День добрый, уважаемые коллеги!

Мы продолжаем разговор о применении

полученных нами раннее обобщенных

уравнениях механики и второго закона Ньютона

к описанию различного рода движений.

И сегодня у нас завершающий эпизод

этого цикла с примерами

использования уравнений механики.

И сегодня я хотел поговорить

об относительно простом, казалось бы,

по сравнению с вращательным движением, например,

или по сравнению с движением

в неинерциальных системах отсчета,

о котором мы говорили в предыдущих эпизодах.

Случае, но очень важном,

который важен в самых разных других

физических ситуациях, к изучению

которых мы перейдем, начиная со следующего модуля.

Я хочу сегодня поговорить

о колебательном движении,

простом одномерном колебательном движении.

Почему этот случай важен?

Во-первых, он очень распространен, любой.

Вот посмотрите на картинку.

Предположим у меня какая-то системка

или объектик движется в поле,

имея потенциальную энергию,

которая, ну вот имеет какую-то

зависимость от координаты х.

Пускай даже эта зависимость

какая-то даже сложная, хитрая,

вот как типа той, показанной на картинке.

Но если у потенциальной энергии

имеются где-то минимумы,

то вблизи минимума —

это уже чистая математика —

я любую функцию могу разложить

в ряд Тейлора,

и первым нетривиальным слагаемым

в этом ряду будет слагаемое квадратичное.

Т. е. любая функция вблизи минимума,

если она гладкая, напоминает параболу.

А если потенциальная энергия

имеет квадратичную зависимость от координаты,

от отклонения от точки минимума,

от положения равновесия,

то производная от квадратичной зависимости

пропорциональна первой степени отклонения,

взятая со знаком минус производная

(минус — направлена против отклонения),

точно так же, как сила,

действующая на груз на пружинке,

если ее растянуть.

Она прямопропорциональна растяжению

отклонения от положения равновесия

и направлена против этого растяжения.

Или сжать, против — сжать.

А пружинка совершает с грузиком

гармонические колебания по гармоническому закону,

описанные тригонометрическими функциями

синуса или косинуса,

можно использовать любую из них,

это одна и та же функция, по сути.

Значит, и любая другая система,

находящаяся в поле с потенциальной энергией,

квадратично зависящей от отклонения

положения равновесия, будет совершать

гармонические колебания.

Возле любого минимума

любой функции зависимости U от x.

Важный случай.

То, что это будут гармонические

колебания легко, очень легко доказать.

Вот запишем, даже не будем

обращаться к уравнениям Лагранжа,

просто сразу второй закон Ньютона.

Решением уравнения,

соответствующего второму закону Ньютона…

Смотрите, слева — вторая производная

функции x от t, справа —

та же самая функция,

взятая со знаком минус.

Т. е. взяв вторую производную от функции,

я должен получить ее саму

с каким-то коэффициентом,

а это свойство как раз синусов и косинусов.

Берешь от него вторую производную,

получается тот же самый синус

или тот же самый косинус

со знаком минус —

то, что нам и надо,

и с каким-то коэффициентом.

Вот основные параметры колебательного движения,

которые просто давайте поименуем:

период, частота, круговая частота, амплитуда.

Вот то, что надо

про колебательные движения знать.

Но все это изучается и в школьном курсе.

Чем интересны еще колебательные движения?

Еще два аспекта я хотел упомянуть.

Первый — в изучении колебательного

движения очень легко учесть

непотенциальные силы.

Я уже много раз говорил,

созданная нами модель обобщенная,

теоретическая, с помощью которой

мы строим уравнения движения,

т. е. уравнения Лагранжа,

предполагает, что силы, действующие

на объекты, так сказать, потенциальны.

Т. е. они определяются

какими-то полями, к которым

можно приписать потенциальную энергию.

Но не всяким силам можно

приписать потенциальную энергию.

Силе трения, например, нельзя.

А трение есть везде.

Его приходится руками вводить просто, вот,

в правую часть уравнения движения;

вставлять, и все получается.

Вот в случае колебания, если я учту,

напишу в правой части уравнения

движения еще одно слагаемое,

прямопропорциональное скорости движения.

Трение тем сильнее, чем больше скорость,

если это не сухое трение

бруска о поверхность, как в школе,

а трение, так сказать вот, объекта,

движущегося в среде.

Это соответствует тому,

что мы знаем экспериментально

об этом явлении.

И направлено против скорости.

То, посмотрите, пожалуйста,

в приложенных к лекциям материалах

подробно, как это решается, выводится.

Это очень красивый математический подход

с использованием комплексных чисел.

Вспомните, кстати, что такое

комплексные числа, но это дома.

Я напишу только результат.

У меня получается зависимость

координаты от времени,

напоминающая гармоническую функцию,

но как бы с постепенно

уменьшающейся амплитудой.

Это называется затухающие колебания.

Вот картинка,

иллюстрирующая эту зависимость.

Есть еще одна очень интересная

и важная особенность у колебательного движения:

система, способная совершать

колебания с определенной частой,

т. е. система, в которой присутствует

потенциальная энергия, параболически зависящая

от отклонения положения равновесия,

очень своеобразно реагирует на

внешнее воздействие, которое тоже

носит периодический характер.

Пример: ребенок раскачивается на качелях

и папа, который ему помогает.

Глупый папа хватает качелину рукой

и начинает ее вот так вот трясти.

Раскачает он ребенка с той частотой,

с которой он трясет? Безусловно.

Дурацкая сила папы, конечно,

пересилит желание самих качелей

качаться с той частотой,

которая свойственна их параметрам:

длине подвеса и ускорению свободного

падания по направлению к Земле.

Ну конечно, папа пересилит.

Папа пересилит, но потратит кучу энергии

и сильно раскачать ребенка не сможет.

Умный папа будет слегка

подталкивать качельку пальчиком

в те моменты, когда она откланяется,

так сказать, например, ближе к нему,

но с частотой, совпадающей с частотой

собственных колебаний качелей.

И раскачает ребенка до такой амплитуды,

что ребенку, может быть, станет страшно.

И тогда папа прекратит это делать.

Это явление называется резонанс.

Амплитуда, до которой

можно раскачать систему,

вкладывая в нее определенную энергию,

зависит от того, как частота

прикладываемого воздействия силы

связана с собственной частотой колебания.

Если она близка к собственной

частоте колебаний, получается

то, что мы называем резонансом.

Истинная частота, на которой

наблюдается максимум амплитуды,

до которой можно раскачать систему,

чуть-чуть отличается от собственной

частоты колебаний, и это отличие тем больше,

чем сильнее сила трения.

Если сила трения очень большая,

резонанса вообще не будет.

Если она маленькая, резонанс будет.

Вот про эти особенности

колебательного движения я рассказал.

Понятие колебательного движения

нам потребуется сразу же в следующей лекции.

А следующий модуль наших лекций —

мы от механики начинаем переходить

к другим физическим явлениям:

к теплоте, к температуре.

Казалось бы, как далеко это от механики.

Огонь, нагревание, теплое, холодное —

какое отношение это имеет к движению,

описываемому координатами? Самое прямое.

Проект физика продолжает действовать.

Что-то узнав, мы продолжаем

пробиваться в другие области.

Продолжим в следующий раз.

Внимательно посмотрите

приложенные к лекциям материалы.

Повторите все, что мы делали.

Проделайте все выкладки,

которые в разных лекциях были опущены,

с помощью этих вспомогательных материалов.

Это и будет вашей подготовкой к следующему модулю.

До встречи! До свидания!

Механика колебательных систем

Физика как глобальный проект

Meet the Instructors