2 на 2 мы знаем, что такое. Мы взяли произведение элементов на главной диагонали и вычли произведение элементов на дополнительной диагонали. Давайте сделаем вот что. Давайте, что называется, раскроем этот определитель по первой строке. В ответе мы получим то же самое, просто посмотрите, что мы делаем. Давайте рассмотрим элементы первой строки. Ну, собственно, их два. Первый элемент первой строки и второй элемент первой строки. Возьмем первый элемент первой строки, запишем его, a₁₁. После этого мы умножим этот элемент на определитель некоторой матрицы. Определитель будет взят от такой матрицы: у нас первый элемент первой строки он стоит в первой строке в первом столбце? Вычеркнем в нашей матрице первую строку и первый столбец. Была матрица 2 на 2, осталась матрица 1 на 1. Слава богу, у матрицы 1 на 1 посчитать определитель просто. Это будет то самое число единственное, которое вписано в эту матрицу. Так, получили... посмотрите, вот это произведение, которое мы получили таким странным образом — оно совпадает с тем первым произведением, которое мы выписывали, когда считали обычным способом определитель матрицы 2 на 2. После этого из этого произведения мы вычтем вот что. Мы вычтем то, что связано со вторым элементом первой строчки. Напишем сначала просто второй элемент первой строчки, a₁₂. Этот элемент мы умножим опять на определитель матрицы. Новую матрицу мы получим вот как: возьмем матрицу A. Этот элемент связан со вторым элементом первой строчки? С элементом, стоящим в первой строчке во втором столбце? Вычеркнем из нашей матрицы и первую строчку, и второй столбец. Получили новую матрицу, опять, к счастью, очень маленькую. Опять матрицу размера 1 на 1. И именно определитель этой матрицы мы и умножим на тот элемент матрицы, который мы выписали. Итак, мы получили вот что: мы получили выражение для определителя матрицы 2 на 2 через определитель матрицы 1 на 1. Я хочу сказать, что здесь нет никакой единственности. Можно было действовать немножко по-другому. Можно было, что называется, раскрыть этот определитель по первом столбцу. Опять, возьмем сначала... Будем рассматривать первый столбец. Возьмем сначала первый элемент первого столбца и умножим его на определитель новой матрицы. Новую матрицу мы получили из старой вычеркиванием. Первый элемент первого столбца? Он стоит в первом столбце, в первой строчке. Вычеркиваем первый столбец, вычеркиваем первую строчку. Осталась матрица, ее определитель мы берем. Опять получилась очень хорошая матрица, матрица 1 на 1, мы просто возьмем это число. И вычтем из нее, из этого произведения — что? Взяли второй элемент первого столбца, умножим его на определитель опять другой матрицы, меньшей матрицы, которую мы изготовим из матрицы А. Как изготовим? Что мы умножаем? Второй элемент первого столбца. Элемент, который стоит в первом столбце, во второй строчке. Вычеркнули первый столбец, вычеркнули вторую строчку. Опять получили маленькую матрицу, 1 на 1. Матрица, очень хорошая для того, чтобы искать ее определитель. Умножим этот элемент на определитель оставшейся матрицы. Оба раза мы получили одно и то же. Мы опять получили то же самое выражение для определителя матрицы 2 на 2. Итак, мы определили матриц... определитель матрицы 2 на 2 сначала просто как выражение, а потом определили определитель матрицы 2 на 2, используя определение матри.... определителя матрицы 1 на 1. Хорошее мы получили определение? Честно говоря, не очень хорошее определение. Мы написали два разных определения, даже три разных определения, а почему получается одно и то же, мы не доказали. С одной стороны, мы видим это непосредственно из этих вычислений, вот конкретно проведенных для этой матрицы. С другой стороны, и в общем случае это доказать несложно. А в-третьих... с третьей стороны, мы этим заниматься не будем, ну это слишком подробно. В этот факт легко поверить, а доказывать его... доказательство его не входит в такой короткий курс, но однако с этим интересно поэкспериментировать. Интересно посмотреть, как считать определитель одним способом, другим способом. Определитель матрицы 2 на 2 можно также будет раскрыть по второй строчке или по второму столбцу. Мы научимся это делать. А сможем ли мы аналогичной процедурой свести понятие определителя 3 на 3, матрицы 3 на 3 к определителю матрицы 2 на 2? Сможем, ничто нам не помешает. Давайте раскроем определитель матрицы 3 на 3 по первой строчке. Будем действовать так же. Берем первый элемент. Этот элемент стоит в первой строчке, в первом столбце. Его мы сейчас умножим на определитель некоторой матрицы. Какой матрицы? А вот какой матрицы! Первая строчка, первый столбец, вычеркиваем из матрицы 3 x 3 первую строчку, первый столбец. Мы получили матрицу 2 x 2. Мы умеем считать определитель матрицы 2 x 2 целыми тремя способами, на самом деле, даже большим количеством способов. В общем, мы умеем считать определитель матрицы 2 x 2. Посчитаем. Дальше раскрываем по первой строчке. Возьмем второй элемент первой строчки. Внимание! Знак обязательно меняется при переходе от одного элемента строки к следующему, при переходе от одного элемента столбца к следующему, если мы раскрываем определитель по строке, обязательно меняется знак. Итак, минус второй элемент первой строчки умножить на определитель некоторой матрицы. Какой матрицы? Это второй элемент первой строчки. Он стоит в первой строчке, во втором столбце. Вычеркиваем из матрицы первую строчку, вычеркиваем второй столбец. Опять осталась матрица 2 x 2, и мы можем посчитать ее определитель. Дальше, остался один элемент. Опять меняем знак: был минус, стал плюс. Третий элемент первой строчки плюс, третий элемент первой строчки умножить на определитель некоторой матрицы. Я думаю, вы догадываетесь, что это за матрица. Третий элемент первой строчки, элемент, который стоит в первой строчке, в третьем столбце, вычеркиваем первую строчку, вычеркиваем третий столбец, получаем матрицу 2 x 2, и мы умножим третий элемент первой строчки на определитель этой матрицы. Посмотрите, как ни посчитаете определитель матрицы 2 x 2, мы получили правильное выражение. Вот так вот раскрывая по первой строчке определитель матрицы 3 x 3, мы нашли, по-настоящему нашли тот определитель, который мы определили вот так вот как сумму некоторого количества произведений троек чисел. Так можно делать с любой строчкой и с любым столбцом. Мы можем раскрыть определитель по любой строке. Давайте выберем какую-нибудь строчку. Возьмем первый элемент этой строки. Вопрос состоит в том первый, с какого знака, какой будет знак при этом элементе, плюс или минус? Знак считается так: нужно посмотреть, какая это была строчка, допустим, это была i-тая строчка; какой был столбец, допустим, это был j-тый столбец, и этот элемент умножится на число −1 в степени i + j. Например, если это была первая строчка и первый столбец, то умножится на −1 в степени 1 + 1. −1 в квадрате это 1, и знак будет плюс. А если мы раскрываем, например, по второй строчке, то первый элемент второй строчки умножится уже на −1, потому что 1 + 2 – это нечетное число, это 3; −1 в третьей степени будет −1. Хорошо. На что именно мы умножаем эту плюс или минус единичку? Берем первый элемент той строчки, которую мы выбрали, и его, этот элемент, нужно будет умножить на определитель некоторой матрицы. Какой матрицы? Давайте посмотрим. Этот элемент стоит в первом столбце и в какой-то в нашей фиксированной i-той строчке. Мы вычеркнем первый столбец, вычеркнем i-тую строчку. Осталась матрица меньшего размера. Вот этот элемент мы умножим на определитель этой матрицы, и дальше будем так действовать: возьмем второй элемент этой строчки, посмотрим, какой будет знак. Он, конечно, поменяется, потому что номер строки остался тот же, а номер столбца увеличился на один, поэтому если был минус, то станет плюс, если был плюс, то станет минус. Этот элемент мы умножим на определитель новой матрицы, вычеркнем ту же строчку и новый столбец, и так мы раскроем определитель по этой строке. Зачем нам так много всего знать? Зачем нам знать, что можно раскрывать определитель по любой строке, ведь достаточно знать, что его можно раскрыть по первой строке. Этого достаточно, чтобы определить, например, определитель матрицы 4 x 4. Дело в том, что некоторые строчки бывают удобнее других, чтобы считать определитель. Представьте себе, что в некоторой строке стоит несколько нулей. Это сильно сокращает подсчеты. И, конечно, считать определитель, раскрывая по строке, нужно именно по той строке, где больше всего нулей, где нам потребуется делать меньше всего вычислений. Точно так же определитель можно раскрыть по любому столбцу. Выберем столбец, где больше всего нулей. Начнем с первого элемента. Сначала мы выберем знак, который там будет. Допустим, если это был столбец, это будет первая строчка, j-тый столбец, мы умножим этот элемент на −1 в степени 1 + j. И после этого возьмем элемент, сократим матрицу, вычеркнув строчку и соответствующий столбец, и умножим этот элемент на определитель этой матрицы. Мы получили алгоритм, как вычислять определитель, на самом деле, любой матрицы: 10 x 10, 15 x 15, 150 x 150. Этот алгоритм, он индукционный. Мы определили определитель матрицы 1 x 1, 2 x 2, 3 x 3. Зная, что такое определитель матрицы 3 x 3, мы можем посчитать определитель матрицы 4 x 4. Зная определитель матрицы 4 x 4, мы можем посчитать определитель матрицы 5 x 5 и так далее. По этому определению видно, что вычисление определителя – достаточно трудоемкая задача, это правда. Действительно, вычисление определителя достаточно трудоемко, именно поэтому мы всегда говорим: «Вот, раскрывайте определитель по той строке или по тому столбцу, где больше всего нулей, да, раскрывайте по тому столбцу или по той строке, так меньше придется считать, а считать придется достаточно много». Давайте посчитаем определитель какой-нибудь матрицы, не 2 x 2 и не 3 x 3, это мы знаем, а какой-нибудь большой матрицы, мы же ввели индукционное определение. Давайте посчитаем определитель единичной матрицы, раз уж мы определили единичную матрицу. Смотрите, давайте раскроем этот определитель по первой строчке. Это очень удобно, потому что когда мы будем раскрывать определитель по первой строчке, видно, что у нас будет только одно слагаемое, один мы умножим на определитель меньшей матрицы, а потом мы будем прибавлять к этому нули, умноженные на что-то. Нули можно легко умножать на любые другие числа, всегда получится ноль, и будет единственное слагаемое: один умножить на определитель некоторой матрицы. Эта единичка идет с плюсом, потому что −1 в степени 1 + 1 будет 1. На какой именно определитель нужно умножить эту единичку? Нужно умножить на определитель снова единичной матрицы, только меньшего размера. Давайте ее начнем считать: это будет один умножить снова на определитель единичной матрицы меньшего размера. На каждом шаге мы будем сокращать размер единичной матрицы и, в конце концов, придем к матрице 1 x 1. Итого, мы получим в ответе определитель единичной матрицы равен 1 * 1 * 1 * 1, будет перемножено n единиц. Нам не жалко, сколько угодно единиц можно умножать, все равно в результате получится единица. Итак, определитель единичной матрицы всегда равен единице. Давайте посмотрим на другой пример, тоже очень простой, но чуть посложнее. Давайте возьмем не единичную матрицу, но все-таки диагональную матрицу. Давайте возьмем такую матрицу, у которой что-то, кроме нуля, написано только на диагонали. Вне диагонали стоят нули, а на диагонали написаны какие-то числа: a11, a22, a33 и так далее, n чисел написано в этой матрице. Чему будет равен определитель такой матрицы? Мы провели точно такое рассуждение, которое приводит к решению этой задачи для единичной матрицы, для вычисления определителя единичной матрицы. Но давайте теперь будем раскрывать этот определитель не по строке, а по столбцу, просто так, просто, чтобы было веселее. По первому столбцу раскрывать так же хорошо, как по первой строке, ведь в первом столбце только один элемент не равен нулю, первый элемент будет элемент a11. Итак, раскрываем этот определитель по первому столбцу, что будет? Будет a11 умножается на +1, а не на −1, потому что −1 в степени 1 + 1 – это −1 в квадрате, это 1. Итак, получится a11 умножить на определитель некоторой меньшей матрицы. Все, никаких других слагаемых не будет, потому что все остальные элементы в этом столбце равны нулю. Давайте посчитаем определитель меньшей матрицы. Я хочу сказать, что меньшая матрица получилась снова диагональной. У нее снова только на диагонали написаны какие-то числа, и в ней, этой диагонали, ничего не стоит, кроме нулей. Все элементы вне диагонали нулевые. Снова раскроем определитель этой матрицы, меньшей, по первому столбцу. Опять получится, что этот определитель равен a22 умножить на определитель некоторой меньшей матрицы, и никаких других слагаемых нет, потому что за них отвечают... все остальные слагаемые умножились на ноль, умножились на элементы первого столбца, а все элементы первого столбца нулевые. Хорошо, что получится в конце? В конце получится произведение всех элементов на диагонали, потому что, в конце концов, мы придем к матрице 1 x 1. Матрица 1 x 1 будет состоять из единственного элемента ann, и уже определитель матрицы 1 x 1 мы как-нибудь посчитаем, он равен просто этому самому элементу. Что здесь интересного и забавного? Мы считали определитель диагональной матрицы, эта матрица выглядит очень-преочень простой. Давайте заменим диагональную матрицу на верхнетреугольную. Давайте заменим все нули, стоящие над диагональю, на любые другие числа. На какие бы числа мы не заменили нули, стоящие над диагональю, мы получим снова такой же ответ, и получим мы его при помощи снова раскрытия по первому столбцу. Когда мы будем раскрывать первый определитель по первому столбцу, в первом столбце ничего не изменилось, там остался только первый элемент ненулевой, остальные элементы равны нулю. Давайте посмотрим, что произойдет с новой матрицей, с меньшей, когда мы вычеркнем первый столбец и первую строчку. Мы вычеркнули первую строчку. Теперь первый столбец новой матрицы, который получился из второго столбца исходной матрицы, снова такой же: у него на первом месте стоит какой-то элемент, а ниже него стоят только нули. Мы доказали более сложное утверждение не только относительно диагональной матрицы, но и относительно верхнетреугольной матрицы. [ЗАСТАВКА]
