Итак, занимают ли дроби всю прямую?

Пифагорейцы считали, что занимают.

Пифагорейцы полагали, что никаких чисел, кроме дробных, не существует.

И соответственно, давайте введём некоторые обозначения,

чтобы в дальнейшем нам пользоваться

таким общепринятым математическим языком.

Натуральные числа обозначаются вот такой буковкой

и состоят из неотрицательны целых 0, 1, 2, 3 и так далее.

Целые числа, соответственно — это натуральные

и все отражённые в левую часть натуральные

со знаком минус, то есть 1, −1, 2, −2, 3, −3 и так далее.

И ноль посередине.

Все дроби математики

называют специальным термином — «рациональные числа».

То есть обычный человек говорит «дробь»,

а математик говорит «рациональное число».

Что такое рациональные числа? Это множество всех

вот таких вот отношений, то есть когда мы делим

одно целое число на другое.

При этом нижнее число можно считать положительным. Почему? Ну просто

потому что если нижнее число отрицательное,

то давайте домножим его на −1, и верхнее тоже домножим на -1.

Дробь не изменится от домножения числителя и

знаменателя на любое число, в том числе и на −1,

но при этом знаменатель станет положительным.

Ну и такая удобная договоренность состоит в том, что дроби записываются

целое число — сверху

и положительное число — снизу.

Так вот, к сожалению, это не все числа,

а может быть, и к счастью, потому что иначе математика бы

не была бы такой интересной.

И на вещественной прямой можно указать точку,

которая не является дробью ни при каких m и n.

Что же это за точка? Нарисуем квадрат,

у которого сторона равна 1, то есть вот этой длине.

И выделим его диагональ.

Давайте попробуем найти длину этой диагонали,

пользуясь одной хорошо известной теоремой,

а именно теоремой Пифагора.

Рассмотрим вот этот треугольник — он прямоугольный.

И мы хотим найти вот эту сторону x, то есть длину диагонали.

Мы хотим найти гипотенузу у этого треугольника с равными катетами.

Тогда по теореме Пифагора квадрат гипотенузы

равен сумме квардатов катетов.

Но так как каждый из катетов равен по длине единице, то 1²

— это тоже один, и здесь сумма равна двум.

То есть, иными словами,

квадрат гипотенузы равен двум, или, как говорят математики,

прямо по определению, что это означает?

Что длина гипотенузы равна корню из двух.

Теперь давайте её возьмем вот так вот и перенесём сюда,

так чтобы, например, левая нижняя вершина попала в ноль, а дальше

уже куда попадёт вот эта вершина — это уже как получится,

мы её параллельно сюда перенесём, повернем немножко.

Ну и вот будет какая-то здесь засечка такая,

если мы циркулем, например, вот это вот расстояние захватим

и отложим вот так на обычной прямой.

Вот на этой прямой и живёт корень из двух.

Понятно, что он живёт между единицей и двойкой, потому что 1² < 2

а 2² = 4, то есть > 2. А значит, корень из двух — где-то между 1 и 2.

Утверждается, что это число

не является отношением двух целых чисел.

Такая вот теорема.

ни при каких

целых m и n

не выполнено точное равенство,

точное равенство

√2 = m / n.

Вот такая теорема.

Есть некоторая легенда, состоящая в том,

что её доказал один из участников Пифагорейского семинара.

И он пришёл на этот семинар, объявил всем,

что найдено число, не являющееся дробью,

привёл точное формальное доказательство этого утверждения.

Семинар прошёл в гробовой тишине.

Согласно легенде пифагорейцы настолько испугались этого факта,

что договорились никому о нём не рассказывать,

а автора утопили в реке.

Человек был убит за корень из двух,

казнён за то, что он, может быть,

самый большой прорыв вообще во всей математике сделал

на заре её становления.

Мы с вами это утверждение строго докажем. У этого утверждения

огромное количество доказательств, и даже мы с вами разберём два из них.

Все доказательства очень красивые. Это, можно сказать,

такой цветник математики — доказательство того,

что корень из двух не представляется в виде дроби.

Мы начнем с некоторого геометрического рассуждения, а потом

проведем чисто арифметическое доказательство того же

самого утверждения, что корень из двух — это новое число,

поэтому далеко не всё на нашей вещественной прямой

покрывается дробями, и надо проводить

дальнейшие исследования, какие же ещё вещественные числа существуют.

Рациональные числа и корень из двух

Математика для всех

Meet the Instructors