Гомотопическая топология, страшные слова.

[БЕЗ_ЗВУКА] [БЕЗ_ЗВУКА]

Это наука, которую очень мало кто понимает глубоко.

К сожалению, я сам — не один из тех, кто ее глубоко понимает.

У меня есть некоторое поверхностное представление о ней,

которое я хочу вам передать, потому что мне кажется,

что в гомотопической топологии есть два сложных момента.

Первый — это непривычность всех конструкций, а второй — то, что ее,

как правило, пытаются излагать в каком-нибудь самом общем случае,

и это вызывает к жизни разные концепции абстрактной топологии, как

ввести топологию на таком-то множестве, что такое топология, что это такое.

Ввести топологию — значит, задать некоторый набор открытых множеств.

В общем, там возникает некоторая очень высокая степень абстракции,

которая накладывается на непривычность конструкции, поэтому ощущение у человека,

который просто закончил мехмат и решил немножко познакомиться с этой наукой,

ощущение очень дикое, что это какая-то новая математика, вообще непонятная.

Он закончил мехмат, а на самом деле ничего не понимает.

Я предлагаю отделить непривычность

конструкций от тонкостей, связанных с абстрактной топологией.

Поэтому мы будем работать с привычными множествами,

мы будем пытаться различать с помощью тех или иных инвариантов просто

подмножество Rd, то есть мы будем работать внутри Rd.

Будем какие-то подмножества пытаться различать или,

наоборот, устанавливать между ними взаимно однозначные,

непрерывные в обе стороны соответствия, то есть гомеоморфизм.

Более того, как правило, мы будем заниматься

компактными подмножествами, что сильно упростит далее вообще все изложение.

Итак, предположим, что у меня есть такая догадка,

что у нас два множества рассматриваемых негомеоморфны.

Предположим, что мне кажется, что множества различны.

Как бы я мог попробовать это доказать?

Допустим, размерность у них одинакова, внешние признаки,

по которым сразу это можно понять, они все были у них одинаковы.

У меня есть два множества, и я предполагаю, что они неодинаковы.

Идея всей гомотопической топологии состоит в том, чтобы взять какое-нибудь модельное

множество довольно простой природы, достаточно простой для того,

чтобы с помощью этого метода что-то понять, но не совсем простой,

не точка или отрезок, по причинам, которые будут в дальнейшем ясны.

И рассмотреть структуру множества всех отображений отсюда сюда.

Я нарисовал, как это положение,

но на самом деле произвольное отображение из этого множества в X.

И посмотреть на структуру всех отображений из этого модельного множества в Y.

И если мы обнаружим, что множество всех отображений тут и

множество всех отображений там совершенно разные, то всё,

мы будем говорить о том, что множества негомеоморфны.

Тут нужно понять, что значит разные отображения.

Если я нарисовал здесь окружность на плоскости и здесь окружность на плоскости,

это разные отображения окружности в плоскости или одинаковые?

В гомотопической топологии это будут считаться одинаковыми

отображениями окружности в плоскости по следующей причине.

Я могу аккуратно и непрерывно

перевести вот так поточечно одно отображение в другое,

то есть соединить эти два отображения такой непрерывной кривой.

И тут мы постепенно продвигаемся вперед,

то есть нужно взять не просто все отображения.

Давайте для самой большой простоты.

Это обычная окружность.

K — это обычная окружность, вот такое вот множество.

Мы рассматриваем все способы нарисовать окружность на X и все

способы нарисовать окружность на Y.

Давайте, пусть X совсем для

наглядности — это просто сфера, а Y — это тор.

У меня есть догадка, что тор и сфера — это вещи разные,

что нет взаимно однозначного отображения между ними, непрерывного в обе стороны.

Я хочу эту догадку как-то подтвердить.

Смотрите, я рисую какую-нибудь окружность на

сфере и какую-то еще окружность на сфере.

Визуально ясно и это можно совершенно формально доказать,

что я могу непрерывно перетянуть вот эту нарисованную окружность в эту,

то есть построить семейство отображений окружности в сферу.

Семейство.

Давайте назовем F.

Что такое семейство отображений?

Можно на него смотреть, как на отображение вот такого

прямого произведения, и смотреть по срезам.

Срез F0 — это отображение окружности в сферу,

задаваемое этим нарисованным кружочком.

А F1 — это этот кружочек.

И посередине все кружочки друг к другу постепенно, каждый i-й кружочек где-то,

кружочек 1/2 — это этот, кружочек 2/3 — этот.

Я фактически строю отображение в сферу этого множества,

которое является ничем иным, как цилиндром над окружностью.

Как говорят математики, отображение F осуществляет

гомотопическую эквивалентность этих двух отображений, одного и другого.

Я произнес слово эквивалентность.

Что значит эквивалентность?

Я утверждаю, что если можно нарисовать путь между двумя отображениями,

то путь в обратную сторону тоже можно нарисовать.

Если мы здесь параметр поменяем от 1 к 0,

получится отображение цилиндра как бы в обратную сторону.

То есть если это отображение гомотопно вот этому, то обратно тоже верно,

это симметричное понятие — гомотопия.

Упражнение для слушателей состоит в том, что и транзитивное тоже.

Таким образом, есть все признаки отношения

эквивалентности, и тем самым множество всех отображений,

например, окружности в сферу, разбивается на классы эквивалентных друг другу.

Оказывается, что в этом случае класс всего один.

Любое отображение окружности в сферу гомотопно любому другому.

Множество классов, если я так нарисую, такими скобочками,

классы таких отображений относительно того, что одно гомотопно другому.

Короче можно сказать, просто гомотопно.

Такой класс всего один, то есть в этом множестве классов всего одна точка.

Но здесь это уже не так.

Из визуальных соображений,

пока мы не вводим какую-то соответствующую формальную науку,

просто если я вот так нарисовал окружность, которая вот так огибает этот

тор, то это явно не то же самое, что я вот так нарисовал окружность.

То есть перетянуть окружность, нарисованную так,

можно только в окружность, которая охватывает с этой стороны бублик.

А если я нарисовал таким образом, то тоже при попытке ее как-то перетянуть,

то есть попытки построить гомотопию, у нас останется окружность,

нарисованная именно вдоль этой дырки бублика.

Это неформальный язык, но он может быть сделан формальным.

Так или иначе, здесь множество таких отображений

уже совершенно не состоит всего из одной точки.

Вот это point означает, что всего одна точка во множестве.

pt, point.

One point — одна точка.

То есть это множество состоит из одного элемента,

а это множество классов отображений уже не состоит из одного элемента, там уже,

по крайней мере, два, и на самом деле мы видим уже и третий,

если я просто нарисую так окружность где-нибудь недалеко от точки

или просто нарисую окружность, которая всё время в одной точке находится.

Это тоже постоянное отображение окружности.

И всё.

Я что могу теперь сказать?

Совершенно ясно, что если бы гомеоморфизм между ними был, то эти классы и

эти были бы одним и тем же, потому что эта гомотопическая эквивалентность,

для гомеоморфных пространств мы можем

просто ее композицию взять с соответствующим гомеоморфизмом,

и возникнет здесь такая же гомотопическая эквивалентность.

Тем самым, если здесь любые две окружности, нарисованные на сфере,

были гомотопны друг другу, тогда здесь тоже,

если бы мы представили себе, что сфера и тор друг другу гомеоморфны, то здесь тоже

можно было бы любую окружность перевести в любую другую таким непрерывным образом.

Но так как здесь визуально это не так, то всё доказано.

Это такой как бы...

это краткий полет.

Вот введение в гомотопическую топологию на совсем кратком языке.

Что здесь надо формализовать?

Ну например, что такое все-таки вот это...

Мы говорим о непрерывности, да?

Но если я просто требую, чтобы было вот такое отображение, тут понятно,

что значит непрерывность.

Слева и слева какие-то подмножества n-мерных пространств.

Мы можем просто считать, что это непрерывность относительно метрики,

то есть способа измерения расстояния в обычном там многомерном пространстве.

Вот. Но если я говорю,

что я соединяю кривой два отображения, то здесь уже надо объяснить,

что означает расстояние между разными отображениями.

И чтобы эти два подхода были эквивалентны, а желательно,

конечно, чтобы они были эквивалентны, иначе сложно строить какую-либо теорию,

когда два интуитивно понятных представления о гомотопности не совпадают.

Так вот, чтобы они совпадали, как раз я и ограничиваюсь какими-то

очень простыми множествами, то есть вот, скажем, компактное подмножество RD.

Второе...

второе требование гомотопности состоит в том,

что это непрерывная кривая во множестве отображений.

А расстояние между отображениями я буду выводить такой формулой.

Расстояние между отображением f₁ и f₂,

которые оба определены на компакте и имеют, значит,

значения в каком-то d-мерном пространстве,

ну это просто обычное, значит, max нормы,

то есть максимум по всем x из этого

компакта f₁(x) − f₂(x), померенный по обычной норме соответствующего

многомерного пространства, то есть ничего как бы такого таинственного, да,

расстояние вводится обычным методом в функциональном анализе.

Ну и оказывается,

что для компактов эти два определения совершенно эквивалентны, вот.

А вот в случае, если K — не компакт, там уже начинаются проблемы, и если вдруг

будет попадаться у нас случай, когда K — не компакт, мы будем пользоваться вот этим

определением, наглядным очень, что это просто непрерывное отображение цилиндра.

Гомотопия — это непрерывное отображение цилиндра.

А про непрерывную кривую в пространстве отображения в этом случае я

говорить не буду.

Но для компактов тут все одно и то же.

Вот.

Теперь самое интересное начинается, самое интересное.

И в завершающей неделе мы будем как раз заниматься этим самым интересным,

оно заключается в том,

что на множестве вот таких вот классов, классов отображений,

гомотопических классов существует некоторая групповая структура.

То есть можно ввести структуру группы.

Недаром курс называется «Геометрия группы», мы везде ищем группы.

И эта групповая структура позволяет различать тоньше,

то есть мы можем даже иметь два множества классов, которые будут с одним и тем же

количеством элементов, но если в нем групповая структура разная,

то тоже мы скажем: ага, множество не изоморфное.

Как множество классов у нас получается, значит, множество нарисованных,

скажем, окружностей одинаково, но как группы, они разные,

а тем самым множества тоже не изоморфные.

Но чтобы ввести структуру группы,

придется немножко усложнить вообще все эти конструкции,

договорившись о том, что как вот в этом K, внутри этого K,

так и в каждом из X и Y нарисована одна и та же раз и навсегда...

выбрана одна и та же точка.

То есть X.

= (X, x₀ ⊂ X) Y.

— аналогично.

Это Y и какая-то точка y₀ из Y.

Ну и K. — это K,

тоже компакт вместе с выбранной какой-то начальной точкой.

Ну и структуру групп можно выделить, можно ввести не для любых K,

а для K некоторого специального вида.

Но опять же, мы максимально упростим, максимально снизим уровень абстракции,

поэтому структуру групп я буду вводить в том случае, когда K — это сфера,

ну, например, окружность или двумерная сфера или трехмерная.

То есть заниматься будем именно случаем, когда K — это просто наша сфера,

но с отмеченной точкой.

Например, на окружности можно отметить вот эту точку.

Ну, на сфере там какую угодно.

Окружность просто обычно мы видим нарисованной на плоскости,

можно отметить вот эту вот точку (1, 0).

Вот. На сфере тоже выбрать

какую-то точку и рассматривать вложение сферы, соответственно, в X и в Y.

Можно рассматривать вложение трехмерной сферы в X и в Y тоже с отмеченной точкой,

ну и понятно, что требование состоит в том,

что вот та отмеченная точка должна переходить в эту отмеченную точку.

И вот такие классы отображений

между пространствами, из которых одно фиксировано и более того,

это просто конкретный список: вот K может быть S¹, S²,

S³ и т.д., а X и Y — это вот заданные нами тоже множества с отмеченными точками.

И вот классы отображений, в которых отмеченные точки переходят друг в друга,

они будут образовывать группы.

И вот это вот интереснейшая, так сказать, интереснейшая

наука про гомотопические группы, к которой мы перейдем на последней неделе.

Гомотопическая эквивалентность

Геометрия и группы

Meet the Instructors