[ЗАСТАВКА] Когда мы начинаем изучать линейную алгебру, студенты сталкиваются с такой сложностью: как говорить про десятимерное пространство, как представить себе, что такое десятимерное пространство? Да ладно десятимерное пространство, что происходит в четырехмерном пространстве? Трудно себе это представить. Хорошая новость состоит в том, что совершенно необязательно это себе представлять. Я уже говорила, что в линейной алгебре мы смотрим на разные- преразные пространства, совершенно формально мы смотрим, мы ищем общие черты у разных пространств и именно их изучаем. О чем мы думаем, когда хотим представить четырехмерное пространство? Мы привыкли жить в евклидовом мире: в нашем мире есть углы, есть расстояния в нашем привычном физическом мире, этот физический мир мы называем евклидовым. Когда мы говорим про линейное пространство, вообще говоря, мы не думаем ни о каком расстоянии обычно, если об этом не говорим специально, мы не думаем ни о каких углах. Мы можем складывать векторы, умножать их на число, мы можем рассматривать разные отображения, совершенно не представляя себе, что происходит, и рисуя в голове трехмерные или четырехмерные тетраэдры. симплексы, кубы, — нам это совершенно не нужно. Нам достаточно просто тех формальных преобразований, которые мы делаем. Однако все-таки можно что-то понять про четырехмерное пространство хотя бы потому, что это любопытно. Давайте посмотрим, немножко попытаемся понять, как устроена жизнь в четырехмерном пространстве, и сделаем это так: давайте посмотрим, что меняется, когда мы переходим из пространства маленькой размерности в пространство большей размерности. Слава Богу, у нас для этого есть некоторый простор. Мы представляем себе, что такое одномерное пространство, прямая. После этого из прямой мы можем перейти на плоскость, а из плоскости — в трехмерное пространство. Мы совершили два перехода, ну, честно говоря, мы еще совершили переход от точки, от нольмерного пространства к прямой, но о нем даже сложнее думать. Мы совершили два перехода, и на примере этих двух переходов мы можем посмотреть, что менялось. И, таким образом, представим себе, что произойдет, что мы увидим, если выйдем вдруг в четырехмерное пространство. Давайте сначала подумаем о жителях прямой. Что такое жители одномерного пространства? Ну, жители одномерного пространства, какие-то подмножества прямой, например, отрезки. Давайте посмотрим, как видят друг друга два маленьких отрезка, живущих на одной прямой. Я хочу сказать, что они видят только одну вершину друг друга. Если со стороны этого отрезка смотреть на другой отрезок, видна только одна вершина. Давайте посмотрим теперь на жителей плоскости. Жители плоскости — это какие-то пятна такие, амебы, которые на плоскости расположены. Вот одно пятно на плоскости, вот другое пятно на той же самой плоскости. Что видит одно пятно, глядя на другое пятно? Оно видит кусочек его границы, видит кусочек его границы, кусочек какой-то кривой. Так и мы с вами, глядя друг на друга, мы видим двумерную поверхность, мы видим поверхность друг друга. Что происходит, когда мы переходим в следующую размерность? Что происходит с отрезками, когда они оказываются на плоскости? Посмотрите, два отрезка, они раньше были на одной прямой, а теперь один отрезок совершил огромный рывок и вышел на плоскость. Что он увидел? Он увидел внутренность своего бывшего товарища, он видит, что внутри другого отрезка. Что происходит с плоскими фигурами? Вот одна плоская фигура вышла в трехмерное пространство. Она теперь видит не только границу своего товарища по плоскости, она теперь видит, что внутри другой плоской фигуры. То же самое произойдет и с нами. Если кто-то из нас выйдет в четырехмерное пространство, по четвертому измерению немножко отдалится, что он увидит? Он увидит то, что находится под двумерной оболочкой нас, он увидит все, что находится внутри: увидит в голове мозг, в животе желудок. В общем, мне кажется, что писатели-фантасты, говоря о выходе в четырехмерное пространство, думают не об этом, не о том, что выходя в четырехмерное пространство, мы увидим внутренности друг друга, поэтому я советую не выходить в четырехмерное пространство. Теперь давайте представим себе, что такое четырехмерный куб, сколько у него, например, граней и ребер. Мы не будем этого считать, но у вас будет возможность посчитать это самостоятельно. Будем представлять себе так: давайте посмотрим, что такое кубик в каждой размерности. В нольмерном пространстве вообще ничего нет, кроме одной точки ноль, прекрасно. Вот у нас куб, и кубик в нольмерном пространстве — это тоже только точка ноль. Когда мы переходим в одномерное пространство, там тоже есть такой единичный куб, это просто отрезок 0 1. Потом перейдем в двумерное пространство. Как мы из одномерного пространства попадем в двумерное пространство? Смотрите, у нас был отрезок единичный, и мы по новому измерению, в новое измерение сдвинули его на единичку, и получили, вот у нас был отрезок, мы сдвинули его в новое измерение, и у нас так получилось два сдвинутых отрезка, а между ними квадратик. Что происходит, когда мы из плоскости переходим в трехмерное пространство? У нас на плоскости лежит квадратик, у нас появилось новое измерение — высота. Мы поднимаем в высоту на один этот квадратик, и все, что замел этот квадратик в процессе подъема, это и будет трехмерный куб. Видите, да? Сначала мы взяли точку, сдвинули ее на единичку, получилось из нольмерного одномерный куб. Потом из одномерного кубика мы сдвинулись в новое измерение на один, у нас получился квадрат. Потом мы взяли этот квадрат, подняли на один вверх и получили трехмерный куб. Мы готовы строить четырехмерный куб. Смотрите, у нас есть кубик в трехмерном пространстве. Допустим, появляется еще одно измерение, четвертое. Как получится четырехмерный куб? Мы вот этот трехмерный кубик, который у нас есть, мы должны сдвинуть на один в новое измерение, четвертое. При этом получится довольно много ребер, появится восемь новых вершин, а сколько получилось ребер, сколько получилось двумерных граней, у него появились еще трехмерные грани, это все можно посчитать, например, глядя на ту картинку, которую мы для вас нарисовали. Итак, мы научились представлять себе четырехмерный куб, а также поговорили, что это делать необязательно. Вполне достаточно того, как мы формально действуем с линейными пространствами. Когда мы говорим: «возьмем в десятимерном пространстве трехмерное подпространство», совершенно необязательно представлять себе десятимерное пространство. Я не могу себе представить десятимерное пространство. Что-то я могу понять про десятимерное пространство, например, могу посчитать, сколько вершин и граней, ребер будет у десятимерного единичного куба, но это совершенно необязательно для того, чтобы решать те задачи, которые решает линейная алгебра. Сейчас мы обсудим понятие линейной зависимости и линейной независимости. Мы будем говорить, что набор векторов линейно независим, если никакая нетривиальная линейная комбинация векторов не равна нулю. Если мы возьмем линейную комбинацию этих векторов, она будет равна нулю тогда и только тогда, если все коэффициенты равны нулю. Наоборот, мы будем говорить, что система векторов линейно зависима, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, то есть такая линейная комбинация, где хотя бы один коэффициент не равен нулю, такая, что линейная комбинация дает в результате ноль, линейная комбинация равна нулю. Какие мы знаем примеры линейных независимых наборов векторов? Например, базис любого линейного пространства является линейно независимым набором векторов. Это следует из единственности представления нуля в каждом базисе. Например, набор векторов (1; 0) и (0; 1) — это же базис двумерного векторного пространства. Этот набор векторов линейно независим. Набор векторов (1; 0; 1) и (0; 1; 0) — тоже линейно независим. Действительно, никакая нетривиальная линейная комбинация этих векторов не равна нулю, это несложно доказать, доказательство этого факта. С другой стороны, я хочу отметить, что этот набор векторов не является базисом трехмерного векторного пространства, ведь он содержит только два вектора, и просто мы взяли два линейно независимых вектора в трехмерном векторном пространстве. Что можно сказать о системе линейно зависимых векторов? Я хочу сказать, что если набор векторов линейно зависим, если система векторов линейно зависима, то один из этих векторов является обязательно линейной комбинацией других векторов. Может быть не один, но обязательно найдется один такой вектор, который является линейной комбинацией других векторов. Действительно, смотрите, нетривиальная линейная комбинация этих векторов равна нулю. Нетривиальная — значит хотя бы один из коэффициентов не равен нулю. Давайте возьмем тот вектор li-тое, коэффициент при котором, ai-тое, не равен нулю. Я хочу сказать, что этот вектор выражается, является линейной комбинацией остальных векторов. Действительно, мы можем просто перенести в другую часть ai-тое, li-тое, и после этого поделив на коэффициент ai, мы получим линейную комбинацию остальных векторов, которую дает в результате вектор li-тое. Обратите внимание, что в этой сумме, которая написана, нет вектора li ни с каким коэффициентом, мы его уже перенесли в другую часть. Если набор векторов содержит нулевой вектор, содержит вектор 0, то эта система векторов уже гарантированно линейно зависима. просто вот, добавляя вектор 0, мы делаем систему векторов линейнозависимой, почему? Почему так происходит? Ну, действительно, для того чтобы система векторов была линейно-зависимой, нужно, чтобы существовала хотя бы одна, хоть какая-нибудь линейная комбинация векторов, нетривиальная, не все коэффициенты которой равны нулю, а которая в результате дает нулевой вектор. Когда среди векторов есть нулевой вектор, очень легко построить такую линейную комбинацию. Действительно, давайте возьмем ноль, вектор, нулевой вектор, входящий в эту систему, с каким-нибудь ненулевым коэффициентом, с каким захотим, например, 1 или 5, или 8, или минус 3. Нулевой вектор можно умножать на любое число и после этого все равно получится 0, все равно получится нулевой вектор. После этого все остальные векторы системы можно добавить с нулевыми коэффициентами, все равно в сумме получится 0. Смотрите, что мы получили. Мы получили нетривиальную линейную комбинацию, потому что коэффициент при векторе 0 не равен нулю. С одной стороны, а с другой стороны, эта линейная комбинация равна нулю, значит, система векторов линейно зависима. Давайте посмотрим, как, может ли система линейно независимых векторов стать линейнозависимой при добавлении какого-то еще вектора, и как именно это может произойти. Пусть набор векторов e 1... e n линейно независимый набор, пусть этот набор линейно независим, давайте добавим к этому набору еще один вектор, и пусть после добавления этого вектора система стала линейно зависимой. Как это могло произойти? Я хочу сказать, что это произойдет тогда и только тогда, если вектор e n + 1, тот вектор, который мы добавили, является линейной комбинацией первых n векторов, является линейной комбинацией тех векторов, которые были вначале, в линейно независимой системе векторов. Давайте докажем это утверждение. Ну, действительно, система стала линейно зависимой после добавления вектора e n + 1, это значит, существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, такая, что хотя бы один коэффициент не равен нулю, а при этом вся линейная комбинация равна 0. Давайте запишем эту линейную комбинацию. Я хочу сказать, что коэффициент при векторе e n + 1 a n + 1 обязательно не равен 0. Этот коэффициент никак не может быть равен 0. Ну, действительно, если этот коэффициент равен нулю, что мы получаем? Равен нулю, ноль умножить на e n + 1 это какой-то нулевой вектор, он не дает никакого вклада в линейную комбинацию. С одной стороны эта линейная комбинация должна была быть нетривиальной, и на оставшийся n коэффициентов остается груз этой нетривиальности, один из этих коэффициентов должен быть неравен нулю, потому что по нашему предположению один a n + 1 как раз равно нулю. Итак, мы получили нетривиальную линейную комбинацию векторов e 1... e n, которая равна нулю. Что это значит? Если такая нетривиальная линейная комбинация существует, это как раз и значит, что набор векторов e 1... e n линейно зависим, но мы предположили прямо обратное, мы предположили, что набор векторов e 1... e n линейно независим, это значит, мы доказали, что коэффициент в этой линейной комбинации, которая существует, так как получилась линейно зависимая система векторов, коэффициент a n + 1 обязательно не равен нулю. На самом деле этого уже достаточно, чтобы доказать, что вектор e n + 1 является линейной комбинацией остальных векторов. Действительно, смотрите, a n + 1 не равно нулю. Давайте перенесем в другую часть равенство. У нас линейная комбинация равна нулю, перенесем в другую часть равенства, к нулю, перенесем вектор a n + 1 e n + 1 и после этого мы можем поделить на коэффициент a n + 1, мы получим каждое число линейной комбинации слева мы поделили на a n + 1, опять получилось число, и мы получили линейную комбинацию такой, что e n + 1 равна некоторой линейной комбинации векторов e 1... e n. Зачем мы доказывали, что a n + 1 не равно нулю? Почему не сделать было такую простую алгебраическую процедуру без всяких доказательств? Если бы мы делали это, не доказав, что a n + 1 не равно нулю, я бы предложила вам поделить какие-то числа на ноль, на ноль делить нельзя, и такая процедура бы не прошла, а вот если мы уже доказали, что a n + 1 не равно нулю, после этого на это число можно поделить, и мы получили нетривиальную линейную комбинацию векторов e 1... e n, которая равна вектору е n + 1. [ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА]
