各位同學，這個禮拜呢最後我們來用這一個例子來結束我們這個禮拜剪力圖跟彎矩圖的介紹，

現在呢你有沒有辦法很快地用我們所謂的作圖法來把這一根梁它的剪力圖跟彎矩圖畫出來呢？

好，首先當我們要做這樣的一個題目的時候第一件事情我們可以有感覺的就是你有沒有辦法判斷

這根梁是一個靜定梁，還是靜不定梁？ Okay，那你會怎麼樣來判斷

呢？等到以後你們如果在學到結構學的時候，那結構學會有教你們一些用公式來判斷的一個方法。

那我在這邊跟大家講一下，就是其實你可以很快就知道這是一個靜定梁，還是靜不定梁？

我們平常例如說

最基本的一個

像一個hinge，一個roller，這大家知道這是一個靜定梁，對不對？

那在這邊，你看除了這個靜定，除了這邊一個hinge，一個roller之外呢，這邊還多了一個

一個roller，所以很明顯它除了原本的

三個未知數，讓我們可以用三個力平衡式就可以解出來之外呢

它又多了一個未知數，所以這個是一個一度靜不定，這個我下面畫

的這個梁是一個一度靜不定的梁，那這個梁跟上面這個梁有什麼不一樣呢？有什麼不一樣？你會發覺它中間多了一個腳，

中間多了一個hinge在這邊，那這個hinge呢，在我們剛畫的這個裏面是沒有的，好，那這個東西告訴我們什麼？

告訴我們在那一個位置，它的切開的時候的內力是不會有任何彎矩的

因為它是一個hinge在那邊，所以一旦那邊有彎矩，它就開始不平衡就會動了所以那一個地方的hinge，hinge那個地方的moment我知道一定是0的

好，那如果說這根梁是一度靜不定，那你看我把它從這邊切開

[聲音] 這邊會有幾個未知數產生呢？

這邊會有剪力，對不對，會有一對剪力，會有軸力，

然後會有，還會有彎矩，所以這邊有三個

未知數，對不對？但是在這一根梁裏面我如果把它從這邊切開，

那邊會有幾個內力跑出來？只有剪力

跟軸力兩個，少了一個彎矩，因為彎矩我們已經知道是0，所以也就是說

在這邊它等於可以比這邊再少掉一個未知數，所以如果說這一個是

一度靜不定的話，那你很放心的可以知道說這一個就會比它的未知數再少一個

所以這個呢就是一個靜定的一個結構。

所以呢例如說，

像這樣子我們知道是一個靜定的結構，對不對？如果在這邊加一個roller，那它就變成一個

一度靜不定，那如果中間再給它塞一個 hinge，那這個就變成一個

又變回一個靜定的結構，okay，所以這樣子你也不需要借由什麼公式

你很快的都可以去判斷說這個結構大概是幾度的一個靜不定，okay，好，好

所以我們現在知道說這是一個靜定結構，我只要借由

力平衡就可以把它所有的剪力圖、彎矩圖都畫出來，okay，所以我們開始

用我們剛剛介紹的一個作圖法來看看這個梁的一個剪力圖跟彎矩圖要怎麼做。

那作圖法第一步大家還記得是什麼嗎？它跟我們用力平衡法是一樣的就是你要先把反力都解出來。

好，所以在這一個裏面呢原本

應該是這邊這個hinge呢要有兩個這個反力，但我們觀察這一個圖

所有的力量的方向都是在y方向，所以呢x方向我們其實就可以不用列它了，因為summation F(x)要等於0

只有這個地方會有可能產生這個 x方向，只有這個，只有這個RB這邊，這個

hinge的地方，這個腳支撐的地方呢，會產生一個x方向的反力，所以那個反力一定是0。

所以我們就是畫這三個，這三個未知數，好，所以我們現在總共有這三個反力是未知數

然後P跟Q這兩個外力是一致，我們現在任務就是要先把 RB、

RC、 RE這三個反力把它找出來，那我們可以用的工具呢就包含了

summation F(y)=0，所以我們可以寫出這一個。

再來是我們對F點取一個summation

M=0，那為什麼F點？因為這樣我可以把這個均佈外力視成一個集中載重作用在F

上面去列式，這樣這個q就不見了，就讓我們的式子變得單純一點。

Okay，好，但是你看我們已經用了summation F(y)=0跟summation M=0

那我們說有三個未知數，所以我們需要三條式子那通常我們是用summation

F(x)=0，summation F(y)=0跟summation M=0，但是summation F(x)我們說，因為我們其實已經把它用掉了，拿來

拿來說這個B點這邊的這個水平的反力是0。

好，那這樣子好像還缺一個怎麼辦，不要忘了這邊有一個hinge，對不對？所以它其實，一定還多藏了力平衡，還會多藏了一條式子我們可以用。

我們就把它從這邊切開，把它從這邊切開之後，大家來看就是分離體就變成這樣。

那這個VD的這個東西呢就是我們旁邊這個ABCD這個

結構物作用在DE這個結構上面的，這個方向是我自己先隨便假設的，

但是你一旦假設好了，你就要根據你的假設去列式。

Okay，那其實你如果注意到的話，我都是以正方向來假設

當我把那一點切開的時候，剪力為正的方向應該是怎樣？所以對這個DE來講它其實就會是這樣子的方向，

但是你完全是可以假設成相反的方向，但是我的建議會是你把它假設成正方向

好，那我們就根據這一個分離體，你對D點取

那個彎矩為0，然後你就可以得到第三條式子那從這三條式子，你就可以解出RB、

RC、 RE三個反力，當你把反力都解出來之後，這個問題就

會變得很單純，你就可以很快地用作圖法來做了，我們來看一下

好，一開始的時候，我們先畫剪力圖，剪力圖畫完再來畫彎矩圖。

從x等於0的地方開始，有一個往上推P的一個外力，所以我的剪力圖就是被往上推了P。

好，x開始往右邊走，什麼都沒有，所以我的

剪力圖就是維持平的，誒，到了這一點的時候呢，被往下推了2P+qL

我就往下掉2P+qL，所以就變成是一個那個

-P-qL，或者是說P+qL然後是在負的那一邊

然後到了這一點呢，又被上推了P+2qL，所以它從這邊被上推

P+2qL，所以就只剩下qL，然後一直走到這個鉸接點

的地方都還是平的，接下來呢就被這個q呢開始一直往下敲就開始被它往下打，所以你的V圖就開始往下，然後

以斜率是q的這樣子的，斜率是負q這樣子的一個斜率呢，開始被往下這樣子打下去

那這一段，因為這一段長度是2L，所以你總共就是要從qL呢往下再掉

斜率q乘上長度2L，往下掉2qL，所以你最後就會停在負的

qL的地方，然後這時候最後端點這邊又有一個qL把你往上推回0的地方。

Okay，所以很快的，你看我根本就不需要做任何力平衡就，這個剪力圖就畫完了，而且一定不會錯。

好，那再來呢，我就來根據我的V呢再去畫我的M，

所以我的M圖呢，因為這邊是一個

鉸接端，然後沒有集中的一個彎矩作用，所以它的彎矩一定是0，所以我的

M圖就是從0開始，然後要，我要往上走還是往下走呢，我的斜率是多少，就來看我的剪力圖。

好，我的剪力圖在一開始的地方，剪力是一個constant，而且都是P，就表示這一段

裏面我的彎矩圖的斜率都必須要是正P，所以我當然就是往右上

這樣子斜率是P這樣來走，然後走了一個L長度，因為這一段是L

所以它就會到達PL，然後之後呢斜率就要變成負的P+qL

就是負P減掉qL的這個斜率，然後要再走一段L，所以你就

就是以同一個斜率再走這一個再乘上L，要往下掉那麼多，所以這PL就

整個會被吃掉，然後產生一個負，一直走到負qL平方的部分，就是這個。

然後呢之後又是維持一段等斜率qL的一個，但是是正的，所以從，到這一點之後呢你就開始往上跑，

然後要跑多少，就是qL為斜率然後再乘上L，

往上要跑qL平方，所以它就從負qL平方到0的部分。

然後再來就是一個變斜率的狀況了，斜率剛開始還是正的哦，

所以它過這一點之後呢，它還是正的，那正的斜率所以你就是

這樣子，但是它這個斜率會越來越小越來越小，到這一點的時候呢到這一點

斜率必須要是0，因為剪力圖就是彎矩圖的斜率值，對不對？

所以這一點的地方斜率是0，然後這邊呢斜率是越來越小，越變越小，所以它

圖畫出來就是一個二次曲線，然後過了這邊之後，過了這點之後，斜率開始變成負的，而且負的越來越大，

所以就會畫成一個這樣子的圖，那你知道因為這一點的彎矩也是0，所以其實你已經知道結束要結束在哪裡，所以你就

用一個二次曲線把它連起來就好，那這一點到底是多大，你可能就是會比較

沒有辦法從作圖法裏面去判定，那這時候沒關係，你知道它的這個最大值一定是發生在這邊

就是斜率為0的地方，那這一段是L對不對，你這個時候再去從這邊給它切開

然後你用這一塊的自由體，去把那個切開之後的彎矩到底要多大去把它算一下

那很快你就會算出來是二分之一qL平方好，那所以

這時候你再來看這一點，因為我們事先已經知道這一點的彎矩一定要是0

所以你畫完之後，你回來稍微檢查一下，果然彎矩在那一點真的是0

所以這時候你就可以安心說結果應該是不會有太大的問題。

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4-6 範例

材料力學一 (Mechanics of Materials I)

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