[ЗАСТАВКА] Вообще говоря, при работе этого алгоритма количество строчек могло уменьшиться. Помните, мы говорили, что строчки могли сократиться. Могло оказаться, что система содержит зависимые уравнения. Третье уравнение, например, могло следовать из первых двух уравнений. Когда мы проводили все эти процедуры, все элементы третьей строчки станут равными просто нулю. Количество строчек, которое получилось, количество единичек, которое получилось, количество единичек на диагонали, которое получилось, мы будем называть рангом матрицы или рангом системы линейных уравнений. Когда мы обсуждали этот план решения системы линейных уравнений, мы говорили, что что-то могло пойти неправильно и что-то... иногда могло получиться слишком много решений. Иногда могло не получиться вообще никаких решений. Давайте посмотрим, как эти сложности, как их можно увидеть, когда мы смотрим на матрицу? Где они видны с точки зрения матрицы? Первое, что могло случиться, могло оказаться, что ранг расширенной системы больше, чем ранг нерасширенной матрицы системы. Получившаяся система, конечно, неразрешима. Давайте посмотрим на последнюю строчку этой матрицы. Какое уравнение она подразумевает, последняя строчка матрицы? 0x + 0y + 0z = 3. Так не бывает. 0x + 0y + 0z может быть равно только нулю. Мы получили неразрешимое уравнение. Мы получили уравнение, которое не имеет никакого решения. Итак, если ранг расширенной матрицы системы больше, чем просто ранг матрицы системы, значит такая система линейных уравнений не имеет решений. Ни одного. Могло получиться наоборот. Могло получиться, что строчки в матрице уже кончились, однако переменные еще остались. Помните мы говорили, что мы будем рассматривать первый ненулевой элемент последней строки. Этот первый ненулевой элемент последней строки мог оказаться вовсе не последним элементом этой строки. Там могли оказаться еще какие-то элементы. Такая система, система, которая соответствует такой матрице, неоднозначно разрешается, такая система имеет бесконечно много решений. Мы обсудим, как искать эти решения, но это не будет единственное решение, этих решений будет обязательно много. Решения линейной системы часто записываются при помощи столбца вектора решений, или мы говорим «вектор-столбец решений». Ну это просто такое обозначение. Вместо того чтобы писать такую систему: x = 5, y = 6, z = 7, можно написать, что столбец x, y, z равен столбцу решений. Ну например, вместо того чтобы писать x = 1, y = 1, z = 1, мы можем написать, что вектор-столбец x, y, z равен вектору-столбцу 1, 1, 1. Особенно интересно записывать вектор решений системы, решающейся неоднозначно. Давайте сначала разберемся с неоднозначно решающейся системой без вектора, просто. Как решается такая система? Вот мы привели матрицу к такому виду: у нас на диагонали стоят единички, но правее диагонали стоят всякие числа. Как с ними обойтись? Давайте вернемся к системе. Давайте запишем... Мы, наверное, потрудились, сделали какие-то преобразования, получили такой ответ. Давайте теперь для этой матрицы напишем систему. У нас получится, что в первой строчке x выражается через свободные коэффициенты z, и во второй строчке y выражается через свободные коэффициенты z. А z может быть любым. Теперь, чтобы получить решение системы, мы можем назначить z каким угодно, после этого вычислить x и вычислить y через это z, и мы получим тройку чисел, являющуюся решением системы. Важно, что мы так получили все решения системы. Перебирая все возможные значения z, находя для них соответствующие значения x и y, мы получим все решения этой системы линейных уравнений. Как записать такое вот неоднозначное решение при помощи вектор-столбца? Смотрите, вектор-столбец... У нас система относительно 3-х переменных x, y и z. Хотелось бы, чтобы вектор тоже был из 3-х переменных x, y и z. Давайте запишем так: мы напишем x, y и z равно... Сначала смотрите, у нас свободный коэффициент, у нас z не соответствует никакому свободному коэффициенту, поэтому мы напишем сначала столбец свободных коэффициентов, напишем свободные коэффициенты, соответствующие первым двум строчкам уравнения, а для z напишем там 0. Но зато потом мы добавим z, умноженное на целый вектор. На последнем месте будет стоять 1, чтобы, смотрите, когда мы сложим эти векторы почленно, чтобы у нас на последнем месте стоял z, а для того чтобы получились такие... чтобы x и y зависели от z именно так, как нам нужно, мы добавим, мы умножим z на тот вектор, сначала поставим первые 2 числа из столбца, который в матрице идет левее столбца ответов. Точно так же можно записать вектор решения системы и для большего количества переменных. И мы... Посмотрите материалы на сайте, мы для вас это сделали, написали, и вы теперь можете решить любую систему линейных уравнений. Итак, что мы сделали на сегодняшней лекции? Мы на сегодняшней лекции обсудили метод Гаусса, системы линейных уравнений. На самом деле мы обсудили, что этот метод Гаусса, который действует с матрицами... метод Гаусса, содержащий некоторые преобразования матриц, что это не что иное, как тот самый метод решения линейных уравнений, который мы проходили в школе. Мы выражаем одну переменную через остальные, подставляем в другие уравнения, ну или, если хотите, как мы действовали: мы вычитаем из одного уравнения другое уравнение, в конце концов находим все переменные. Мы обсудили, как это делается в случае большого количества уравнений, большого количества неизвестных. Чтобы не писать каждый раз «умножить на y, умножить на z, равно там чему-то», мы пишем компактно, записываем систему линейных уравнений при помощи матрицы, действуем со строчками и столбцами матрицы, вместо того чтобы приводить подобные члены и действовать с буквенными выражениями, и в конце концов получаем тот же самый ответ, который бы получили, если бы просто решали руками систему линейных уравнений. Так же мы обсудили, что система линейных уравнений может быть неразрешима. Это бывает тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы больше, чем просто ранг матрицы системы. Мы обсудили, что система может решаться неоднозначно, у системы может быть бесконечно много решений, и обсудили, как находить все решения такой системы, у которой бесконечно много решений. Спасибо! [ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА]
