Введение в механику деформируемого твёрдого тела (Introduction to the mechanics of deformable solids)

Этот краткий курс создан на основе лекций чл.-корр. РАН, проф. Ю.В.Петрова, которые читаются им на математико-механическом факультете СПбГУ для студентов старших курсов, желающих продолжить учебу в аспирантуре и подготовиться к соответствующим вступительным экзаменам. В курсе не ставится задача систематического изложения механики сплошной среды. Основная идея - помочь разобраться в ряде ключевых начальных понятий механики континуума, освоение которых зачастую вызывает у учащихся затруднения.

Основными объектами, которые используются для описания формоизменения и силового взаимодействия в механике сплошных сред, являются тензоры деформации и напряжений. Обычно введение этих тензоров деформации Грина и Альманси связано с рассмотрением координатных систем отсчёта Эйлера и Лагранжа. Очень часто студенты ошибочно полагают, что эти тензоры являются одним и тем же тензором деформации, записанным в разных системах координат. Ещё более запутанная ситуация возникает с тензорами напряжений Пиола, Кирхгофа и тензором истинных напряжений. В данном курсе мы попробуем разобраться в этом вопросе, используя достаточно нестандартный подход, в котором будет чётко определены различия между всеми вышеперечисленными тензорами деформации и напряжений. Также обсудим, в каких ситуациях удобнее решать задачи теории упругости с помощью записи основных соотношений в терминах того или иного тензора деформации и напряжений. Кроме того, будут рассмотрены основные постановки задач теории упругости в напряжениях и перемещениях, и будут исследованы простейшие частные случаи для этих задач. На примере некоторых из них будет показано единство основополагающих принципов природы, распространяющихся на различные области механики и физики. Курс состоит из 13 уроков. Урок 1-4 посвящен элементам тензорной алгебры и геометрическому описанию деформации сплошных сред. Определяются тензоры деформации Грина и Альманзи, обсуждается их геометрический смысл. В последующих трёх уроках 5-7 приводятся различные способы описания напряжённого состояния в сплошных средах. Показываются отличия и особенности тензоров истинных напряжения, Пиола и Кирхгоффа друг от друга. В уроках 8-10 даются эмпирическое и энергетическое определения упругих сред и обсуждается постановка задачи механики для них в терминах поля перемещений. В уроках 11-13 показывается, как могут выглядеть основные уравнения механики сплошных сред в частных случаях. Также обсуждается единообразие принципов законов природы, описывающих совершенно разные физические явления.