[ЗАСТАВКА] Решая систему линейных уравнений, мы делали с матрицами разные преобразования: мы умножали строку на число, мы добавляли к строке другую строку, умноженную на число, мы меняли строчки местами, делали какие-то естественные вполне, но некоторые такие операции над матрицами, существенно меняющие матрицы. Оказывается, все эти операции можно заменить умножением на какую-то матрицу специального вида. Давайте посмотрим, что происходит, когда мы умножаем одну строчку матрицы на число. Я хочу сказать, что то же самое, что умножить матрицу слева на матрицу специального вида. Итак, мы напишем сначала специальную матрицу, потом нашу матрицу А, и после умножения специальной матрицы на матрицу А получится матрица А, только нужная нам строчка, строчка с номером i умножилась на λ, не осталась той же, а умножилась на λ. Именно такую операцию мы хотим провести. Что за матрица специального вида? На какую матрицу нужно умножить матрицу А, чтобы строчка умножилась на λ? Матрица должна быть такая. Мы возьмем единичную матрицу. Это будет почти что единичная матрица, мы ее немножечко-немножечко испортим, а именно вот что: в этой в единичной матрице вне диагонали стоят нули, и это мы оставим неизменным. Как и в единичной матрице, в нашей матрице вне диагонали будут стоять нули. Давайте возьмем теперь посмотрим на диагональ. Сейчас на диагонали стоят только единички. Давайте возьмем i-тую единичку, то есть ту единичку, которая стоит на диагонали при пересечении i-той строчки с i-тым столбцом. И именно в это место, ровно в одно место, вместо 1 напишем число λ. Я хочу сказать, что теперь, умножая эту матрицу на матрицу А, мы получим ту же матрицу, что была, – матрица А, – только i-тая строчка умножится на λ. Смотрите, в это легко поверить. Давайте посмотрим на пример. У нас здесь... мы умножаем матрицы 2 х 2, это простой пример. Мы хотим вторую строчку умножить на 2. Итак, мы слева умножили на почту единичную матрицу. У единичной матрицы на диагонали бы стояли одни единички. Мы хотели вторую строчку умножить на 2, мы на втором месте диагонали, на пересечении второй строчки и второго столбца 1 заменили на 2, честно умножили матрицы и получили, да, у нас вторая строчка умножилась на 2. А если мы хотим умножить не строку на число, а столбец на число? При решении уравнений нам такая операция не встречалась, однако, конечно, при действиях с матрицами она встречается во многих разных разумных контекстах. Можно ли такую операцию представить как умножение одной матрицы на другую? Можно. Нам понадобится та же самая матрица. Мы взяли единичную матрицу, на пересечении i-той строчки и i-того столбца, что для нас сейчас важнее, мы же столбец хотим умножить на λ, мы 1 заменили на число λ. Если мы возьмем сначала эту матрицу, а потом матрицу А, и возьмем такое произведение, мы умножим i-тую строку на λ, но мы перемножим эти матрицы в другом порядке. Мы сначала возьмем матрицу А, а потом умножим ее вот на эту матрицу специального вида. И тогда в результате в произведении i-тый столбец умножится на число λ. Вот, пожалуйста, тоже можно увидеть, как это происходит в примере. Опять мы взяли, сначала написали матрицу А, потом написали ту же самую матрицу, матрицу специального вида. Мы хотим второй столбец умножить на 2, значит на пересечении второй строчки и второго столбца мы 1 заменили 2, умножили эти матрицы и получили ту же самую матрицу, только второй столбец умножен на 2. Простой пример, в нем все хорошо видно, но если мы будем так действовать и с большими матрицами, какими-то сложно устроенными, все равно этот закон будет действовать. Для того чтобы умножить какой-то столбец на λ, нужно умножить матрицу справа на чуть-чуть испорченную единичную матрицу, а именно нужно i-тый столбец на диагонали заменить на λ, i-тый элемент диагонали заменить на λ. Там была единичка в единичной матрице, а теперь будет написано число λ. Решая систему линейных уравнений, мы иногда меняли строки местами, мы выбирали, какую строчку нам удобно поставить первой, какую – второй. Можно ли это сделать с матрицей при помощи умножения ее на другую матрицу? Ну смотрите, вот в этом случае нам удалось. Мы умножили матрицу опять слева на несколько испорченную единичную матрицу и получили в результате матрицу, в которой первые две... в которой единственные две строчки поменялись местами. Можно ли так сделать для любой матрицы? Вот у нас есть какая-то большая матрица, допустим, квадратная n на n. Можем ли мы поменять местами i-тую и j-тую строку? Можем, можем. Вообще в принципе можем поменять, можем ли мы поменять при помощи умножения на матрицу? Давайте возьмем единичную матрицу и в единичной матрице поменяем местами i-тую и j-тую строку. Мы получили ту матрицу, при помощи умножения на которую мы изменим нашу матрицу так, как хотим. Итак, берем единичную матрицу, в которой i-тая и j-тая строчка поменяны местами, и умножаем эту матрицу на матрицу А. Сначала идет испорченная единичная матрица, потом идет матрица А. В результате получится то, что мы хотели. В результате получится матрица, у которой мы поменяли местами строчки. Можно ли то же самое сделать со столбцами? Можно, можно сделать то же самое со столбцами, и опять на ту же самую матрицу нужно умножить нашу матрицу не слева, а справа. Чтобы поменять местами i-тый и j-тый столбец, нужно точно так же испортить единичную матрицу, как мы ее портили, чтобы поменять местами строчки, и после этого матрицу А умножить на эту испорченную матрицу. В произведении сначала идет матрица А, а потом испорченная матрица. Когда мы решали систему линейных уравнений, особенно много нам приходилось делать такую операцию: к одной строчке прибавить другую, умноженную на число. Можно ли это сделать при помощи умножения нашей матрицы на какую-то другую матрицу? Ну, вот например, здесь нам удалось прибавить ко второй строчке первую, умноженную на 2. Что сделано, если посмотреть на это в общем случае, что нужно сделать? Если нам нужно... нам нужна вот такая матрица, мы на пересечении i-той строчки и j-того столбца 0 заменим числом λ. Мы должны прибавить к i-той строчке j-тую, умноженную на λ. Итак, мы берем матрицу, в которой в i-той строчке в j-том столбце стоит не 0, а λ. Я хочу сказать, что i и j обязательно не совпадают, мы же прибавляем к i-той строчке j-тую, умноженную на λ, значит мы говорим об элементе, который не стоит на диагонали. Итак, мы элемент, не стоящий на диагонали, который раньше был 0, мы 0 заменили на λ. Теперь умножая матрицу А слева на вот эту опять испорченную единичную матрицу, мы получим то, что хотели. Мы получим матрицу, ту же самую, только к i-той строчке прибавлена j-тая, умноженная на λ. Итак, что мы сделали? Мы опять взяли испорченную единичную матрицу. Мы взяли единичную матрицу, в которой на пересечении i-той строчки, к i-той строчке мы хотели прибавить j-тую, умноженную на λ, и j-того столбца, j соответствует той строчке, которую мы прибавляли, мы заменили 0 на λ. И вот на эту матрицу мы умножаем нашу матрицу и в результате получаем то, что хотели, получаем ту матрицу, в которой все осталось неизменно, только к i-той строчке прибавлена j-тая, умноженная на λ. Можно ли точно так же поступить со столбцами? Если мы хотим к i-тому столбцу прибавить j-тый, умноженный на λ, что нужно делать? Нужно делать почти то же самое. Теперь мы возьмем и... возьмем i-тый столбец и j-тую строчку и поставим туда число λ. Эта матрица не та же самая, на которую мы умножали, когда прибавляли к строчке другую строчку, умноженную на λ, а транспонированная к ней. Смотрите, мы поменяли на самом деле все строчки и все столбцы местами, только почти ничего не поменялось, ведь почти все... ведь единички стояли на диагонали, они так и остались стоять на диагонали. Вне диагонали почти все элементы были нулями, нули остались нулями, и только один элемент λ поменялся местами с одним нулем. Он был раньше в i-той строчке j-том столбце, а стал в j-той строчке i-том столбце. И на эту матрицу... и на эту матрицу, как обычно при действии со столбцами, мы будем умножать справа. Сначала идет наша матрица, в которой мы хотим поменять что-то в столбцах, потом идет вот эта вот испорченная единичная матрица, почти что единичная матрица, в ней один элемент заменен, а именно – элемент на пересечении i-того столбца и j-той строчки, там был 0, а стала λ. На самом деле, то, что нужно умножать на другую матрицу в другом порядке, доказательство этого факта не такое уж и сложное. Оно следует из равенства, которое вы видите на экране, но мы не будем его приводить целиком, а если вам хочется, вы можете его провести. [ЗАСТАВКА]
