[БЕЗ_ЗВУКА] Итак,

теоретико-множественная классификация и группа перестановок.

Но начну с некоторых фокусов, которые большинству слушателей, конечно,

известны, но тем не менее, если кто не слышал, сейчас будет удивляться.

Первое.

Натуральных чисел

столько же,

сколько целых.

«Как это?

— спросит несведущий человек.

— Но их же вдвое меньше, да?».

А вот нет.

Что значит вдвое меньше?

Если в обоих множествах бесконечное количество элементов,

то какой можно придать смысл утверждению, что в одном вдвое меньше?

Ну, может быть, можно придать такой смысл,

что можно вложить натуральные числа в целые,

вот сюда, начиная с единицы и дальше, ну, естественным образом,

то есть каждое натуральное число просто становится самим собой.

А также устроить преобразование вложения в остальные целые.

То есть вот это вот подмножество эквивалентно натуральным числам.

И вот это подмножество тоже эквивалентно натуральным числам.

Эквивалентно в каком смысле?

Можно установить взаимно однозначные соответствия.

Вообще так, давайте привыкнем,

сейчас некоторое время мы будем играть в такую игру.

Правила следующие: мы два множества будем называть одинаковыми,

если можно установить взаимно однозначное соответствие.

Ну, и кажется, что раз можно установить два вот таких вложения,

то есть установить взаимно однозначные соответствия натуральных чисел

с одной половины как бы целых и с другой, ну, ясно, что можно, 1 переводится в 0,

2 в − 1, 3 в − 2 и так далее, то вроде как целых чисел вдвое больше.

Но дело в том, что на самом деле

столь же просто я могу сейчас взять и целые

числа опрокинуть внутрь натуральных, то есть установить взаимно однозначные

соответствия всех целых чисел с некоторой частью натуральных, а именно,

я сделаю так: я выделю натуральных 0, через один,

0, 2, 4, 6, и так далее, то есть я выделю вот четные числа,

четные, возьму четные числа, это подмножество натуральных,

вроде как тоже по той же логике кажется, что их вдвое меньше, чем всех натуральных.

И теперь я возьму и поставлю соответствия, вот у меня есть целые числа, это 0, 1, 2,

3, 4, а также − 1, − 2, − 3.

И буду ставить соответствия.

0 переходит сюда, ну, некоторые, кстати, натуральные числа начинаются с единицы,

но это никакого значения, конечно, не имеет.

1 переходит в 2, − 1 переходит в 4,

2 переходит в 6, − 2 переходит в 8.

Ну и въедливому слушателю предлагаю записать это формулой одной,

формула со случаями, так сказать, cases, да?

Если там число N больше 0, целое число N больше 0,

тогда там формула такая, ну, скорее всего 2N + 2 будет.

Если меньше 0, то по какой-то другой формуле.

И получится совершенно честное отображение множества всех целых чисел

в какое-то подмножество натуральных, и это отображение в это подмножество станет

взаимно однозначным соответствием по очевидным причинам по конструкции.

Ну, то есть на самом деле получается, что мы как-то вроде можем сказать,

что натуральных меньше, чем целых по очевидным причинам, но по некоторым более

тонким причинам получается, что целых тоже меньше, чем натуральных.

Как выйти из этого противоречия?

А давайте выйдем из него так.

Давайте считать множества одинаковыми, если существует хотя бы одно

преобразование, взаимно однозначное соответствие, между ними, хотя бы одно.

Вот если оно существует, все, множества одинаковы.

Эти все фокусы связаны с бесконечностью элементов, количество элементов в каждом

из множеств, и к ним постепенно так сказать, мы привыкнем.

Значит, можно ли установить взаимно однозначные соответствия между всеми

целыми и всеми натуральными?

Несомненно можно.

По той же самой схеме, только теперь уже не через один,

ну вот давайте для примера здесь натуральные начнем с единицы.

Я к этому отношусь совершенно, так сказать, халявно.

Иногда можно с 0 начинать натуральные, иногда с единицы.

Как вам нравится, так и будем делать.

Это такой вечный спор, священная война, holy war,

является ли 0 натуральным числом.

Ну, давайте здесь не будет являться, и вот наше целое, 0, 1, − 1, 2, − 2, понятно,

что тем же самым приемом очень просто установить полноценное взаимно

однозначное соответствие между всеми целыми и всеми натуральными.

Вот я его изобразил.

Каждое натуральное получает себе в собрата какое-то целое, и каждое целое,

соответственно, переходит в какое-то натуральное, и никакие две разные точки,

никакие два целых числа различные не переходят в одно и то же натуральное.

Вот вам взаимно однозначное соответствие между Z и и N.

И поэтому мы говорим, что они одинаковые по мощности,

а в этой части эрлангенской программы Клейна мы не различаем множества,

одинаковые по мощности, то есть множества, которые взаимно...

можно установить между ними взаимно однозначные соответствия.

Хорошо, еще какие-то фокусы нужны.

Например, такой фокус.

Рассмотрим все целые точки плоскости.

Когда-то мы назовем их гауссовыми числами,

возможно, даже в этом курсе.

Но пока мы не знаем им правильного имени,

поэтому назовем их целочисленной решеткой на плоскости.

Вот они.

Вопрос: ну их-то, наверное, больше, чем натуральных или целых,

что одно и то же, теперь мы знаем, что целых и натуральных одинаково.

Их-то, наверное, больше, чем натуральных.

Ответ: если мы исходим из наших правил игры,

то есть множества одинаковые при существовании между ними

хотя бы одного взаимно однозначного соответствия, то их столько же.

В самом деле, давайте их перенумеруем.

Вообще, когда мы говорим о взаимно однозначном соответствии некоторого

множества с натуральными числами,

можно сказать, что мы перенумеровываем точки этого множества.

Ну вот, это получится номер 0, это 1, это 2, это 3, это 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Ну, и прием понятен.

Мы идем по змейке, вот так вот эту змейку раскручиваем,

и ясно, что в конце концов мы посетим

любую целую точку на плоскости, целую точки этой решетки, и,

соответственно, каждая целая точка решетки получит некоторый уникальнейший номер,

являющийся натуральным числом.

То есть мы установили, прямо наглядно взяли и установили вот этой змейкой

взаимно однозначное соответствие между натуральными числами и

целыми точками плоскости.

Отсюда один шаг до еще одного феномена.

Феномен такой.

Q, множество всех рациональных чисел,

тоже имеет столько же элементов, сколько множество всех натуральных.

То есть совсем уж странно, да, множество всех вообще дробей

и множество всех натуральных чисел оказываются равномощными.

Интересно, как же это может быть?

Как же это можно увидеть?

А увидеть это можно так.

Каждой дроби соответствует пара, состоящая из ее числителя и ее знаменателя.

Ну, вот например, вот эта что за дробь такая будет,

это будет 1/2, да а вот эта вот дробь равная 2.

Иногда дроби оказываются целыми.

И любая дробь, любая дробь таким образом получает какую-то конкретную точку.

Более того, наверное, вы заметили, что дроби получают...

каждая дробь получает довольно много точек на этой сетке.

То есть, получается как бы вот так визуально кажется,

что дробей должно быть меньше, чем точек целочисленной сетки, потому что,

если я провел вот такой луч, то все вот эти вот целые точки соответствуют дроби 2.

А все вот такие вот точки соответствуют дроби 1/2,

но это из серии вот такого же феномена, как здесь, когда натуральные числа

можно погрузить внутрь целых, но и целые можно погрузить внутрь натуральных.

Я могу погрузить дроби внутрь целочисленной сетки и тем самым внутрь

натуральных чисел, но натуральные числа я очевидно тоже могу погрузить

внутрь дробей, например, просто потребую, чтобы знаменталь равен единице был, и все,

у нас будет часть целых чисел натуральная, а целые это часть дробей.

Поэтому здесь, так сказать, этот феномен, мы с ним уже хорошо знакомы.

Вопрос: можно ли установить взаимно однозначные соответствия?

Ответ: да, конечно, можно.

Вы просто в этой змейке, когда вы какую-то дробь уже прошли, в следующий раз вот это

вот число не будет уже получать какой-то номер, вы его просто пропустите.

И вот это число никакой номер не получит.

То есть змейка будет такая ущербная, с вырезанными точечками.

Вы дошли до некоторой точки, которая задает нашу дробь, первой точки,

задающей дробь.

Между прочим, на языке арифметики это означает, что M и N взаимно просты.

Нашли, значит, дробь получила номер, змейка пошла дальше,

следующая дробь получила номер, пошла до этой точки, раз, и пропускает эту точку.

Ну, и вот таким образом мы спокойно перенумеруем все дроби,

тем самым рациональных чисел столько же, сколько целых.

Тут возникает такая как бы ловушка сознания.

Вот первое интуитивное представление состоит в том, что целых чисел больше,

чем натуральных вдвое.

Мы его разбомбили в пух и прах.

Мы показали, что никакой смысл этому утверждению нельзя придать, а если мы

начнем придавать смысл утверждению исходя только из одного принципа, что должно

быть взаимно однозначное соответствие, должно существовать, то тогда целых

столько же сколько натуральных, дробей тоже столько же, сколько натуральных,

и точек даже целочисленных на плоскости столько же, сколько натуральных.

И тут возникает вторая ловушка сознания.

Человек начинает думать: «О, ну наверное,

тогда вообще любые два бесконечных множества просто друг другу эквивалентны,

то есть берем одно бесконечное множество и другое, и,

наверное, всегда можно установить взаимно однозначное соответствие».

Верно это или нет?

Не буду вас томить.

Ответ отрицательный.

Можно предъявить конкретные бесконечные множества не эквивалентные друг другу,

то есть такие, что взаимно однозначного соответствия между ними не существуют.

Ну и небольшой экскурс вот в эту вот абстрактную теорию

множеств мы сейчас совершим.

Множества, равномощные множеству натуральных чисел

Геометрия и группы

Meet the Instructors