[ЗАСТАВКА] На сегодняшней лекции мы будем говорить про базис линейного пространства и про размерность линейного пространства. Базис линейного пространства это аналог системы координат в привычной жизни, в евклидовом пространстве. Мы в жизни часто используем термин «размерность». Мы считаем, что плоскость двумерна, а пространство, в котором мы живем, трехмерно. Что мы имеем в виду под размерностью в обычной бытовой жизни? Ну, это связано с системой координат. На плоскости мы привыкли, что есть две координаты, в математике x и y обычно их называют. В обычной жизни это длина и ширина, например. Когда мы выходим в трехмерное пространство, у нас появляется три координаты, x, y и z, говоря обычным математическим языком, или длина, ширина и высота, говоря бытовым языком. Мы попробуем сегодня то же самое провести для формальных пространств, для пространств линейной алгебры, мы введем координаты при помощи базиса и свяжем размерность с координатами в линейном пространстве с базисом линейного пространства. Базисом линейного пространства называется такой набор векторов, через который... линейные комбинации которой представляются единственным образом любой вектор линейного пространства. Например, векторы (1; 0) и (0; 1) являются базисом двумерного пространства. Действительно, любой вектор с координатами x и y выражаются как x умножить на вектор (1; 0) плюс y умножить на вектор (0; 1). С другой стороны, то же линейное пространство, то же двумерное пространство, обладает базисом таким. Возьмем два вектора с координатами (1; 1) и (−1; 1). Эти два вектора тоже являются базисом линейного пространства. Несложно заметить, что любой вектор выражается как линейная комбинация этих двух векторов и выражается единственным образом. Давайте посмотрим, какие примеры не базисов, примеры наборов векторов, которые не являются базисом пространства. Давайте посмотрим на трехмерное векторное пространство. В трехмерном векторном пространстве у каждого вектора есть три координаты. Набор векторов (1; 0; 0) и (0; 1; 0) не является базисом этого пространства. Действительно, какую линейную комбинацию этих векторов мы ни возьмем, с какими коэффициентами мы ни сложим, мы никак не получим вектор с координатами (0; 0; 1), единичку мы получить никак не можем, потому что как ни складывай два нуля, все время получится 0. Приведем пример не базиса на плоскости. Давайте посмотрим на набор векторов (0; 1), (1; 1) и (1; 0). Этот набор векторов не является базисом. Конечно, любой вектор является линейной комбинацией этих трех векторов, но мы могли обойтись и без вектора (1; 1). Векторы (1; 0) и (0; 1) уже образуют базис линейного пространства, двумерного векторного пространства. Вектор (1; 1) и выглядит лишним на наш вкус, и действительно легко привести пример вектора, который не единственным образом выражается через эти три вектора. А на самом деле, любой вектор на плоскости через эти три вектора можно выразить многим количеством способов, не единственным образом, здесь нарушается единственность. Мы будем говорить, что линейное пространство конечномерно, если либо оно состоит только из нулевого вектора, и тогда мы будем называть это пространство нольмерным, либо, если у него есть базис из конечного количества векторов. Все остальные пространства мы будем называть бесконечномерными пространствами. Двумерное и трехмерное векторные пространства конечномерные. Мы уже видели, что у двумерного векторного пространства есть базис из векторов (1; 0) (0; 1), а у трехмерного векторного пространства аналогичный есть базис из векторов с координатами (1; 0; 0) (0; 1; 0) и (0; 0; 1). Не любое пространство является конечномерным. Например, пространство всех функций на множестве вещественных чисел является бесконечномерным, оно очень большое. Мы будем говорить, мы будем считать, что базис нольмерного пространства состоит из пустого множества векторов, в принципе, можно было поступить по-разному, но нам удобнее говорить так. [ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА]