0:00
[ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА]
Теорема.
Любой базис конечномерного линейного пространства содержит одинаковое
количество векторов.
Еще раз.
Давайте возьмем какое-нибудь линейное пространство.
Выберем в нем два разных базиса.
Мы видели, это можно сделать, на примере двумерного векторного пространства.
Два разных базиса взять можно,
но количество векторов в этих базисах будет совпадать.
Я хочу сказать, что это удивительный факт.
Мы почти ничего не требуем.
Мы взяли одно линейное пространство и всего лишь требуем,
чтобы оно было конечномерное.
Выбрали какие-то два абсолютно разных базиса.
И уже оказалось, что количество векторов в этих базисах совпадает.
Надо сказать, что именно этот факт, именно эта теорема,
настоящая, достаточно сложная теорема, которую мы докажем,
и дает нам возможность определить, что такое размерность пространства.
Это очень важная теорема.
Доказательство мы проведем таким..
У нас такой план доказательства — давайте представим себе,
что существует два разных базиса.
Это бывает, мы видели, так бывает.
Но пусть в одном базисе количество векторов больше, чем в другом.
Тогда мы докажем, что тот базис,
в котором количество векторов было больше, на самом деле вовсе не базис.
Я хочу сказать, что вот этого утверждения достаточно для доказательства теоремы.
Ну действительно, мы хотим доказать,
что во всех базисах одинаковое количество векторов.
Ну представим себе, что есть два базиса, и в них неравное количество векторов.
Неравное — это как?
Неравное — это значит в каком-то базисе векторов больше, чем в другом.
А, больше чем в другом?
Такого быть не может.
Это не базис.
Больше быть не может по тому факту, который мы сейчас докажем.
Итак, пусть l1...
ln и m1...
mk два разных базиса линейного пространства L,
и пусть n > k, то есть в первом базисе векторов больше, чем во втором.
Для того, чтобы доказать теорему, нам понадобится одно полезное утверждение.
Давайте представим себе, что некоторый набор векторов, линейная комбинация
которых равна нулю — это нетривиальная линейная комбинация, то есть хоть один
коэффициент, какой-то коэффициент в этой линейной комбинации ненулевой.
Я хочу сказать, что если такой факт имеет место,
если нетривиальная линейная комбинация каких-то векторов равна 0,
тогда этот набор векторов не может быть базисом.
Всё что угодно, но это не базис.
Ну доказательство этого утверждения совершенно несложное.
Я хочу сказать, что 0 в этом как бы базисе,
0 выражается не единственным образом как линейная комбинация этих векторов.
Ну действительно, для 0 есть линейная комбинация, когда мы все, все,
все, все векторы берем с нулевым коэффициентом.
0 = 0 * l1 + 0 * l2 +...
+ 0 * ln.
Ну, во первых, это линейная комбинация векторов, с одной стороны,
а с другой стороны, конечно, такая линейная комбинация равна нулю.
Угу, но мы же предположили, что есть какая-то другая линейная комбинация.
Есть такая линейная комбинация этих же векторов,
в которой хотя бы один коэффициент не равен нулю.
Значит, мы получили, что через этот набор векторов 0 не
единственным образом представляется как линейная комбинация.
0 не единственным образом представляется как линейная комбинация этих векторов.
Всё, значит этот набор векторов не может быть базисом.
Теперь перейдем к доказательству непосредственно утверждения теоремы.
Давайте представим ноль, выразим ноль через векторы большего базиса.
0 = a1l1 +...
+ anln.
Если мы предъявим такую нетривиальную линейную комбинацию,
если мы предъявим такую линейную комбинацию,
в которой хоть какой-то коэффициент a не равен 0, мы доказали, что l1 ..
ln, этот набор векторов, не является базисом.
Хорошо.
Я хочу сказать, что для того, чтобы эта линейная комбинация равнялась нулю,
достаточно, чтобы выполнилось всего лишь k условий.
k, если вы помните — это количество векторов в меньшем базисе.
Ну действительно, мы получили какой-то вектор a1l1 +...
+ anln.
У этого вектора,
этот вектор можно представить как линейную комбинацию векторов m1...
mk. Что называется,
разложить этот вектор по базису m1...
mk. Когда мы разложим этот вектор по этому
базису, что нам нужно для того, чтобы получился в результате 0, для того,
чтобы получился в результате нулевой вектор?
Нам нужно, чтобы коэффициенты при каждом из векторов m1...
mk, чтобы коэффициенты были равны 0,
чтобы в результате получилась тривиальная линейная комбинация.
Хорошо.
Я хочу сказать,
что мы получили всего лишь k условий на n неизвестных и при этом n > k.
Мы будем здесь говорить, что мы получили k однородных условий,
потому что у нас получается линейное уравнение, а правая часть всегда равна 0.
Такая система линейных уравнений всегда имеет решение.
Действительно, если мы рассмотрим линейное уравнение x + y = 0, понятно,
что у него есть нулевое решение, но у него есть и не нулевое решение.
Если переменных больше, чем уравнений,
тогда система обязательно имеет нетривиальное решение.
Если в этот момент вам стало сложно, это в каком-то смысле правильно.
И доказательство теоремы сложное, и мы используем некоторые нетривиальные факты,
и в этом месте полезно почитать материалы к лекции,
которые мы вам приготовили и которые выложены на сайте.
Итак, что же мы доказали.
Мы доказали, что существует нетривиальная линейная комбинация векторов l1...
ln, какой-то коэффициент в этой линейной комбинации не нулевой,
а в результате получается 0.
Всё, мы доказали, что набор векторов l1...
ln не является базисом.
Теорема доказана.
В любом базисе конечномерного пространства одинаковое количество векторов.
Действительно, давайте вернемся к самому простому линейному пространству,
которое мы рассматриваем.
Давайте посмотрим на двумерное векторное пространство,
пространство векторов с двумя координатами.
Мы знаем, что векторы с координатами 1; 0 и 0; 1 образуют базис этого пространства.
Мы так же видели,
что векторы с координатами 1; 1 и −1; 1 тоже образуют базисы этого пространства.
Я хочу сказать, что в обоих базисах содержится ровно по два вектора.
Именно поэтому, кстати говоря, мы это пространство и называем двумерным.
Определение.
Размерностью пространства называется количество
векторов в базисе этого пространства.
Я хочу сказать, что пока мы не доказали предыдущую теорему,
мы не могли ввести такого определения.
Ну действительно, может быть в одном базисе 5 векторов, в другом 6 векторов,
какая размерность-то?
Теперь, когда мы знаем, что количество векторов в любом базисе совпадает,
мы можем говорить о размерности пространства.
Иными словами, это определение корректно.
Оно действительно определяет некоторое понятие, не зависящее от базиса.
Мы будем обозначать...
У нас для размерности будет специальное обозначение такое вот — dim,
от слова dimensional.
Читается так — n, размерность пространства L равно n.
[ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА]
[ЗАСТАВКА]
Irina KhovanskayaSenior Research Fellow, Lecturer
