[МУЗЫКА] [МУЗЫКА] Введем понятие линейного подпространства. Может так оказаться, что некоторое подмножество линейного пространства является само линейным пространством. Конечно, с теми же операциями сложения и умножения на число, которое определено в большом пространстве. В этом случае мы будем говорить, что подмножество M линейного пространства L является его линейным подпространством, или просто подпространством линейного пространства. Что удобного и такого хорошего в этом определении? Для того, чтобы доказать, что некоторое множество является линейным пространством, нужно проверить довольно много свойств. Что такое линейное пространство? Во-первых, это группа по сложению, там должно быть определено умножение на число, умножение на число и сложение должны быть согласованы правилами дистрибутивности. Все эти свойства... для того, чтобы доказать, что множество является линейным пространством, все эти свойства нужно проверять. Что упрощается, когда речь идет про линейное подпространство, когда речь идет про подмножество линейного пространства? Мы знаем, что сложение во всем множестве, во всем линейном пространстве устроено так, как нужно нам. Это — группа по сложению. А значит, внутри подмножества тоже не будет никаких случайных неприятностей. Мы знаем, что умножение на число и сложение согласованы. Все правила, необходимые для линейного пространства, выполняются в большом множестве L. Что же нам нужно проверить для подмножества? Или, может быть, ничего не нужно проверять? Может быть, любое подмножество линейного пространства является линейным подпространством? Во-первых, заметим для начала, что это не так. Не любое подмножество линейного пространства является само по себе линейным пространством. Ну конечно, например, множество натуральных чисел — это подмножество множества действительных чисел. Множество действительных чисел является линейным пространством, а множество натуральных чисел не является линейным пространством, там нуля нет, например. А что же нужно для того, чтобы подмножество являлось линейным пространством? Для того, чтобы подмножество было настоящим подпространством линейного пространства? Для этого нужно всего лишь две вещи. Для этого нужно, чтобы операция сложения векторов не выводила за пределы этого подпространства. Если мы сложим два вектора m₁ и m₂, принадлежащих подмножеству М, мы получим элемент, снова принадлежащий подмножеству М. Без этого свойства, конечно, М не будет подпространством. И нам нужно, чтобы умножение на число вектора из подмножества М не выводило за пределы. Если λ — некоторое число, любое число, а m — это вектор из подпространства М, тогда λ * m снова будет лежать в подпространстве М. Все, этого достаточно. Это выглядит даже неправдоподобно. Мы даже не потребовали, чтобы ноль лежал в пространстве М, а мы знаем, что без нуля не бывает никакого линейного пространства. Однако того, что мы сказали, достаточно. Ну давайте посмотрим, например, на ноль. Действительно, возьмем... пусть какой-то вектор m лежит в нашем пространстве М. Возьмем какое-нибудь число. Если мы умножим число на вектор m, мы снова получим элемент пространства М. Давайте возьмем число ноль. Как мы знаем, если мы ноль умножим на любой вектор, получится ноль. Это мы знаем, с одной стороны. Это общее свойство линейных пространств. Это выполняется в пространстве L, в большом пространстве, а значит, и в подмножестве М. С другой стороны, мы потребовали, чтобы умножение на число не выводило за пределы подпространства. Значит, λ * на m опять будет принадлежать подмножеству М. Значит, получившийся ноль тоже лежит в подмножестве М. И это свойство выполняется, в нашем линейном пространстве М, линейном подпространстве есть ноль. Точно так же выполняются и все другие свойства. Определение подпространства выглядит довольно простым, но, как многие простые определения, оно чрезвычайно полезно для нас. Дело вот в чем: про многие большие пространства легко доказать, что они являются линейными пространствами. По крайней мере, это нужно сделать один раз. Пространство всех функций на любом множестве является линейным пространством. Для того, чтобы это доказать, нужно воспользоваться свойствами операций действительных чисел. Мы один раз это сделали. Что после этого нам осталось? Какое бы мы ни взяли подмножество множества функций, какие бы функции мы ни рассмотрели: многочлены, функции, обращающиеся в ноль в точке 5, функции, не обращающиеся в ноль в точке 5, целочисленные функции, тригонометрические, какие угодно. Для того, чтобы доказать, что подмножество множества функций является линейным пространством, или для того, чтобы опровергнуть это утверждение, нужно проверить всего два свойства. Не выводит ли из этого подмножества операция сложения и не выводит ли из этого подмножества операция умножения на число. Очень удобное свойство. Рассмотрим примеры каких-нибудь подпространств. Посмотрим, что это за подпространство, почему это подмножество большого пространства является линейным пространством, и обсудим, конечно, подпространство какого пространства мы рассматриваем. Мы говорили, что многочлены степени 3 не являются линейным пространством. Когда мы складываем два многочлена степени 3, может получиться случайно многочлен степени 2, 1 или даже просто константа, многочлен нулевой степени. Давайте рассмотрим похожее пространство, но немножко другое: многочлены степени не выше трех. Во-первых, мы хотим сказать, что это линейное подпространство какого пространства? Какое естественное линейное... какому естественному линейному пространству принадлежат все вот эти многочлены, степени не выше трех? Например, мы с вами обсуждали, что множество функций, всех функций, например на множестве действительных чисел, является линейным пространством. Многочлены степени не выше трех — это тоже функция. Это довольно редкий вид функции. Не так уж часто среди всех тригонометрических, экспоненциальных, разрывных функций встречаются именно многочлены степени не выше трех. Но все-таки это функция, определенная на множестве всех действительных чисел. Итак, значит многочлены степени не выше трех — подмножество множества всех функций на множестве действительных чисел. Значит для того, чтобы доказать, что это подмножество является линейным пространством, нам достаточно доказать, что и сложение и умножение на число не выводит нас за множество многочленов степени не выше 3, а за все остальное отвечает множество всех функций. Все остальные свойства линейного пространства выполняются, потому что они выполняются для всех функций, для множества всех функций. Множество всех функций является линейным пространством. А мы только доказываем, что многочлены степени не выше 3 являются линейным подпространством. Итак, что именно нам нужно доказать? Во-первых, нам нужно доказать, что если мы сложим два многочлена степени не выше 3, получится снова многочлен степени не выше 3. Ну действительно, это фактически очевидно, если мы складываем... Как складываются многочлены? Складываются коэффициенты при каждой степени. При степени x³... при члене x³, при x², при x и константы складываются. Мы когда сложим, у нас их получится... допустим, мы складываем многочлены a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀, мы к нему прибавляем многочлен b₃x³ + b₂x² + b₁x + b₀. Когда мы сложим два эти многочлена, мы снова получим многочлен. (a₃ + b₃)x³ + (a₂ + b₂)x² + (a₁ + b₁)x + a₀ + b₀. Что мы можем сказать про степень получившегося многочлена? Будет ли степень получившегося многочлена равна 3? О нет, совершенно не обязательно. Если a₃ было равно −b₃, степень многочлена будет меньше. Точно совершенно. a₃ и b₃ сократятся, получится многочлен меньшей степени. Может ли степень этого многочлена стать больше трех? Нет, конечно не может. Мы видим, что там присутствует только x³. x⁴, x⁵ или x¹⁰⁰ взяться совершенно неоткуда. Итак, операция сложения не выводит за пределы множества многочленов степени не выше 3. Как обстоит дело с умножением на число? Давайте умножим число λ на многочлен третьей степени a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀, что получится? Снова получится многочлен. Все коэффициенты этого многочлена умножатся на число λ. Может ли степень при этом повыситься? Нет, повыситься не может. Члену с x⁴, x⁵, x¹⁰ взяться неоткуда, у нас получится λa₃x³ + λa₂x² +... Могла ли понизиться степень? Могла понизиться только в одном случае, если λ было равно нулю. Если мы умножим многочлен третьей степени на 0, получится 0. Это константа, а никакой не многочлен высокой степени. Если мы умножили многочлен третьей степени и вообще не выше 3 на ненулевое число, у нас снова получится многочлен той же самой степени. Итого, мы доказали, что множество многочленов степени не выше 3 является линейным подпространством множества всех функций. А значит, мы доказали, что оно является линейным пространством, и теперь можем пользоваться структурой Линейного пространства для этого нетривиального множества. Являются подпространствами и другие, более сложные примеры, подмножества, множества всех функций. Давайте рассмотрим такие функции, которые обращаются в 0, в какой-то конкретной точке x0. Единственное условие — мы ничего не требуем, пусть они будут разрывны, непрерывны, многочлены, тригонометрические функции, все что угодно, какие угодно сложные функции, единственное требование — пусть эта функция в точке x0 равна 0. Ну и пусть она конечно определена на всем множестве действительных чисел, если мы рассматриваем функцию на множестве действительных чисел. Я хочу сказать, что вот это множество функций снова образует линейное подпространство. Образует линейное подпространство, какого пространства? Пространства всех функций на множестве действительных чисел. Ну действительно, давайте проверим. Что нам нужно проверить? Нужно проверить, что если две функции обладают этим свойством, обращаются в 0 в точке x0, то их сумма тоже обладает этим свойством. И если функция обладает этим свойством, то от того, что мы умножим эту функцию на число — это свойство не пропадет. После того, что мы сказали это вслух, утверждения становятся очевидными. Ну действительно, если f (x0) = 0 и g (x0) = 0, то (f + g) (x0) тоже равно 0. Это как раз и есть f (x0) + g (x0). Значит сложение не выводит из множества тех функций, которые в точке x0 обращаются в 0. Что будет с умножением на число? Ну действительно, если функция f обращается в точке x0 в 0, если f (x0) = 0, то λ * f (x0), конечно, тоже равно нулю. Мы умножаем число λ на 0, снова получился 0. Что происходит в других точках, нас и не интересует. Это подмножество характеризует только значение функции в точке x0. Забавно отметить, что аналогичное свойство, если мы хотим потребовать, чтобы f (x0) = 5, такое множество, конечно, не будет линейным подпространством. Ну это сразу видно, первое же свойство не выполняется. Если f (x0) = 5 и g (x0) = 5, то (f + g) (x0) = 5 + 5 — это 10 и вовсе не 5. Такое подмножество уже не является линейным подпространством. Здесь важно именно значение, что мы рассматриваем именно нулевое значение. Другой пример, который кажется даже еще более сложным. Давайте представим себе, что выполняется какое-то соотношение между производной и самой функцией. Ну не любые соотношения годятся. Давайте рассмотрим функции, которые удовлетворяют такому соотношению. f' (x), производная функции f, = 3 * f (x). То есть мы рассматриваем такие функции, в каждой точке, у которых выполняется свойство. Производная в три раза больше, чем значение функции. Это свойство выглядит каким-то загадочным. Мы вообще не знаем, существует ли хотя бы одна функция, удовлетворяющая такому свойству, хотя, конечно, существует. Является ли множество таких функций линейным пространством? Давайте проверим. Если у нас две функции, f и g, обладают таким свойством, f' (x) = 3f (x) и g' (x) = 3g (x). Что можно сказать про их сумму? Про их сумму сказать все очень просто. Дело в том, что производная суммы равна сумме производных — это все, что нам нужно. (f + g)' будет равно f' + g'. f' + g' — это будет 3f + 3g, а это будет 3 * (f + g). Итого: если это свойство выполняется для функции f и для функции g, оно выполняется и для функции f + g. Оно сохраняется при сложении функций, если операция сложения функции не выводит нас за границы этого множества. А если умножить функцию на число? Сохранится ли это свойство, если мы рассматриваем вместо функции произведение этой функции на какое-то число λ? Ну смотрите, действительно, рассмотрим функцию λf. Если f' (x) = 3f в любой точке, значит λf' чему равно? Производная произведения функции и числа равна произведению числа и производной функции. λf' = λf'. Ну что же, λf' = λf' = λ * 3f = 3 * λf — это свойство продолжает выполняться, если оно выполнялось для функции f, оно выполняется и для функции λf. Это сразу влечет за собой, как мы обсуждали, и что 0 входит в множество этих функций, и, действительно, множество таких функций, удовлетворяющих соотношению f' (x) = 3f является линейным подпространством линейного пространства всех функций. Итак, на сегодняшней лекции, что мы сделали. Мы ввели понятие линейного пространства. Для этого мы определили, что такое группа по сложению, посмотрели, какие множества являются группой по сложению, привели примеры множества, которые не являются группой по сложению. Кроме того, в линейном пространстве мы определили, как должно соотноситься умножение на число и сложение векторов. Мы привели примеры множеств, которые являются линейными пространствами и которые не являются линейными пространствами. Кроме этого, мы доказали простейшие свойства линейных пространств, которые присущи всем линейным пространствам, всем-всем. Мы обсудили, что мы рассматриваем линейные пространства над множеством действительных чисел, и иногда потом будем рассматривать линейные пространства над множеством комплексных чисел. Кроме того, мы ввели понятие подпространства и рассмотрели некоторые примеры подпространств. Некоторые простые примеры сложных подпространств. [ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА]
