[ЗВУК] [ЗВУК]

[ЗВУК] Тема

сегодняшней лекции — ARMA и ARIMA.

На прошлой лекции мы говорили про простые модели AR и MА и выяснили,

что AR-модель — это модель авторегресии, где предполагается некоторая линейная

зависимость между текущими значениями ряда и предыдущими его значениями,

и данная модель позволяет нам даже прогнозировать.

МА-модель — то есть просто скользящее среднее, это некоторые модели,

которые позволяют нам получить, увидеть некоторые тенденции сезонности,

цикличности в нашем ряде, то есть некоторый анализ нашего ряда.

И вполне кажется логичным взять и объединить эти две модели.

Действительно, так было сделано.

Взяли модели AR, MA.

Объединили.

Получили модель ARMA.

Все логично.

Модель ARMA обозначается как ARMA (p, q), где p и q это целые числа,

и p определяет порядок регресии, а q определяет порядок скользящего среднего.

В общем виде ARMA выглядит следующим образом: где a — это параметры модели,

коэффициент авторегресии, β — это параметры модели скользящего среднего,

c — некоторая постоянная, которые обычно принимаются равными нулю для простоты,

и ε от t — это опять же белый шум.

Такая модель может интерпретироваться как линейная модель множественной регрессии,

в которой в качестве объясняющих переменных выступают прошлые значения

самой модели, а в качестве регрессионных остатков — скользящее среднее из элементов

белого шума.

ARMA-модель, конечно, является более сложной по структуре, чем AR и MA-модели,

однако обычно обладает меньшим количеством параметров, что является, конечно,

ее преимуществом.

Минусом ARMA-модели является то, что она применима только для стационарных рядов,

то есть если в нашем ряде есть тренд,

то ARMA-модель в чистом виде использовать нельзя.

То есть применима только вот для таких рядов.

Однако что делать, если у нас есть тренд?

Здесь все просто.

Надо просто перейти к стационарному,

поэтому существует другая модель для таких рядов, которая называется ARIMA.

То есть мы посоветуем решать проблему вот с такими рядами и прогнозировать их.

Что делает ARIMA, чем отличается от ARMA?

На самом деле модель ARIMA — это то же самое, что ARMA,

только рассматриваются здесь приращения.

То есть если мы посмотрим на формулу ARIMA, она выглядит следующим образом,

мы увидим, что она точно такая же, как ARMA,

только здесь у нас уже не сами отклики, а их приращения,

и Δ d здесь — это оператор разности временного ряда порядка d.

То есть представитель d это в среднем по высоте d раз разности первого порядка,

второго, ну и так далее порядков, пока мы не придем к какому-то стационарному ряду.

Посмотрим на примере, как это работает.

У нас был наш исходный ряд по кликам фирмы, и мы видим, что в нем есть тренд,

он явно не является стационарным.

Поэтому нам необходимо перейти к стационарному ряду и взять разности,

то есть приращения.

В итоге видим, что мы сразу после первого (что есть d=1),

после первой высоты разностей переходим к стационарному ряду.

Если у нас нет какого-то другого, то возьмем этот ряд и добавим в него еще один

тренд, и он станет выглядеть следующим образом.

Сделаем первый переход к разностям и увидим, что это не помогло, то есть видим,

что остался тренд.

И снова нельзя прогнозировать с помощью ARMA.

Делаем второй переход и уже опять получаем стационарный ряд,

и дальше мы все уже знаем: берем ARMA и пытаемся как-то описать наш процесс с

помощью ARMA-моделей.

Итого, в наши модели мы всегда закладываем какую-то четкую закономерность,

какую-то структуру наших данных.

Поэтому нам легко прогнозировать, особенно делать долгосрочные прогнозы,

что является несомненным плюсом таких моделей, как ARMA и ARIMA.

Однако из-за того, что мы предполагаем какую-то четкую типизацию наших данных,

возникает ряд проблем.

Во-первых, это оценка параметров.

То есть у нас уже очень много параметров в модели, и когда приходят новые данные,

нам заново надо оценивать эти параметры, и это может быть очень трудоемкой задачей.

Кроме того, из-за того что много параметров, сложно их интерпретировать.

То есть что значит, допустим,

автореверсия четвертого порядка или сглаживание третьего порядка?

Непонятно, не всегда понятно.

Кроме того, если мы предполагаем какую-то четкую структуру,

то вдруг если она меняется, мы переоцениваем нашу модель и все ломается,

то есть модель становится неустойчивой.

И как следствие, проблема контроля.

То есть адекват оценки параметров довольно сложно оценить.

Надо понимать: у нас адекватная, неадекватная модель?

Поэтому в следующий раз мы поговорим об адаптивных моделях,

которые решают часть этих проблем.

2.2. ARMA и ARIMA

Тренды и классификации

Meet the Instructors