[ЗАСТАВКА] До
этого момента
мы рассматривали функции на линейном пространстве, функции,
которые каждому элементу линейного пространства ставят в соответствие число,
функции с числовыми значениями.
Ну именно с такими функциями мы привыкли работать в школе,
на математическом анализе мы к таким функциям привыкли.
Однако, вообще-то, по определению в функцию необязательно
ставить в соответствие какому-то элементу число.
О чём мы таком говорим?
Давайте приведём какие-нибудь простые примеры таких функций,
значения которых необязательно являются числом.
Ну, например, давайте возьмём и каждому вектору линейного пространства l
поставим в соответствие его же самого.
Вот получается тождественная функция, тождественное отображение.
Или, например, к вектору пространства добавим… Ко всем векторам пространства
будем добавлять какой-нибудь фиксированный вектор l.
Не знаю, например, вектор с координатами 1, 1.
Каждому вектору добавим такой вектор.
Ну что ж, мы из каждого вектора изготовили новый вектор.
Например, другой пример функции.
Мы каждый вектор можем умножить на какое-нибудь число, не знаю, на −1.
Взяли, каждому вектору поставили соответствие обратной к нему.
Чтобы не путаться, такие функции,
значения которых необязательно действительные числа, а элементы
линейного пространства, мы будем называть отображениями линейного пространства,
не функциями на линейном пространстве, а отображениями линейного пространства.
Хочу обратить внимание, что отображение линейного пространства, мы можем линейное
пространство отображать в него само, можем вектору линейного пространства ставить
в соответствие какой-то вектор того же самого линейного пространства.
А можем отображать линейное пространство в другое линейное пространство,
ставить в соответствие вектору одного линейного пространства вектор
из другого линейного пространства.
Ну смотрите, например, мы, когда рассматривали функции, линейные функции,
мы иногда рассматривали их на множестве действительных чисел, и тогда у нас
было отображение из множества действительных чисел в него само.
А иногда мы рассматривали линейные функции на векторном пространстве,
на пространстве функций, и это значит, что мы отображали какое-то сложное
линейное пространство в множество действительных чисел.
У нас значение функций было не из того же самого пространства, что и вектор,
на котором мы рассматриваем эту функцию.
Итак, какие отображения мы назовём линейными?
Мы будем следовать в точности определению линейной функции.
Припишем те же самые свойства, которые мы потребовали от линейной функции.
Давайте рассмотрим, во-первых, о чём идёт речь, какое отображение?
Мы каждому вектору линейного пространства L ставим в соответствие вектор какого-то
другого линейного пространства M.
Ну, может быть, по случайности это линейное пространство M совпадает с
пространством L или не совпадает, мы этого не требуем.
Итак, f у нас отображает линейное пространство L в линейное пространство M.
Какие нам нужны свойства?
Помните, значение линейной функции на сумме векторов равнялось
сумме значений линейной функции на векторах?
Потребуем того же самого.
f (l1 + l2) = f (l1)+ f (l2).
Сейчас это определение, это часть определения линейного отображения.
Мы те отображения, которые мы назовём линейными,
обязательно должны удовлетворять этому свойству.
И во-вторых, как было в случае с линейной функцией,
линейное отображение должно уважать умножение на число.
f (λl) = λf (l).
Такое же свойство, как в случае линейных функций.
Я хочу обратить ваше внимание на то, что здесь, вот в этих двух строчках
присутствуют векторы из двух разных пространств.
l1, l2, l, λl — это всё векторы пространства L,
а f (l1), f (l2), f (l1 + l2),
λ * f (l) — это векторы из пространства M, они принадлежат пространству M.
Необязательно оно совпадает с пространством L.
Давайте разберёмся с какими-нибудь простыми примерами линейных отображений.
Во-первых, первый пример отображений, который мы привели,
тождественное отображение f (l) = l — это отображение является линейным.
Ну, действительно, f от суммы векторов равно сумме векторов,
и просто сумме векторов, и f (λl) = λl, умножение на число
оно естественным образом уважает.
Другой пример линейного отображения тоже простой и тоже
аналогичный совсем простому примеру линейных функций, когда мы значение
линейного отображения на векторе — это просто этот вектор умножить на число.
f (l) = al.
Здесь мы отображаем, я хочу заметить, пространство L в себя.
f (l) = al.
Действительно, это отображение будет линейным.
Во-первых, f (l1 + l2) чему равно?
f (l1 + l2) = a * (l1 + l2).
Дальше мы пользуемся свойством дистрибутивности, как вы помните,
в линейном пространстве, это будет al1 + al2.
al1 — это как раз f (l1), а al2 — это как раз f (l2).
Итого, мы получили свойства f (l1 + l2) = f (l1) + f (l2).
Точно так же с умножением на число.
f (λl) = a * λl.
Просто по определению линейного… Мы так определили линейное отображение.
Переставим числа, от перестановки мест сомножителей значение не меняется,
это будет равно λ * al, значит, это будет равно λf (l).
Итого, второе свойство здесь тоже выполняется.
Отображение f (l), переводящее вектор l в вектор умножить на число, будет линейным.
Я хочу сказать, что, если бы это отображение оказалось нелинейным согласно
нашему определению, это бы значило, что мы придумали какое-то плохое определение.
Именно такое отображение, конечно, должно быть линейным по аналогии с линейными
функциями, ну пока что наше определение прошло простой тест на разумность.
Такое отображение оказалось линейным.
Мы рассмотрели два примера линейных отображений, они были какие-то
неинтересные, ну тождественное отображение умножения на число.
Давайте посмотрим более живой пример.
Давайте посмотрим, давайте повернём векторное пространство двумерное,
повернём плоскость относительно точки 0 на 60 градусов.
Я хочу сказать, что мы опять получили отображение линейного пространства в себя.
Действительно, каждому вектору мы ставим в соответствие снова вектор,
повёрнутый на 60 градусов, ну, скажем, против часовой стрелки.
У нас получилось, у каждого вектора есть образ.
Я хочу сказать, что это отображение тоже будет линейным.
Ну, действительно, всё равно в каком порядке действовать,
мы можем сначала сложить векторы, а потом сумму повернуть, или, если мы
сложим повёрнутый вектор, снова получится то же самое, тот же самый вектор, просто
из геометрической картинки по правилу параллелограмма и умножение на число.
Всё равно в каком порядке действовать,
сначала растянуть вектор в a раз и потом повернуть на 60 градусов,
или сначала повернуть на 60 градусов, а потом растянуть в a раз.
Итак, поворот плоскости относительно точки 0 на 60 градусов снова
будет линейным отображением.
Забавно, что поворот плоскости относительно другой точки, не точки 0,
на 60 градусов уже не будет линейным отображением,
потому что 0 необязательно перейдёт в 0, то есть 0 не перейдёт в 0.
Мы рассматривали достаточно формальные примеры линейных функций,
значение функций в точке х0.
Конечно, для линейных отображений тоже существуют достаточно формальные примеры,
которые трудно представить себе на какой-нибудь картинке, однако,
как формальное упражнение они очень легко проходят.
Давайте возьмём пространство,
линейное пространство многочленов в степени не выше 3.
Мы уже обсудили на прошлой лекции,
что многочлены степени не выше 3 образуют линейное пространство.
Давайте теперь каждому многочлену в степени не выше 3 мы поставим
в соответствие вектор на плоскости, вектор двумерного векторного пространства.
Вектор двумерного векторного пространства определяется двумя координатами.
Так вот поставим соответствие мы так.
Первая координата этого вектора будет коэффициент многочлена при х куб, а вторая
координата этого вектора будет многочлен… Коэффициент многочлена при х квадрат.
Смотрите, например, какому вектору будет соответствовать… Какой вектор мы
поставим в соответствие многочлену просто х куб?
Ну при х куб коэффициент 1, а все остальные коэффициенты равны нулю.
Итого, многочлену х куб мы подставим в соответствие вектор 1 0.
Забавно, что вектор 1 0 мы поставим в соответствие не только многочлену х куб,
а, например, многочлену х куб + 1.
Мы тоже поставим в соответствие вектор 1 0.
Ну хорошо, вот такое отображение.
Посмотрим, является ли оно линейным.
Кстати, мы говорим про многочлены степени не выше 3.
А что если мы возьмём многочлен степени 1?
Например, 2х + 3.
Какой вектор плоскости им ставить?
Какой коэффициент при х куб?
Какой… Коэффициент при x квадрат, ведь это многочлен всего лишь первой степени.
Ответ простой — многочлен первой степени, значит коэффициент при x куб,
как и коэффициент при x квадрат, равен 0, и многочлену первой степени,
любому многочлену первой степени, мы ставим в соответствие точку 0.
Давайте докажем, что это отображение является линейным.
Ну, что нам нужно доказать?
Во-первых, мы докажем, что сумма, если мы рассмотрим f от суммы многочленов,
это значение отображения на сумме многочленов будет
равно сумме значения отображения на каждом из многочленов.
Ну, действительно, давайте сложим два многочлена.
a3x куб + a2x квадрат + a1x + a0 будет первый многочлен,
второй многочлен будет b3x куб + b2x квадрат + b1x + b0.
Заметим, что значение нашего отображения первому многочлену,
наше отображение ставит в соответствие вектор a3a2.
Второму многочлену ставит в соответствие вектор b3b2.
Это просто.
Это просто коэффициенты при x куб и x квадрат у каждого из многочленов.
И сумма этих векторов, заметим сразу,
будет… Она будет иметь координаты a3 + b3, a2 + b2.
Давайте рассмотрим сумму многочленов.
Как складывают многочлены?
Ну для того чтобы сложить два многочлена,
нужно просто почленно сложить коэффициенты при каждой степени.
Итак, это будет многочлен (a3 + b3)x куб + (a2 +
b2)x квадрат + (a1 + b1)x + (a0 + b0).
Какой коэффициент стоит при x кубе?
Стоит коэффициент a3 + b3 — это тот же коэффициент, который получился…
Это то же самое число, которое получилось первой координаты суммы векторов.
Которую мы уже посчитали.
Какой коэффициент стоит при x квадрат?
a2 + b2.
Смотрите, действительно оказалось,
что f (l1 + l2) = f (l1) + f (l2).
Этого не достаточно.
Как обстоит дело с умножением на число?
Ну с умножением на число дело обстоит так же хорошо.
Давайте посмотрим… Во-первых,
что произойдет… Как умножается многочлен на число?
Ну так и умножается.
Каждый коэффициент умножается на число.
Если мы многочлен a3x куб + a2x квадрат +
a1x + a0 умножим на число λ — просто каждый коэффициент умножится на λ.
Мы получим многочлен λa3x куб + λa2x квадрат
+ λa1x + λa0.
Хорошо.
Значит, чему равно значение нашего отображения от такого многочлена?
Ну мы берем коэффициенты при старших двух членах —
это будет вектор с координатами λa3 и λa2.
Так, чему равнялось значение отображения от всего многочлена?
Вектор с координатами a3, a2.
Если мы этот вектор умножим на число λ,
опять получится вектор с координатами λa3, λa2.
Это значит, что эти два вектора совпадают.
Итак, отображение f уважает умножение на число.
Давайте посмотрим.
Мы дали определение линейного отображения.
Какими естественными свойствами обязательно обладает линейное отображение?
Ну, во-первых, так же, как для линейной функции, обязательно f (0) будет равно 0.
Без этого никак.
Действительно, и доказывается это просто, так же как для линейной функции.
Только в этом случае справа у нас стоит не 0 число, а 0 вектор пространства M.
Ну, действительно, чему равно f (0), f от нулевого вектора?
Помните, что нулевой вектор можно представить в виде число 0 умножить на
какой-нибудь вектор l, на любой вектор l.
Какой вам нравится вектор l, такой и берем.
Итак, f (0) = f (0 * l).
0 — число.
Так как отображение f линейное, то 0, коэффициент, можно просто вынести.
Это будет равно 0 * f (l).
f (l) — это какой-то вектор пространства M, пространство,
куда мы отображали при помощи линейного отображения пространства L.
Хорошо.
Это линейное пространство, оно уважает законы линейного пространства,
если мы число 0 умножим на какой-то вектор, мы получим 0.
Мы это доказали на прошлой лекции, когда обсуждали линейные пространства,
когда обсуждали свойства линейных пространств.
Другое важное свойство линейных отображений такое: f (
−l) обязательно равно −f (l).
А линейное отображение от обратного вектора будет обратно образу этого
вектора.
Ну действительно, и доказать это тоже не сложно,
как и в случае с линейными функциями.
Мы знаем, что −l можно представить в виде: число −1 умножить на вектор l.
Мы это проходили как раз на прошлой лекции.
f ( −l) — это f ( −1) * l.
Число м1 можно вынести за f, потому что f по условию линейное отображение.
Мы рассматриваем линейное отображение.
Это будет равно ( −1) * f (l), а (−1) * f (l) = −f (l).
Потому что… Потому что f (l) — это вектор линейного….
Элемент линейного пространства M, а для линейного пространства M,
мы доказали это в прошлый раз, это верно.
−1 умножить на вектор будет вектор обратный данному.
Итак, мы доказали, что f ( −l) = −f (l).
Последнее свойство линейных отображений, которое мы обсудим сегодня,
будет касаться линейной комбинации векторов.
Что такое линейная комбинация векторов?
Давайте рассмотрим любой набор векторов из пространства L.
Просто возьмем какое-то множество x1, x2, x3, …, xn, взяли n каких-то векторов.
Что такое, их линейная комбинация?
Давайте возьмем… У нас было n векторов… Давайте
возьмем n чисел любых — λ1, λ2, …, λn.
Давайте построим такое выражение: λ1x1 + λ2x2 + … + λnxn.
λ1x1, ну так же, как λ2x2, так же, как λnxn
— это векторы из векторного пространства L, из линейного пространства L.
Когда мы рассматриваем сумму векторов, сумму элементов линейного пространства,
мы снова получим элемент линейного пространства.
Итого, λ1x1 + λ2x2 + … + λnxn — это снова вектор линейного пространства L,
и вектор такого вида называется линейной комбинацией векторов x1, …, xn.
Что я хочу сказать?
Я хочу сказать, что линейное отображение уважает линейную комбинацию,
а f от линейной комбинации векторов снова будет линейной
комбинацией образов этих векторов.
f (λ1x1 + λ2x2 + … + λnxn) = λ1 *
f (x1) + λ2 *
f (x2) + … + λn * f (xn).
Это свойство даже доказывать нечего.
Ну что же, мы сначала разложим как сумму.
Мы знаем, что линейное отображение уважает сумму f (λ1x1
+ … + λnxn) — это будет сумма f (λ1x1)
+ f (λ2x2) + f (λ3x3) и так далее.
Хорошо.
Но в каждом случае ведь f — это линейное отображение.
Каждый из λ можно вынести за l.
У нас получится, что эта сумма равна λ1f (x1) + λ2f (x2)
+ λn * f (xn) — в точности то, что мы хотели.
Конечно, из этого свойства следуют оба
свойства определения линейного отображения.
И то, что f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2).
И то, что f (λx) = λ * f (x).
Посмотрите, что мы сделали.
Вот это свойство, оно более сложное, но мы его вывели из двух очень простых свойств.
Получили одно такое обобщающее их, более сложное свойство,
состоящее в том, что линейное отображение уважает линейную комбинацию.
Итак, что же мы с вами сделали сегодня.
Мы сегодня рассмотрели понятие линейной функции.
Мы посмотрели на привычное понятие линейной функции и линейной функции на
множестве действительных чисел.
Мы посмотрели, какими важными свойствами обладают линейные функции.
После этого, приняв свойства линейной функции на прямой за определение,
мы определили линейную функцию на любом линейном пространстве.
Мы определили, что значит функция на линейном пространстве является линейной.
После этого мы определили линейное отображение на линейном пространстве.
Мы научились говорить, какие отображения из одного линейного пространства в другое
линейное пространство, необязательно множество линейных чисел, а возможно
в какое-то другое линейное пространство, в какое-то другое векторное пространство,
мы определили, какие из этих отображений являются линейными,
и даже обсудили некоторые свойства линейных отображений.
Какими свойствами обязательно обладают отображения одного линейного пространства
в другое линейное пространство, если это отображение линейное.
Спасибо.
[ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА]
[ЗАСТАВКА]
