[ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА] Давайте представим себе такую функцию, которая просто удваивает действительное число. На множестве действительных чисел мы рассмотрим такую функцию — f (x) = 2x. Мы обсудили, что функция вида x + b вовсе не всегда является линейной, но здесь у нас свободный член равен 0, функция f (x) = 2x будет линейной. Давайте теперь… Мы хотя строили определение линейной функции, исходя из такой функции, давайте проверим, что эта функция получилась удовлетворяющей нашему определению, что мы получили ровно то, что мы хотели, а не какую-то ерунду. Ну действительно, посмотрим, чему равно f (x1 + x2). f (x1 + x2) = 2 * (x1 + x2) по определению этой функции. Раскрываем скобки, 2x1 + 2x2 — это будет f (x1) + f (x2). То же самое с умножением на число. Чему равно f (λx)? Это будет равно 2 * λx, все равно, что λ * 2x — это будет λf (x). f (λx) = λf (x) свойство линейной функции удовлетворяется. Значит, это мы действительно получили линейную функцию в смысле нашего определения, так-то в школьном смысле она, конечно, была линейной. Рассмотрим другой пример. Давайте посмотрим… У нас первый пример линейного пространства — это было двумерное векторное пространство. Давайте в двумерном векторном пространстве придумаем какую-нибудь линейную функцию. Здесь уже не получится просто так взять какую-то школьную функцию. Я предлагаю, возьмем функцию — первая координата. У нас у каждого вектора есть две координаты, и мы каждому вектору поставим в соответствие число. Первая координата. Ну уж, безусловно, это функция. Для каждого вектора мы определили число. Будет ли эта функция линейной? Что произойдет, если мы возьмем значение функции от суммы двух векторов, и как себя будет вести функция, если мы умножим вектор на число? Ну действительно, давайте посмотрим, как складываются векторы. Ну векторы, мы знаем, в векторном пространстве складываются покоординатно: вектор (x1; y1) + вектор (x2; y2) мы получим вектор (x1 + x2; y1 + y2), с такими координатами. Как вектор умножается на число? Ну тоже покоординатно. λ умножить на вектор с координатами (x; y) будет вектор с координатами (λx; λy). Итак, давайте посмотрим, как ведет себя первая координата при сложении векторов. Ну, действительно, мы складываем два вектора. Первая координата первого вектора у нас была x1, первая координата второго вектора была x2, сумма этих координат x1 + x2, но эта же сумма, x1 + x2, и есть первая координата суммы векторов. Действительно, это свойство выполняется. Точно так же обстоит дело и с умножением на число. Давайте посмотрим, первая координата вектора (x; y) — это число x. Если мы рассмотрим, умножим этот вектор на число λ, мы получим вектор с координатами (λx; λy). Действительно, f (λx), f (λ) умножить на вектор равно λ умножить на функцию от вектора. λx = λx. Нам для того, чтобы получить и то и другое, нужно просто число x умножить на λ. Итак, первая координата — это линейная функция от вектора в двумерном векторном пространстве. На самом деле это верно и для трехмерного векторного пространства, и для векторного пространства любой размерности, но мы их пока не обсуждали. Давайте рассмотрим более сложный пример функции в более сложном и таком более общем пространстве, которое не так легко представить себе, как двумерное пространство векторов. Давайте посмотрим на множество всех функций. Просто множество всех функций, скажем, на множестве R. Давайте посмотрим, для каждой функции определим функцию. Значение этой функции в точке x0. Смотрите, как много у нас нагромождений. Слово «функция»… Сколько функций от функций, от функций… В этом примере, вектором, элементом линейного пространства, является функция на множестве R. На этом векторе, на элементе линейного пространства, мы определяем значение линейной функции, то есть получается функция от функции. Значение линейной функции на векторе — это значение той самой функции f в точке x0. Итак, разобрались с этой конструкцией. Является ли эта функция линейной? Является ли функция на множестве функций, определяемая как значение функции в точке x0, линейной? Давайте посмотрим. Сумма функций. Чему равна сумма функций в точке x0? Ну это будет просто сумма значений функций f и g в точке x0. Итак, (f + g) в точке x0 равно f (x0) + g (x0) — это просто тавтологическое равенство, это определение суммы функций. Точно так же обстоит дело и с умножением на число. Значение функций λf в точке x0 просто по определению будет λf (x0). Доказательство факта того, что значение функции в точке x0 оказалось гораздо проще, чем просто определение этой функции. Ну что же, довольно сложную конструкцию мы прошли с вами в этом примере. Мы рассмотрели два примера линейных функций на линейном пространстве. Может быть, вообще все разумные функции, которые нам только могут прийти в голову, на линейном пространстве будут линейны, может быть нелинейная функция — это что-то такое экзотическое, что даже придумать сложно? Ну, конечно, нет. Во-первых, конечно, на множестве действительных чисел нам встречались функции, про которые мы знаем, что они не линейные. Ну давайте, например, рассмотрим такую функцию. Модуль действительного числа. На множестве действительных чисел, которые являются линейным пространством, давайте рассмотрим функцию модуль действительного числа. Модуль 1 равен 1, модуль (−1) равен 1, а модуль суммы равен нулю: 1 + (−1) = 0. Мы видим, что модуль суммы вовсе не равен сумме модулей. Ну, действительно, есть такое неравенство, что модуль суммы меньше либо равен сумме модулей. Иногда бывает меньше, например, как в этом примере. Модуль не является линейной функцией на множестве действительных чисел. Ну хорошо, а в двумерном векторном пространстве, может быть, все разумные функции линейны, только что-то совершенно формальное и выдуманное окажется не линейным? Ну тоже, конечно, нет. Мы проходили такую вещь, которая называется длина вектора. У вектора на плоскости есть длина. Ну она определяется по теореме Пифагора. У вектора с координатами, скажем, (3; 4) будет длина 5. Это Пифагорова тройка — корень из 3 в квадрате + 4 в квадрате — это равно корень из 25 — это 5, а длина вектора с координатами (3; 4) будет равна 5. Давайте посмотрим на вектор с координатами (3; −4). Квадрат 4 и (−4) совпадает. Длина вектора с такими координатами снова будет равна 5. Хорошо. Мы привели два вектора, длина каждого из которых равна 5. Давайте посмотрим на сумму этих векторов. Векторы складываются покоординатно. Если мы сложим вектор (3; 4) с вектором (3; −4), мы получим вектор с координатами (6; 0). Несложно заметить, что длина этого вектора равна 6, конечно же, а 6 вовсе не равно (5 + 5). (5 + 5) — это 10. Очень важное свойство линейных функций состоит в том, что f (0), линейная функция в нуле, значение линейной функции в нуле, всегда равно нулю и никак по-другому быть не может. Ну действительно, давайте докажем это. f (0) — это, что такое? Мы знаем, что 0 можно представить, как число 0 умножить на любой вектор. Это мы обсудили на прошлой лекции. Итак, f от вектора 0 равно f от число 0 умножить на вектор l, где l — какой-то любой вектор, какой хотите. Совершенно неважно какой, любой вектор линейного пространства l. А это равно по свойству линейной функции (из того, что линейная функция уважает умножение на число) 0 * f (l). Чему бы ни равно было f (l), какое бы значение ни принимала функция f на векторе l, 0 умножить на это число будет равно 0. Итак, f (0) всегда равно 0. Именно это определяет, какие функции вида ax + b являются линейными, а какие нет. Если свободный член равен 0, то f (0) будет равно 0, а если свободный член не равен 0, то f (0) уже никак не получится равен 0, значит, эта функция не будет линейной. Например, если мы рассмотрим функцию 2x + 3, значение ее в 0 будет равно 3 — это функция уже не является линейной. [ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА]
