Об этом курсе
7,759

100% онлайн

Начните сейчас и учитесь по собственному графику.

Гибкие сроки

Назначьте сроки сдачи в соответствии со своим графиком.

Прибл. 44 часа на выполнение

Предполагаемая нагрузка: 4-6 hours/week...

Русский

Субтитры: Русский

100% онлайн

Начните сейчас и учитесь по собственному графику.

Гибкие сроки

Назначьте сроки сдачи в соответствии со своим графиком.

Прибл. 44 часа на выполнение

Предполагаемая нагрузка: 4-6 hours/week...

Русский

Субтитры: Русский

Программа курса: что вы изучите

Неделя
1
4 ч. на завершение

Основные принципы комбинаторики

Основные принципы комбинаторики. Правило сложения. Правило умножения. Принцип Дирихле. Пример применения принципа Дирихле. Теорема о раскраске множества в два цвета. Мощности множества попарно неортогональных {-1,0,1}-векторов : верхняя и нижняя оценки. Числа сочетаний, размещений и перестановок....
20 видео ((всего 106 мин.)), 12 материалов для самостоятельного изучения, 3 тестов
20 видео
МФТИ1мин
Правила сложения и умножения2мин
Пример на правило умножения1мин
Принцип Дирихле2мин
Пример с квадратом2мин
Последовательности векторов. Постановка задачи8мин
Последовательности векторов. Доказательство утверждения10мин
Шестизначные числа5мин
Первокурсники в кинотеатре4мин
Числа сочетаний, размещений и перестановок. Определения.11мин
Теоремы о числе размещений с повторениями и без4мин
Количество сочетаний без повторений3мин
Количество сочетаний с повторениями8мин
Дежурство в столовой2мин
Карты из колоды5мин
Тома Пушкина на книжной полке9мин
Теорема о раскраске множества в два цвета. Формулировка утверждения (*)3мин
Теорема о раскраске множества в два цвета. Доказательство утверждения (*)7мин
Теорема о раскраске множества в два цвета. Общая проблема (*)8мин
12 материала для самостоятельного изучения
Программа и расписание курса10мин
Список литературы10мин
Правила аттестаций10мин
Правила поведения на форуме10мин
МФТИ10мин
Условия задач10мин
Конспект10мин
Решение задач10мин
Конспект10мин
Условия задач.10мин
Условия и решения задач10мин
Решения задач10мин
3 практического упражнения
Тест к неделе 112мин
Задачи к неделе 18мин
Дополнительные задачи10мин
Неделя
2
4 ч. на завершение

Комбинаторные тождества

Бином Ньютона. Полиномиальная формула. Формула включений и исключений. Простейшие тождества. Треугольник Паскаля. Сумма биномиальных и полиномиальных коэффициентов. Сумма квадратов биномиальных коффициентов. Формулы для суммы степеней натуральных чисел. Знакопеременное тождество....
17 видео ((всего 134 мин.)), 7 материалов для самостоятельного изучения, 3 тестов
17 видео
Полиномиальная формула9мин
Задачи и студенты5мин
Фигуры на шахматной доске4мин
Формулировка утверждения14мин
Научно-исследовательский институт9мин
Книги на полке9мин
Комбинаторные тождества 1-2. Треугольник Паскаля7мин
Комбинаторные тождества 3-46мин
Комбинаторное тождество 55мин
Комбинаторное тождество 66мин
Сумма степеней натуральных чисел7мин
Комбинаторные тождества 7-89мин
Сумма биномиальных коэффициентов с чётными показателями3мин
Вычисление хитрой суммы биномиальных коэффициентов7мин
База и предположение индукции(*).4мин
Переход индукции (*)14мин
7 материала для самостоятельного изучения
Конспекты10мин
Условия задач10мин
Условия задач10мин
Конспект10мин
Конспект10мин
Условия задач10мин
Решения задач10мин
3 практического упражнения
Тест к неделе 212мин
Задачи к неделе 28мин
Дополнительные задачи10мин
Неделя
3
3 ч. на завершение

Формула обращения Мёбиуса

Формула для количества ‘слов’. Определение циклической последовательности. Формулировка проблемы. Простое число. Бесконечность простых. Основная теорема арифметики. Функция Мебиуса. Суммы по делителям. Формула обращения Мебиуса. ...
16 видео ((всего 83 мин.)), 7 материалов для самостоятельного изучения, 2 тестов
16 видео
Простые числа3мин
Основная теорема арифметики2мин
Исторический анекдот(**)9мин
Количество циклических последовательностей длины 22мин
Существование разложение в произведение простых чисел (**)3мин
Вспомогательное утверждение для основной теоремы арифметики(**)9мин
Доказательство единственности разложения в произведения простых (**)5мин
Функция Мёбиуса3мин
Сумма по делителям числа2мин
Сумма функции Мебиуса по делителям числа10мин
Формула обращения Мебиуса. Формулировка3мин
Формула обращения Мебиуса. Доказательство10мин
Пример применения формулы обращения Мёбиуса -14мин
Пример применения формулы обращения Мёбиуса - 21мин
Пример применения формулы обращения Мёбиуса -31мин
7 материала для самостоятельного изучения
Условия задач10мин
Конспект10мин
Условия и решения задач10мин
Условия задач10мин
Конспект10мин
Условия и решения задач10мин
Решения контрольной работы10мин
2 практического упражнения
Тест к неделе 312мин
Задачи к неделе 38мин
Неделя
4
4 ч. на завершение

Циклические последовательности

Вывод формулы для количества циклических последовательностей. Частично упорядоченное множество. Обобщенная функция Мебиуса. Связь с обычной функцией Мебиуса. Теорема об формуле обращения Мебиуса на ч.у.м. Передоказательство формулы включений и исключений (часть 1) (*). ...
19 видео ((всего 122 мин.)), 8 материалов для самостоятельного изучения, 3 тестов
19 видео
Период линейной последовательности2мин
Биекция между множествами последовательностей одного периода5мин
Количество линейных последовательностей4мин
Количество циклических последовательностей длины n и периода n7мин
Количество циклических последовательностей3мин
Пример вычисления количества циклических последовательностей12мин
Пример вычисления количества циклических последовательностей -217мин
Частично упорядоченное множество2мин
4.8. Функция Мебиуса для ЧУМа3мин
4.9. Связь с обычной функцией Мебиуса3мин
4.10 Совпадение функций Мебиуса для произведения различных простых чисел7мин
4.11 Совпадение функций Мебиуса для остальных чисел2мин
4.12 Формула обращения Мебиуса на ЧУМе7мин
Семинар. Задача 4.35мин
Семинар. Задача 4.46мин
4.13 Определение множества.(*)5мин
4.14 Определение частичного порядка (*)5мин
4.15 Функция Мёбиуса (*).14мин
8 материала для самостоятельного изучения
Условия задач10мин
Конспект10мин
Решения задач10мин
Условия задач10мин
Конспект10мин
Условия и решения задач10мин
Решения задач недели 4.10мин
Конспект10мин
3 практического упражнения
Тест к неделе 412мин
Задачи к неделе 48мин
Дополнительные задачи12мин
Неделя
5
3 ч. на завершение

Разбиения

Разбиения чисел на слагемые. Упорядоченные и неупорядоченные разбиения. Формула для числа упорядоченных разбиений. Рекуррентное соотношение для числа неупорядоченных разбиений. Формула Харди-Рамануджана. Диаграмма Юнга. Теоремы Эйлера о равенстве количеств неупорядоченных разбиений. Передоказательство формулы включений и исключений (часть 2) (*)....
14 видео ((всего 94 мин.)), 8 материалов для самостоятельного изучения, 2 тестов
14 видео
5.2 "Карнавальная" формулировка задач о разбиениях (**)8мин
5.3. Задача о "попойке"7мин
5.4 Задача о "капусте"6мин
5.5 Формула Харди-Рамануджана (*), (**)10мин
Семинар. Задача 5.19мин
5.6 Диаграмма Юнга3мин
5.7. Теоремы о количестве неупорядоченных разбиений.4мин
5.8 Двойственная диаграмма Юнга1мин
Семинар. Задача 5.211мин
Семинар. Задача 5.34мин
Семинар. Задача 5.48мин
5.9 Обобщенная формула обращения Мебиуса (*)7мин
5.10 Вывод формулы включений и исключений(*).7мин
8 материала для самостоятельного изучения
Условие задач10мин
Конспект10мин
Решения задач10мин
Условия задач10мин
Конспект10мин
Условия и решения задач10мин
Конспект10мин
Решения задач 5 недели10мин
2 практического упражнения
Тест к неделе 512мин
Задачи к неделе 58мин
Неделя
6
3 ч. на завершение

Линейные рекуррентные соотношения. Формальные степенные ряды.

Линейные рекуррентные соотношения. Числа Фибоначчи. Теорема о решении линейного рекуррентного соотношения второго порядка. Формальные степенные ряды. Операции над рядами. Пример “деления в столбик”....
17 видео ((всего 113 мин.)), 7 материалов для самостоятельного изучения, 2 тестов
17 видео
6.2 Числа Фибоначчи1мин
6.3 Линейные рекуррентные соотношения второго порядка. Характеристическое уравнение4мин
6.4 Линейные рекуррентные соотношения второго порядка. Теорема 1. Формулировка3мин
6.5 Линейные рекуррентные соотношения 2 порядка. Теорема 1. Пункт 1. Доказательство4мин
6.6 Линейные рекуррентные соотношения 2 порядка. Теорема 1. Пункт 2. Доказательство5мин
6.7 Линейные рекуррентные соотношения 2 порядка. Теорема 21мин
6.8 Линейные рекуррентные соотношения k порядка (*)16мин
Семинар. Задача 6.18мин
Семинар. Задача 6.25мин
Семинар. Задача 6.35мин
Семинар. Задача 6.49мин
6.9 Формальные степенные ряды8мин
6.10 Деление степенных рядов5мин
6.11 Вывод комбинаторного тождества при помощи формальных степенных рядов7мин
Семинар. Задача 6.58мин
Семинар. Задача 6.611мин
7 материала для самостоятельного изучения
Условия задач10мин
Конспект10мин
Условия и решения задач10мин
Условия задач10мин
Конспект10мин
Условия и решения задач10мин
Решения задач недели 610мин
2 практического упражнения
Тест к неделе 612мин
Задачи к неделе 68мин
Неделя
7
4 ч. на завершение

Производящие функции

Производящие функции. Теорема о сходимости степенных рядов (б/д). Примеры, иллюстрирующие теоремы. Сходимость на границе интервала. Числа Фибоначчи и их производящая функция. Суммы чисел Фибоначчи, чисел сочетания и пр. Числа Каталана. Извлечение корней из степенных рядов. Формула для числа Каталана: д-во через производящие функции....
18 видео ((всего 123 мин.)), 7 материалов для самостоятельного изучения, 2 тестов
18 видео
7.2 Теорема о сходимости рядов3мин
7.3 Примеры, иллюстрирующие теорему6мин
7.4 Сходимость на границе круга (*)4мин
7.5 Пример вычисления производящей функции6мин
Семинар. Задача 7.113мин
Семинар. Задача 7.28мин
Семинар. Задача 7.34мин
Семинар. Задача 7.43мин
7.6 Пример с числами Фибоначчи6мин
7.7 Производящая функция чисел Фибоначчи8мин
7.8 Числа Каталана2мин
7.9 Производящая функция чисел Каталана5мин
7.10 Извлечение корня из формального степенного ряда6мин
7.11 Формула для чисел Каталана9мин
Семинар. Задача 7.56мин
Семинар. Задача 7.67мин
Семинар. Задача 7.712мин
7 материала для самостоятельного изучения
Условия задач10мин
Конспект10мин
Решения задач10мин
Условия задач10мин
Конспект10мин
Условия и решения задач10мин
Решения задач недели 710мин
2 практического упражнения
Тест к неделе 712мин
Задачи к неделе 78мин
Неделя
8
20 минуты на завершение

Экзамен

Экзамен....
2 тестов
2 практического упражнения
Экзаменационный тест12мин
Экзаменационные задачи8мин
4.9
Рецензии: 33Chevron Right

Лучшие рецензии

автор: SBMar 22nd 2016

Замечательный курс от замечательных преподавателей. Везде есть место катарсису. Материал достаточно сложный. Над некоторыми задачами придется серьезно поломать голову.

автор: VANov 15th 2015

Отличный курс, хотя часть его я и проходил в университете. Все объяснения достаточно понятны, задачи не совсем тривиальны, что делает его интересным

Преподаватели

Avatar

Андрей Райгородский

профессор, доктор физико-математических наук
кафедра дискретной математики МФТИ
Avatar

Дмитрий Ильинский

преподаватель
кафедра дискретной математики МФТИ

О Московский физико-технический институт

Московский физико-технический институт (неофициально известный как МФТИ или Физтех) является одним из самых престижных в мире учебных и научно-исследовательских институтов. Он готовит высококвалифицированных специалистов в области теоретической и прикладной физики, прикладной математики, информатики, биотехнологии и смежных дисциплин. Физтех был основан в 1951 году Нобелевской премии лауреатами Петром Капицей, Николаем Семеновым, Львом Ландау и Сергеем Христиановичем. Основой образования в МФТИ является уникальная «система Физтеха»: кропотливое воспитание и отбор самых талантливых абитуриентов, фундаментальное образование высшего класса и раннее вовлечение студентов в реальную научно-исследовательскую работу. Среди выпускников МФТИ есть Нобелевские лауреаты, основатели всемирно известных компаний, известные космонавты, изобретатели, инженеры....

Часто задаваемые вопросы

  • Зарегистрировавшись на сертификацию, вы получите доступ ко всем видео, тестам и заданиям по программированию (если они предусмотрены). Задания по взаимной оценке сокурсниками можно сдавать и проверять только после начала сессии. Если вы проходите курс без оплаты, некоторые задания могут быть недоступны.

  • Оплатив сертификацию, вы получите доступ ко всем материалам курса, включая оцениваемые задания. После успешного прохождения курса на странице ваших достижений появится электронный сертификат. Оттуда его можно распечатать или прикрепить к профилю LinkedIn. Просто ознакомиться с содержанием курса можно бесплатно.

Остались вопросы? Посетите Центр поддержки учащихся.