Курс состоит из нескольких жизненных сюжетов, каждый из которых разбирается "по косточкам" и, как выясняется, содержит внутри себя нетривиальное математическое ядро. Это ядро далее также бьётся на "элементарные частицы" - так, что у слушателей возникает понимание всех глубинных механизмов рассматриваемой ситуации.
Сюжеты сгруппированы по смыслу: каждая группа сюжетов вращается вокруг одной и той же основополагающей математической идеи. Таких идей всего пять: инвариант, шаг через бесконечность, непрерывность физических процессов, самоподобие природы и нашего её восприятия, и, наконец, алгебраическая природа различных чисел.
Курс предназначен для всех, кто хочет лучше представлять себе тот мир, в котором мы живём. Не имея никаких предварительных знаний, слушатели будут введены в курс дела: какая техника используется в математике ("абсолютное доказательство" как главное отличие математического знания от любого иного) и как строить рассуждения.
Вскоре выйдет вторая часть, "Математика для энтузиастов", которую нужно будет уже изучать "с листочком бумаги и ручкой в руках". В ней встретится более нетривиальный материал, в том числе "приводные ремни" современной математики - "группы" и "поля". Кроме того, будут вскрыты весьма нетривиальные подоплёки многих школьных задач.
Курс состоит из 6 недель и 6 контрольных работ по окончании каждой недели. Для успешного прохождения курса необходимо успешно преодолеть все 6 испытаний.
From the lesson
Числа
На шестой неделе вы узнаете, какими бывают числа, и чем они замечательны.
Доктор физико-математических наук Кафедра дискретной математики МФТИ
Бычков Борис Сергеевич
Кандидат физико-математический наук, младший научный сотрудник международной лаборитории теории представлений и математической физики НИУ ВШЭ Кафедра дискретной математики
Итак, занимают ли дроби всю прямую?
Пифагорейцы считали, что занимают.
Пифагорейцы полагали, что никаких чисел, кроме дробных, не существует.
И соответственно, давайте введём некоторые обозначения,
чтобы в дальнейшем нам пользоваться
таким общепринятым математическим языком.
Натуральные числа обозначаются вот такой буковкой
и состоят из неотрицательны целых 0, 1, 2, 3 и так далее.
Целые числа, соответственно — это натуральные
и все отражённые в левую часть натуральные
со знаком минус, то есть 1, −1, 2, −2, 3, −3 и так далее.
И ноль посередине.
Все дроби математики
называют специальным термином — «рациональные числа».
То есть обычный человек говорит «дробь»,
а математик говорит «рациональное число».
Что такое рациональные числа? Это множество всех
вот таких вот отношений, то есть когда мы делим
одно целое число на другое.
При этом нижнее число можно считать положительным. Почему? Ну просто
потому что если нижнее число отрицательное,
то давайте домножим его на −1, и верхнее тоже домножим на -1.
Дробь не изменится от домножения числителя и
знаменателя на любое число, в том числе и на −1,
но при этом знаменатель станет положительным.
Ну и такая удобная договоренность состоит в том, что дроби записываются
целое число — сверху
и положительное число — снизу.
Так вот, к сожалению, это не все числа,
а может быть, и к счастью, потому что иначе математика бы
не была бы такой интересной.
И на вещественной прямой можно указать точку,
которая не является дробью ни при каких m и n.
Что же это за точка? Нарисуем квадрат,
у которого сторона равна 1, то есть вот этой длине.
И выделим его диагональ.
Давайте попробуем найти длину этой диагонали,
пользуясь одной хорошо известной теоремой,
а именно теоремой Пифагора.
Рассмотрим вот этот треугольник — он прямоугольный.
И мы хотим найти вот эту сторону x, то есть длину диагонали.
Мы хотим найти гипотенузу у этого треугольника с равными катетами.
Тогда по теореме Пифагора квадрат гипотенузы
равен сумме квардатов катетов.
Но так как каждый из катетов равен по длине единице, то 1²
— это тоже один, и здесь сумма равна двум.
То есть, иными словами,
квадрат гипотенузы равен двум, или, как говорят математики,
прямо по определению, что это означает?
Что длина гипотенузы равна корню из двух.
Теперь давайте её возьмем вот так вот и перенесём сюда,
так чтобы, например, левая нижняя вершина попала в ноль, а дальше
уже куда попадёт вот эта вершина — это уже как получится,
мы её параллельно сюда перенесём, повернем немножко.
Ну и вот будет какая-то здесь засечка такая,
если мы циркулем, например, вот это вот расстояние захватим
и отложим вот так на обычной прямой.
Вот на этой прямой и живёт корень из двух.
Понятно, что он живёт между единицей и двойкой, потому что 1² < 2
а 2² = 4, то есть > 2. А значит, корень из двух — где-то между 1 и 2.
Утверждается, что это число
не является отношением двух целых чисел.
Такая вот теорема.
ни при каких
целых m и n
не выполнено точное равенство,
точное равенство
√2 = m / n.
Вот такая теорема.
Есть некоторая легенда, состоящая в том,
что её доказал один из участников Пифагорейского семинара.
И он пришёл на этот семинар, объявил всем,
что найдено число, не являющееся дробью,
привёл точное формальное доказательство этого утверждения.
Семинар прошёл в гробовой тишине.
Согласно легенде пифагорейцы настолько испугались этого факта,
что договорились никому о нём не рассказывать,
а автора утопили в реке.
Человек был убит за корень из двух,
казнён за то, что он, может быть,
самый большой прорыв вообще во всей математике сделал
на заре её становления.
Мы с вами это утверждение строго докажем. У этого утверждения
огромное количество доказательств, и даже мы с вами разберём два из них.
Все доказательства очень красивые. Это, можно сказать,
такой цветник математики — доказательство того,
что корень из двух не представляется в виде дроби.
Мы начнем с некоторого геометрического рассуждения, а потом
проведем чисто арифметическое доказательство того же
самого утверждения, что корень из двух — это новое число,
поэтому далеко не всё на нашей вещественной прямой
покрывается дробями, и надо проводить
дальнейшие исследования, какие же ещё вещественные числа существуют.