Хорошо, давайте примем как данность тот факт,

что не у каждого множества на плоскости, например,

не у каждого подмножества квадрата, можно померить площадь.

Ну, стало быть,

согласно геометрической вероятности не у каждого события есть вероятность.

То есть, если бы ребята, Коля и Вася, договорились встречаться на автобусной

остановке согласно какой-нибудь совершенно замудренной схеме, то есть схеме,

которая приводила бы к тому, что встреча случается не внутри «конфетки»,

которую мы с вами рисовали, а внутри какого-то совершенно ужасающего

подмножества квадрата, площадь которого невозможно померить,

– а мы верим в то, что такие множества существуют, – то получилось бы,

что просто мы не можем корректно определить вероятность.

Скажем так, мы можем ее определить с помощью классической,

но пределы не существуют.

И мы не можем заменить произвольную вот эту вот классическую вероятность,

произвол дробления на 3600 частей или на 10 000, или на 100 000.

Вот не можем этот произвол заменить чем-то вполне определенным, конкретным, сказать,

что этот произвол сходится к одному пределу.

Не получается.

Приходится принять такую ситуацию как данность.

Но тогда что ж получается?

Тогда получается, что внутри квадрата нужно выделить какие-то подмножества,

которые мы уже будем считать событиями, вероятности которых мы способны померить.

И вот тут возникает затравка для определения той самой

аксиоматики Колмогорова, которую я уже произносил.

А именно: вот дано какое-то множество объектов Ω.

В принципе, можете считать, если вам так проще, если это не слишком,

если совсем в общем случае это слишком абстрактно,

считайте, что Ω – это подмножество плоскостей.

Ну, совсем конкретно: пусть Ω – это квадрат.

Давайте особо не заморачиваться.

Но если это даже не квадрат, то это просто какое-то множество объектов.

Вот кому как проще, так и воспринимайте.

Квадрат легче?

Представляйте себе квадрат.

Абстрактное множество Ω?

Представляйте себе абстрактное множество Ω.

В любом случае абстрактное множество в некотором смысле уже ведет себя так же,

как квадрат, и вот именно эту смелость взял на себя Колмогоров в 1933 году,

опубликовав свою эту классическую работу с аксиоматикой.

Он сказал, что любое множество элементарных событий устроено,

по сути, так же, как вот этот пресловутый квадрат в геометрии.

Надо в этом множестве, – давайте назовем его «пространство

элементарных событий», как это у нас всегда и было,

– надо в этом множестве выделить некоторую систему подмножеств,

про которую мы сможем говорить, что, да, вот они – события.

Да, вот они – события.

Вот, давайте назовем эту систему подмножеств, скажем, буквой ƒ (красивая).

И давайте подумаем,

какими минимальными свойствами заведомо должна обладать эта система множеств.

Ну, вы скажете: «Хорошо, если Ω – это квадрат, то понятно,

какие это должны быть множества.

Это просто должны быть множества, у которых мы способны померить площадь».

Ну а если все-таки не квадрат?

А если какая-то более хитрая конструкция?

Давайте пока забудем даже про измеримость, то есть про возможность померить площадь,

посчитать вероятность.

Про вероятность мы поговорим чуть позже,

но что точно должно происходить с этой системой событий?

Ну давайте попробуем понять.

Во-первых, ну, наверное,

мы должны считать следующее: что если есть

два каких-то множества F1, F2, принадлежащих ƒ,

если есть два события, то, конечно,

хотелось бы чтобы их объединение тоже принадлежало ƒ.

Ведь если этого не будет, если это будет не так, как я сейчас написал, то...

Ну что такое объединение?

Объединение – это что либо произошло событие F1,

либо произошло событие F2, правильно?

Это множество тех элементарных исходов,

каждый из которых благоприятствует хотя бы одному из этих событий.

Может быть, F1, может быть, F2, может быть обоим, но хотя бы одному из них.

То есть либо это произошло, либо это, но ни в какой разумной вероятности

не придется говорить ни о чем, если это не будет выполнено.

Конечно, нам нужно предполагать, что «либо-либо» присутствует.

Точно так же, если F1,

F2 принадлежат ƒ, то, наверное, их пересечения должно принадлежать ƒ.

Ведь иначе мы не сможем говорить об одновременном выполнении двух событий.

А пересечение – это как раз одновременное выполнение событий,

это множество тех элементарных исходов, которые благоприятствуют как F1, так и F2.

Дальше...

Ну, наверное, хорошо бы считать,

что если F принадлежит ƒ, то F (с чертой) отрицание события F,

то есть множество Ω минус F тоже принадлежит ƒ красивому.

Мы не сможем говорить ни о какой разумной вероятности в дальнейшем, если не будем

предполагать, что в множестве событий отсутствуют, вообще говоря, отрицания.

Это было бы очень странно.

Событие произошло, значит оно могло и не произойти, иначе о каких событиях мы,

вообще, говорим.

То есть вот такая тоже очень естественная аксиома.

То, чему точно должна подчиняться совокупность ƒ, коль скоро мы считаем,

что эта совокупность состоит из событий, а не из ерунды какой-то.

Так...

Ну, наверное, достоверное событие, то есть Ω должно принадлежать ƒ,

и как следствие из пункта 3, пустое множество тем самым тоже принадлежит ƒ.

Пустое множество как следствие из пункта 3

тоже принадлежит системе событий ƒ.

Знаете, в каком-то смысле это уже практически все.

Но дело в том, что ведь у нас же не конечное теперь пространство.

У нас Ω не состоит теперь из конечного числа элементов, как то было раньше.

Теперь Ω представляет из себя квадрат,

и внутри этого квадрата или в каком-то более сложном,

еще более сложном множестве элементарных исходов, бывают самые разные подмножества.

Их может быть и бесконечно много тоже.

И вот кажется, что вот этих аксиом все-таки чуть-чуть недостаточно.

Хочется еще дополнительно предполагать,

что не только пересечения и объединения двух событий лежат в ƒ,

но что пересечения и объединения счетных множеств событий так же принадлежат ƒ.

Это не следует из пунктов 1, 2, вообще говоря.

Постройте соответствующий пример, это довольно интересно.

То есть хотелось бы потребовать вот что: что если

есть какие-то Fi-тые, принадлежащие ƒ,

занумерованные натуральными числами от 1 до бесконечности,

то объединение Fi-тых и пересечение Fi-тых

по всем i от 1 до бесконечности также принадлежат системе событий ƒ.

Вот это очень важное тоже свойство,

без которого все-таки не получается достаточно богатой системы событий.

Вот это все вместе называется в науке, просто, что б вы знали,

я не хочу сейчас перегружать, но это называется в науке сигма-алгебра событий.

Сигма-алгебра

событий.

Ну, такое вот красивое название – сигма-алгебра.

Вот, воспринимайте это как заклинание, как такую мантру, сигма-алгебра.

Звучит красиво.

Но все свойства очень естественным образом мотивированы.

Правда небольшой дисклеймер, маленькое такое замечание.

Простейший пример сигма-алгебра событий...

Вот звучит страшно – сигма-алгебра.

Куча каких-то свойств, которые должны выполняться.

Простейший пример сигма-алгебра событий вот такой.

Она состоит всего из двух множеств.

Ø (пустого) и всего Ω.

Хе!

Выполнено?

Ну, конечно, если вы будете...

Да и это выполнено.

Если вы будете объединять Ø или пересекать Ø с Ω в любом количестве, у вас и будет

получаться либо Ø, либо Ω, то есть вы за пределы вот этого ƒ красивого не выйдите.

Это тоже вполне себе сигма-алгебра событий.

Отрицание принадлежит.

Ω, Ø принадлежат.

Бывает и такое.

Называется тривиальная сигма-алгебра.

Другой пример.

Когда мы с вами работали то что называется с дискретными ситуациями,

то есть когда у нас были конечные пространства элементарных исходов, ну,

скажем, Ω состоит из ω1,

..., ωn, у каждого из которых просто какая-то своя вероятность.

Это либо классическая, либо схема Бернулли, либо еще что-то более общее,

там, случайный граф какой-нибудь, что хотите.

Вот есть конечное пространство.

Тогда, если вы помните,

мы в качестве сигма-алгебра событий рассматривали просто 2 в степени Ω.

Ну то есть множество всех, вообще, возможных подмножеств множества Ω.

Множество всех подмножеств.

Но там это было естественно и очень просто, потому что у каждого из этих

множеств легко было померить вероятность, просто сложив вероятность элементарных

исходов, которые благоприятствуют выполнению события, состоящего из них.

В общем, все было исключительно просто,

и как-то не хотелось искусственно обеднять множество событий.

Рассматривали просто все возможные подмножества.

Но замечу, и в этой ситуации в качестве сигма-алгебры, в принципе,

можно было взять вот такую вот тривиальную.

Ну, никто, естественно, не берет,

потому что для какой реальной задачи такой выбор здесь смысла не имеет.

Однако, возвращаясь к ситуации, когда мы рассматриваем квадрат или – возможно,

все-таки попробуйте абстрагироваться от квадрата – какие-то более хитрые

вероятностные конструкции, выбор той или иной сигма-алгебра

событий – это опять возможность для реализации разных изначальных замыслов,

как то было, например, в задачке про расческу.

То есть это еще одна степень свободы, если хотите, еще одна

возможность для того, чтобы реализовывать какие-то дополнительные замыслы.

То есть, вот, возможность варьировать сигма-алгебру событий на данном множестве

элементарных исходов – это только хорошо.

Так же точно, как то было хорошо в случае с задачей про расческу или с задачей

о случайной хорде в окружности, с парадоксом Бертрана, так называемым, да.

Колмогоровское определение вероятностного пространства: сигма-алгебра событий

Теория вероятностей для начинающих

Meet the Instructors