[ЗВУКОВАЯ_ЗАСТАВКА] Теперь
мы готовы доказать одну довольно серьезную и
абстрактную теорему, одну из важных теорем в линейной алгебре.
Эта теорема довольно простая, но тем не менее мы будем оперировать достаточно
абстрактными вещами, доказывая ее.
Итак, пусть у нас есть 2 конечномерных пространства L и M.
На самом деле нам не очень важно, что M — конечномерное пространство, важно,
что L — конечномерное пространство, это мы будем использовать существенно.
Пусть у нас есть линейное отображение из линейного,
линейное отображение f из линейного пространства L в линейное пространство M.
Мы знаем, что с линейным отображением связаны некоторые подпространства,
в подпространстве L мы можем выделить ядро линейного отображения f,
а в линейном пространстве M, мы можем выделить образ линейного отображения f.
Оказывается, размерности пространств,
фигурирующих в нашем рассказе, связаны между собой.
Оказывается, размерность пространства L равна сумме размерностей
ядра отображения f плюс размерность образа отображения f.
Эта теорема выглядит достаточно удивительной: мы ничего не знаем,
мы когда вводили понятие ядра отображения, образа отображения,
мы ничего-ничего не говорили про размерности, мы не знаем, как они,
априори не понятно, как они могут быть связаны между собой, и вдруг оказалось,
что между размерностями этих пространств есть такая достаточно жесткая связь.
Давайте посмотрим, как доказывается эта теорема и причем здесь базисы,
ведь я обещала, что на этой лекции мы будем говорить о базисах.
Итак, давайте сделаем вот что: давайте
в ядре линейного отображения f выберем базис,
возьмем набор векторов e1 ,..., ek,
который является базисом линейного подпространства ядро отображения f.
Ядро отображения f, как мы доказали — это линейное подпространство пространства L,
во-первых, это значит, что в нем есть базис, это конечномерное пространство,
размерность этого пространства не больше, чем размерность пространства L,
раз оно конечномерное, можно выбрать базис с таким количеством
элементов, какова размерность этого пространства.
По теореме, доказанной на позапрошлой лекции, по теореме о продолжении базиса,
мы можем выбрать базис всего пространства L так,
что первые k векторов этого базиса будут совпадать с выбранным нами базисом ядра.
Смотрите: мы взяли векторы e1, ..., ek,
этот базис подпространства пространства L,
продолжили, дополнили до базиса всего пространства L.
Мы это умеем делать, мы доказали это, когда обсуждали базис и размерность.
Итак, мы выбрали базис e1,
..., ek ядра отображения и дальше продлили,
дополнили его векторами e(k+1), e(k+2), ..., en так,
что векторы e1, ..., en образуют базис всего линейного пространства L.
Теперь докажем вот что.
Давайте рассмотрим векторы f(e(k+1)), f(e(k+2)), ..., f(en).
Что это за векторы такие?
Во-первых, f от какого-то вектора — это векторы пространства M.
Они все лежат в пространстве M.
Более точно, они лежат не просто в пространстве M,
они лежат в образе отображения f.
Действительно, прямо явно выписано,
какие векторы переходят в эти векторы при отображении f.
Итак, векторы f(e(k+1)), ...,
f(en) лежат в образе отображения f.
Почему, почему мы начинаем с (k+1)?
Почему мы не взяли f(e1), почему почему мы не взяли f(e2),
почему мы не взяли, в конце концов, f(ek)?
Мы их не взяли по очень простой причине.
Дело в том, что векторы e1, ..., ek лежат в ядре отображения f.
Не просто лежат в ядре, они образуют базис ядра.
Если мы возьмем f(e1) — мы получим 0.
Если мы возьмем f(e2) — мы получим 0.
Если мы возьмем f(ek) — мы получим 0.
Во-первых, зачем нам брать столько нулей?
Во-вторых, мы знаем с вами, что в базисе никаких нулевых векторов нет.
Если мы к набору векторов добавим нулевой вектор,
у нас система векторов станет линейно зависимой — такого с базисом не бывает.
Итак, мы взяли набор векторов f(e(k+1)), f(e(k+2)),
..., f(en), и мы хотим доказать, что эти,
этот набор векторов является базисом образа линейного отображения f.
И наши ожидания не такие уж необоснованные: например,
мы не включили туда никаких нулевых векторов.
У нас было дрогнула рука включить f(e1), но мы поняли,
что этот вектор будет нулевой, и мы не включили его в этот набор.
Что нам нужно доказать?
Как мы можем доказать, что какой-то набор векторов является базисом какого-то
подпространства, как это можно сделать?
Для начала нам нужно доказать, что любой вектор,
лежащий в подпространстве, выражается через эти векторы.
Нам надо доказать, что любой вектор, лежащий в образе отображения f,
является линейной комбинацией векторов f(e(k+1)), f(e(k+2)), ..., f(en).
Хорошо, давайте докажем, что любой вектор представим, любой вектор,
лежащий в образе отображения f представим в виде линейной комбинации тех векторов.
Как это можно доказать?
Ну, давайте посмотрим, что это был за вектор,
и попытаемся разложить его по этому базису.
Рассмотрим какой-нибудь вектор m, лежащий в образе линейного отображения f.
Что значит, что он лежит в образе линейного отображения f?
Это в точности значит, что найдется некоторый вектор l,
лежащий в пространстве L, который при отображении f переходит в этот вектор m.
Найдется такой вектор l, что f(l) = m.
Это прямо определение того, что вектор m лежит в образе линейного отображения f.
Что мы знаем по поводу, про вектор l?
Что о нем мы можем знать?
Кое-что знаем.
Несмотря на то, что это самый общий вектор, какой-то вектор, о котором
мы ничего не знаем, из пространства L, кое-что мы о нем все-таки знаем.
А именно вот что: мы знаем некоторый базис пространства L,
мы знаем, что векторы e1, ...ek,
e(k+1), ..., en, вот этот длинный набор векторов,
который проходит через вектор ek и дальше идет до en,
мы знаем, что этот набор векторов является базисом линейного пространства L.
А это значит, что вектор l единственным образом
представим в виде линейной комбинации этих векторов.
То есть мы можем написать просто равенство: l = a1e1 + a2e2 +...
+ akek +...
+ anen, где ai-тое — это какие то числа,
да, мы сказали, что вектор, мы можем сказать, что вектор l является линейной
комбинацией векторов e, ну вот предъявили эту линейную комбинацию.
Хорошо.
Как это нам поможет разложить вектор m по тому набору векторов,
в котором мы предполагаем базис, как представить вектор m в виде линейной
комбинации векторов f(e(k+1)), ..., f(en)?
Явно присутствуют здесь векторы e1, e2 и так далее до ek-того, куда они денутся?
Давайте посмотрим, куда они денутся.
Итак, m равно f(l) равно f от той линейной комбинации базисных векторов,
в виде которой мы представили вектор l1.
f(a1e1 + a2e2 +...
+ anen).
Ничего не остается делать, мы ничего больше не можем сделать,
кроме как воспользоваться линейностью отображения f.
Ничего такого мы больше не знаем, чем бы мы могли воспользоваться,
ничего другого у нас в этом линейном пространстве нет,
кроме линейности пространства L и линейности отображения f.
Хорошо.
Значит, f(l) равно, мы раскрываем это равенство по линейности,
это будет равно a1*f(e1) + a2*f(e2) +...
+ak*f(ek) — эти векторы первые,
они связаны одним очень важным свойством,
после этого идут векторы a(k+1)*f(e(k+1)) и так далее.
Что здесь важно?
А важно здесь вот что.
Важно не забыть, что векторы e1,...
ek образуют базис ядра отображения f.
Значит уж точно сами лежат внутри этого ядра.
Это значит, что f(e1) = 0, f(e2) = 0, и так далее f(ek) = 0.
В этой сумме, которую мы сейчас выписали,
первые k слагаемых пропадают, первые k слагаемых просто равны 0.
Что это значит?
Это значит, что m = a(k+1)*f(e(k+1)) +
+ a(k+2)*f(e(k+2)) +...
+ an*f(en).
Смотрите, что произошло.
Мы сделали в точности то, что мы хотели: мы представили вектор m
в виде линейной комбинации векторов f(e(k+1)),
f(e(k+2)), ..., f(en).
[ЗВУКОВАЯ_ЗАСТАВКА]
Irina KhovanskayaSenior Research Fellow, Lecturer
