[ЗВУКОВАЯ_ЗАСТАВКА] Теперь мы готовы доказать одну довольно серьезную и абстрактную теорему, одну из важных теорем в линейной алгебре. Эта теорема довольно простая, но тем не менее мы будем оперировать достаточно абстрактными вещами, доказывая ее. Итак, пусть у нас есть 2 конечномерных пространства L и M. На самом деле нам не очень важно, что M — конечномерное пространство, важно, что L — конечномерное пространство, это мы будем использовать существенно. Пусть у нас есть линейное отображение из линейного, линейное отображение f из линейного пространства L в линейное пространство M. Мы знаем, что с линейным отображением связаны некоторые подпространства, в подпространстве L мы можем выделить ядро линейного отображения f, а в линейном пространстве M, мы можем выделить образ линейного отображения f. Оказывается, размерности пространств, фигурирующих в нашем рассказе, связаны между собой. Оказывается, размерность пространства L равна сумме размерностей ядра отображения f плюс размерность образа отображения f. Эта теорема выглядит достаточно удивительной: мы ничего не знаем, мы когда вводили понятие ядра отображения, образа отображения, мы ничего-ничего не говорили про размерности, мы не знаем, как они, априори не понятно, как они могут быть связаны между собой, и вдруг оказалось, что между размерностями этих пространств есть такая достаточно жесткая связь. Давайте посмотрим, как доказывается эта теорема и причем здесь базисы, ведь я обещала, что на этой лекции мы будем говорить о базисах. Итак, давайте сделаем вот что: давайте в ядре линейного отображения f выберем базис, возьмем набор векторов e1 ,..., ek, который является базисом линейного подпространства ядро отображения f. Ядро отображения f, как мы доказали — это линейное подпространство пространства L, во-первых, это значит, что в нем есть базис, это конечномерное пространство, размерность этого пространства не больше, чем размерность пространства L, раз оно конечномерное, можно выбрать базис с таким количеством элементов, какова размерность этого пространства. По теореме, доказанной на позапрошлой лекции, по теореме о продолжении базиса, мы можем выбрать базис всего пространства L так, что первые k векторов этого базиса будут совпадать с выбранным нами базисом ядра. Смотрите: мы взяли векторы e1, ..., ek, этот базис подпространства пространства L, продолжили, дополнили до базиса всего пространства L. Мы это умеем делать, мы доказали это, когда обсуждали базис и размерность. Итак, мы выбрали базис e1, ..., ek ядра отображения и дальше продлили, дополнили его векторами e(k+1), e(k+2), ..., en так, что векторы e1, ..., en образуют базис всего линейного пространства L. Теперь докажем вот что. Давайте рассмотрим векторы f(e(k+1)), f(e(k+2)), ..., f(en). Что это за векторы такие? Во-первых, f от какого-то вектора — это векторы пространства M. Они все лежат в пространстве M. Более точно, они лежат не просто в пространстве M, они лежат в образе отображения f. Действительно, прямо явно выписано, какие векторы переходят в эти векторы при отображении f. Итак, векторы f(e(k+1)), ..., f(en) лежат в образе отображения f. Почему, почему мы начинаем с (k+1)? Почему мы не взяли f(e1), почему почему мы не взяли f(e2), почему мы не взяли, в конце концов, f(ek)? Мы их не взяли по очень простой причине. Дело в том, что векторы e1, ..., ek лежат в ядре отображения f. Не просто лежат в ядре, они образуют базис ядра. Если мы возьмем f(e1) — мы получим 0. Если мы возьмем f(e2) — мы получим 0. Если мы возьмем f(ek) — мы получим 0. Во-первых, зачем нам брать столько нулей? Во-вторых, мы знаем с вами, что в базисе никаких нулевых векторов нет. Если мы к набору векторов добавим нулевой вектор, у нас система векторов станет линейно зависимой — такого с базисом не бывает. Итак, мы взяли набор векторов f(e(k+1)), f(e(k+2)), ..., f(en), и мы хотим доказать, что эти, этот набор векторов является базисом образа линейного отображения f. И наши ожидания не такие уж необоснованные: например, мы не включили туда никаких нулевых векторов. У нас было дрогнула рука включить f(e1), но мы поняли, что этот вектор будет нулевой, и мы не включили его в этот набор. Что нам нужно доказать? Как мы можем доказать, что какой-то набор векторов является базисом какого-то подпространства, как это можно сделать? Для начала нам нужно доказать, что любой вектор, лежащий в подпространстве, выражается через эти векторы. Нам надо доказать, что любой вектор, лежащий в образе отображения f, является линейной комбинацией векторов f(e(k+1)), f(e(k+2)), ..., f(en). Хорошо, давайте докажем, что любой вектор представим, любой вектор, лежащий в образе отображения f представим в виде линейной комбинации тех векторов. Как это можно доказать? Ну, давайте посмотрим, что это был за вектор, и попытаемся разложить его по этому базису. Рассмотрим какой-нибудь вектор m, лежащий в образе линейного отображения f. Что значит, что он лежит в образе линейного отображения f? Это в точности значит, что найдется некоторый вектор l, лежащий в пространстве L, который при отображении f переходит в этот вектор m. Найдется такой вектор l, что f(l) = m. Это прямо определение того, что вектор m лежит в образе линейного отображения f. Что мы знаем по поводу, про вектор l? Что о нем мы можем знать? Кое-что знаем. Несмотря на то, что это самый общий вектор, какой-то вектор, о котором мы ничего не знаем, из пространства L, кое-что мы о нем все-таки знаем. А именно вот что: мы знаем некоторый базис пространства L, мы знаем, что векторы e1, ...ek, e(k+1), ..., en, вот этот длинный набор векторов, который проходит через вектор ek и дальше идет до en, мы знаем, что этот набор векторов является базисом линейного пространства L. А это значит, что вектор l единственным образом представим в виде линейной комбинации этих векторов. То есть мы можем написать просто равенство: l = a1e1 + a2e2 +... + akek +... + anen, где ai-тое — это какие то числа, да, мы сказали, что вектор, мы можем сказать, что вектор l является линейной комбинацией векторов e, ну вот предъявили эту линейную комбинацию. Хорошо. Как это нам поможет разложить вектор m по тому набору векторов, в котором мы предполагаем базис, как представить вектор m в виде линейной комбинации векторов f(e(k+1)), ..., f(en)? Явно присутствуют здесь векторы e1, e2 и так далее до ek-того, куда они денутся? Давайте посмотрим, куда они денутся. Итак, m равно f(l) равно f от той линейной комбинации базисных векторов, в виде которой мы представили вектор l1. f(a1e1 + a2e2 +... + anen). Ничего не остается делать, мы ничего больше не можем сделать, кроме как воспользоваться линейностью отображения f. Ничего такого мы больше не знаем, чем бы мы могли воспользоваться, ничего другого у нас в этом линейном пространстве нет, кроме линейности пространства L и линейности отображения f. Хорошо. Значит, f(l) равно, мы раскрываем это равенство по линейности, это будет равно a1*f(e1) + a2*f(e2) +... +ak*f(ek) — эти векторы первые, они связаны одним очень важным свойством, после этого идут векторы a(k+1)*f(e(k+1)) и так далее. Что здесь важно? А важно здесь вот что. Важно не забыть, что векторы e1,... ek образуют базис ядра отображения f. Значит уж точно сами лежат внутри этого ядра. Это значит, что f(e1) = 0, f(e2) = 0, и так далее f(ek) = 0. В этой сумме, которую мы сейчас выписали, первые k слагаемых пропадают, первые k слагаемых просто равны 0. Что это значит? Это значит, что m = a(k+1)*f(e(k+1)) + + a(k+2)*f(e(k+2)) +... + an*f(en). Смотрите, что произошло. Мы сделали в точности то, что мы хотели: мы представили вектор m в виде линейной комбинации векторов f(e(k+1)), f(e(k+2)), ..., f(en). [ЗВУКОВАЯ_ЗАСТАВКА]
