0:00
В этой лекции
я хочу рассказать вам о дифференциальных уравнениях,
то есть привести примеры дифференциальных уравнений, что с ними можно делать,
самые элементарные примеры и некоторые простые понятия,
которые к этим дифференциальным уравнениям относятся.
В следующих занятиях мы будем учиться решать их приближённо,
в начале какие-то простые, даже точные решения.
Вместо того, чтобы давать определение
общедифференциального уравнения, я буду показывать пример.
Простейшее дифференциальное уравнение возникает,
если я знаю скорость как функцию времени.
Мне нужно найти пройденный путь.
Это записывается следующим образом.
Итак, пусть у нас частица движется до прямой и вот координата x.
Тогда дифференциальное уравнение, которое описывает это движение, если я знаю
скорость как функцию времени, записывается так: x точка равняется f от t.
Точка обозначает производную по времени,
бывают ещё другие обозначения, например, dx по dt.
Равняется f от t.
Решение этого уравнения вам хорошо известно.
Общее решение выглядит следующим образом.
x является первообразной от функции f от t.
Это можно записать так: x от t равняется интеграл
от нуля до t dτ f от τ плюс какая-то константа.
Чем определяется эта константа?
В отличие от обычных алгебраических выражений чтобы найти однозначное
определённое решение дифференциального уравнения, нужно задать начальное условие.
Проще всего это понять, необходимость начальных условий для такого уравнения,
если представить себе его в таком дискретном виде,
то есть время разбить на...
Давайте ось времени, я нарисую ось времени и разобью его
на бесконечно малые интервалы длинной ε.
В моё время t — это интервал с номером t делить на ε.
Пусть это целое число, для маленького ε это не суть важно.
Тогда дифференциальное уравнение, которое я написал, вот это вот,
оно в сущности является рекуррентной формулой,
что x на n-том шаге равняется x на m в минус
первом шаге плюс ε умножить на f от t n-тое.
Ну или давайте совсем явно.
x m минус первое плюс ε на f ε n.
n или n минус один, не важно, пусть будет ε n.
То есть я нахожу значение x на следующем
шаге по времени через функцию f от t,
мою правую часть, и предыдущее значение.
Ясно, чтобы найти функцию во всех временах,
я должен задать самое первое значение моего x.
Начальную координату моей частицы, иными словами.
Если x — это координата частицы, то я должен задать начальную координату.
Это есть начальное условие, то есть уравнение первого порядка называется.
Почему первого порядка?
Потому что содержит только одну производную,
производную первого порядка от x.
И для того, чтобы однозначно определить решение этого уравнения, мне нужно
задать одно начальное условие, то есть значение x в самый первый момент времени,
[БЕЗ_ЗВУКА] если я желаю знать
x от n там на всех дальнейших временах.
Хорошо, но это уравнение как бы мы его решили, и всё.
Следующее уравнение как бы первого порядка по-прежнему, но более общее, выглядит так.
x с точкой равняется функция времени и x.
Идеологически оно ничего не отличается от этого уравнения.
К слову, давайте запишем его в дискретном виде.
x n-тое равняется x n минус
первое плюс ε f от x n минус первого
ε n.
То есть, двигаясь шаг за шагом,
я получу x везде на своей прямой,
если знаю значение x при t, равном нулю,
или том моменте времени, с которого я стартовала.
Другое дело, что в отличие от уравнения с правой частью, от x не зависящего,
вот это уравнение, уже написать его решение в самом общем случае я не могу.
Как ни странно, даже такие простые дифференциальные уравнения первого
порядка с более-менее произвольной правой частью, как функция t x,
уже общего решения не имеют.
Тем не менее, имеются случаи, когда это решение можно найти явно.
Как можно вообще решать такие уравнения?
Вот если я точно, допустим, решать их не могу,
я могу их решать в виде ряда по времени.
Могу решать приближённо на компьютере, используя такое рекуррентное соотношение,
а аналитически могу решать в виде разложения по времени, оставляя,
скажем, мой x от t в виде ряда Тейлора.
x нулевое плюс a один t плюс,
x нулевое — это значение x при t, равном нулю, если я стартовал с нуля,
плюс a два t в квадрате плюс, и так далее.
Подставляя это разложение в правую часть,
раскладывая функцию f тоже в ряд Тейлора по времени,
я получу своё решение в виде вот такого ряда по времени, ряда по t.
Ясно, что для маленьких t это будет решением задачи, для больших t,
вообще говоря, это решение может быть неудовлетворительно,
потому что я этот ряд могу не просуммировать.
А если мне интересно значение на больших временах, как правило,
именно это нас интересует в физических задачах, то нужны какие-то другие способы.
Давайте пока посмотрим, что мы можем сделать в каких-то частных случаях.
Самое простое, но важно уравнение такого
типа — это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами,
которое выглядит следующим образом.
[БЕЗ_ЗВУКА] x
с точкой равняется γ x.
γ — это некоторая константа.
Вот такое дифференциальное уравнение.
Давайте решим его сначала с помощью дискретизации.
Оказывается, это довольно просто.
Так, запишем рекуррентное соотношение, следующее из этого уравнения.
x n-тое равняется x n минус первое
плюс ε γ x n минус первое,
то есть единица плюс ε γ на x n минус первое.
И тогда мы можем дальше продолжить, но дальше назад по времени.
Равняется один плюс ε γ в квадрате на x n минус второе равно, и так далее.
И в конце концов мы получим один плюс ε γ в степени n,
а n у нас по соответствующей конечному моменту времени
t — это t делить на ε умножить на x нулевое.
Вспоминаем второй замечательный предел.
Это будет e в степени γ t.
Поскольку e в степени γ,
это один плюс ε γ в степени
один на ε, где ε стремится к нулю.
Это бесконечно малое, но это я подразумеваю.
То есть получилось e в степени γ t,
то есть решением этого уравнения является экспонента.
x от t равняется e в степени γ t на x нулевое.
Теперь это же уравнение можно попробовать
решить в виде разложения по времени в виде ряда Тейлора.
Как это делаем?
Как я уже сказал, подставим в левую и правую часть x в виде ряда по времени.
Поставим x от L в таком вот
виде и вычислим производную.
Давайте это я здесь буду писать.
Итак, решаем уравнение, как я уже сказал, x с точкой равняется γ x.
Подставляем разложение ряда Тейлора:
a1 + a2 2t (это дифференцированное t²) +...
ну давайте a3 введем, 3a3t²
+...
= γ (x0 + a1t
+ a2t²
+...
В таком подходе что ищется?
Ищутся коэффициенты разложения a1, a2, a3 и так далее.
Они ищутся приравниванием коэффициентов при совпадающих степенях времени t.
Отсюда мы получаем: a1 = γx0 a2
= γa1 пополам.
То есть: γa1/2
= (γ²/2)x0 a3 =...
точно таким же образом мы
получим a3
= (γ³/2*3)x0
и так далее.
Это означает то, что мы получили.
Фактически, то, что мы сейчас делаем, – мы получили просто разложение
экспоненты в виде
ряда Тейлора.
(1 + γt
+ γ²t²/2
+ γ³t³/3!
+ ...) Решая одно и тоже дифференциальное уравнение двумя способами,
мы получим сначала экспоненциальный вид, и тут же можем из дифференциального
уравнения получить разложение экспоненты в ряд Тейлора.
В каком-то смысле это как бы «задешево»
получаем это самое разложение экспоненты.
Хорошо.
Это простейший пример, но может быть и фундаментальный пример,
потому что γ когда положительная,
как ведет себя решение на больших временах?
Экспоненциальный рост.
Когда γ отрицательная – экспоненциальное затухание до 0 xt.
Это можно в каком-то смысле увидеть прямо из уравнения.
Если γ положительная, возьму x начальный положительный,
это неважно; x с точкой положительно, скорость роста положительна.
На следующем шаге x будет больше, и скорость снова будет больше.
Получается вот такой вот рост.
Ну и, соответственно, если γ отрицательна, рассуждения можно обратить.
Вообще говоря, из этого рассуждения, конечно, не следует то,
что решение существует на всех временах и ничего с ним не происходит.
На самом деле, решение уравнения дифференциального даже такого простого
типа, совсем не обязано существовать на всех временах.
Ну и в следующей части я покажу вам примеры
дифференциальных уравнений, для которых решение не существует на всех временах.
[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА]
Фоминов Яков ВикторовичДоцент
Фейгельман Михаил ВикторовичГлавный научный сотрудник
Колоколов Игорь ВалентиновичПрофессор
Бурмистров Игорь СергеевичПрофессор
Скворцов Михаил АндреевичПрофессор
