[ЗАСТАВКА] Итак, мы научились переходить от одного базиса к другому. А что если вдруг нам нужно перейти сначала от одного базиса к другому, а потом к третьему базису, как действовать в том случае, если базисов не два, а больше? Представим себе такую ситуацию, что у нас в линейном пространстве L есть три базиса: (h1, h2, ..., hn) как был, (e1, e2, ..., en) как был и новый базис (f1, f2, ..., fn). Что мы знаем? Как и в предыдущей задаче, давайте знать, какие координаты у вектора l в базисе (h1, h2, ..., hn). Пусть l = b1h1 + b2h2 +... + bnhn или, другими словами, l представим в виде вектора-столбца (b1, b2, ..., bn) в базисе (f1, f2, ..., fn). Что еще мы должны знать? Давайте мы будем знать матрицу перехода от базиса h к базису e. Пока что мы с вами не выходим из условий предыдущей задачи. Что значит, мы знаем матрицу перехода? Что это за матрица перехода такая? Что написано в первом столбце этой матрицы? Для того, чтобы перейти от базиса h к базису e, мы рассматриваем такую матрицу перехода. Мы должны знать координаты векторов (h1, h2, ..., hn) в базисе (e1, e2, ..., en). Мы узнали эти координаты, и в первом столбце матрицы записаны координаты вектора h1 в базисе (e1, e2, ..., en). Во втором столбце записаны координаты вектора h2 в базисе (e1, e2, ..., en). И так для всех векторов h, от первого до n-го, у нас каждому вектору соответствует столбец, и из этих столбцов мы собрали квадратную матрицу, где записаны числа от a11 до ann. Но у нас появился новый базис (f1, f2, ..., fn), и мы хотим найти координаты вектора l именно в этом базисе. Пока что мы недостаточно знаем для того, чтобы это сделать. Пока что наш базис f никак не привязан к двум предыдущим базисам, поэтому найти мы пока что не можем ничего. Хорошо, давайте мы будем знать, как базис (f1, f2, ..., fn) связан с базисом (e1, e2, ..., en). Мы с вами сможем, зная по предыдущей задаче, мы с вами можем найти координаты вектора l в базисе (e1, e2, ..., en). Он будет в какой-то момент, базис (e1, e2, ..., en) будет для нас старым базисом, а вектор (f1, f2, ..., fn) будет для нас новым базисом. Мы хотим найти координаты вектора l именно в этом базисе. Что нам для этого нужно? Нам нужно найти координаты старого базиса в новом базисе. Нам нужно найти координаты вектора e1 в базисе (f1, f2, ..., fn). Нам надо найти координаты вектора e2 в базисе (f1, f2, ..., fn). Давайте найдем эти координаты. Координаты каждого вектора запишем в виде столбца и из этих столбцов составим матрицу. Итак, из чего составлена эта матрица? Что такое за столбец c11, c12, c1n? Что это за числа? Это набор чисел c11, c12, c1n, это координаты вектора e1 в базисе f1. Мы выписали координаты вектора e1, который станет для нас элементом старого базиса, разложили его по новому базису (f1, f2, ..., fn) и записали эти координаты в первый столбец; разложили вектор e2 по базису (f1, f2, ..., fn), записали координаты вектора e2 во второй столбец и так далее. Мы получили матрицу перехода от базиса (e1, e2, ..., en) к базису (f1, f2, ..., fn). Что же делать дальше? Мы все-таки не этого хотели. Мы написали две матрицы, мы написали какие-то столбцы, выписали, а мы хотели всего лишь найти координаты вектора l, какие-то координаты (d1, d2, ..., dn) в базисе (f1, f2, ..., fn). Как нам действовать, чтобы найти эти координаты? Для того, чтобы найти координаты вектора l, который мы умеем раскладывать по базису (h1, h2, ..., hn) в базисе (f1, f2, ..., fn), нам нужно разложить векторы (h1, h2, ..., hn) по базису (f1, f2, ..., fn). Нам нужно найти координаты вектора h1 в этом базисе, нам нужно найти координаты вектора h2 в этом базисе и так далее. Нам надо найти координаты всех базисных векторов базиса h в базисе (f1, f2, ..., fn). Мы можем это сделать, мы все знаем для того, чтобы это сделать. Давайте посмотрим на вектор h1 как на вектор, записанный в базисе (e1, e2, ..., en). Мы знаем, как он записывается, мы же знаем матрицу перехода от базиса (h1, h2, ..., hn) к базису (e1, e2, ..., en). Там как раз в первом столбце написаны координаты вектора h1 в базисе (e1, e2, ..., en). Можем мы найти координаты этого вектора в базисе (f1, f2, ..., fn)? Конечно, можем! Мы же знаем матрицу перехода от базиса (e1, e2, ..., en) к базису (f1, f2, ..., fn). Что для этого надо сделать? Нужно матрицу перехода от базиса (e1, e2, ..., en) к базису (f1, f2, ..., fn) умножить на этот вектор-столбец, умножить так, как мы говорили, умножить по правилу строка на столбец. Нам недостаточно перевести вектор h1 в базис (f1, f2, ..., fn). Для того чтобы получить матрицу перехода, нам надо перевести вектор h1, нам нужно перевести вектор h2, нам нужно перевести вектор h3. Для этого мы должны получить, как результат мы должны получить не один вектор-столбец, мы должны получить n векторов- столбцов, а именно мы должны получить целую матрицу n x n. Посмотрите, что я предлагаю сделать. Давайте перемножим 2 матрицы. Значит, слева напишем матрицу перехода от базиса e1 к базису f1, потом напишем матрицу перехода от базиса h1 к базису e1 и перемножим эти матрицы по закону строка на столбец. Когда мы умножаем первую строку на первый столбец, мы получаем первую координату вектора e1, вектора, извините, h1 в базисе (f1, f2, ..., fn). Действительно, у нас же в первом столбце правой матрицы написаны координаты вектора h1 в базисе e1. Когда мы умножаем такой вектор-столбец на матрицу, которая написана слева, мы получаем координаты этого вектора в базисе (f1, f2, ..., fn). Когда мы умножим матрицу на этот столбец, получим новый столбец, это будут в точности координаты вектора h1 в базисе (f1, f2, ..., fn). Второй столбец будет координатами вектора h2 в том же самом базисе (f1, f2, ..., fn). Итак, перемножив две матрицы по закону строка на столбец, мы получим новую матрицу. Эта матрица как раз и будет матрицей перехода от базиса (h1, h2, ..., hn) к базису (f1, f2, ..., fn). Итак, сделав это вычисление, мы научились делать две вещи. Во-первых, мы научились переходить от одного базиса к другому, а во-вторых, мы определили некоторый способ умножать матрицы, который выглядит разумным. В принципе, мы могли бы определить умножение матриц как что угодно: в центре напишем семерочку, вокруг нули, вот и получилось произведение. будет ли такой способ умножения матриц разумным? Нет, не будет. Тот способ умножения матриц, который мы предлагаем, в некотором смысле точно разумен, потому что матрицы нам нужны пока что для того, чтобы переходить от одного базиса к другому, здесь, перемножая две матрицы, мы получаем матрицу, соответствующую переходу от первого базиса к третьему сквозь второй. То есть здесь умножение матриц соответствует тому, что мы хотели. Умножая матрицы, мы снова получим матрицу перехода от одного базиса к другому. На сегодняшней лекции мы обсудили, что такое координаты вектора, мы доказали теорему о размерности пространства, размерности образа и размерности ядра линейного отображения. Мы научились выписывать матрицу перехода от одного базиса к другому. Мы научились находить координаты вектора в новом базисе, зная координаты вектора в старом базисе, и мы научились переходить от одного базиса ко второму и от второго к третьему и научились умножать матрицы. [ЗАСТАВКА]
