[БЕЗ_ЗВУКА] Итак,

приступим к доказательству этих трех утверждений.

В последнем случае я сделаю ряд намеков и разобью его в упражнения несложные,

которые слушатели смогут потом полное доказательство восстановить из них.

Первые два доказательства на самом деле связаны тесно между собой,

и утверждение 1 является частным случаем утверждения 2,

если хорошенько в этом разобраться.

Но если я прямо сейчас сразу докажу утверждение 2, а потом буду говорить про

частный случай, то это доказательство как бы полностью собьет всех с толку,

поэтому я начну вот с этого рассмотрения.

Итак.

Почему нельзя установить никакого взаимооднозначного

соответствия между натуральными числами и точками отрезка?

Давайте вспомним как вообще точку отрезка можно задать,

как закодировать данную точку отрезка 1?

Напоминаю, что есть такая двоичная система записи,

которая может быть в этом случае использована.

Двоичная система записи устроена так: мы прежде всего спрашиваем

про нашу кодируемую точку, она в левой половине или в правой?

Тут как бы 1/2 от начала правой половины.

Давайте, кстати, вот эту правую точку для простоты выкинем единицу, а левую оставим.

Это ничего не изменит с точки зрения взаимно однозначных соответствий,

а нам дело упростит.

Значит, теперь мы по полуинтервалам будем все время делить все.

Есть точка в левом полуинтервале, у нее первый номер 0.

Если в правом — то один.

Дальше, независимо от того, где она реально жила, в левом или правом,

я делю снова на две половинки, и если она попала теперь в более правую половину,

то у нее начинается следующая циферка 1, если в более левую — то 0.

В общем, я напоминаю то, что хорошо известно, наверное,

со школы — что каждая точка отрезка (0;1) получает свой уникальный номер,

состоящий из 0 и 1.

Единственное, чего не

может быть при таком

кодировании — это что у нас в конце идет

бесконечный отрезок из одних единиц, не прерываемый ни одним 0.

Потому что в этом случае это значит, что в каком-то отрезке она была

справа-справа-справа, и на самом деле это фактически означает,

что она начинала следующий более правый отрезок и вот в этот момент...

Просто предыдущий момент надо было написать 1, а здесь все 0.

Я отсылаю к любым справочникам по кодированию

вещественных чисел если кто-то этого не помнит.

Получается, что каждая точка получает свой уникальный номер,

который является числом из 0 и 1 без бесконечных отрезков единиц справа.

Ну и каждый уникальный номер тоже указывает на некоторую здесь точку.

То есть это взаимно однозначное соответствие уникальных номеров,

то есть всех последовательностей 0 и 1 кроме тех,

у которых есть бесконечный хвост единиц, и точка отрезка (0;1).

Если предположить от противного,

что можно перенумеровать все точки отрезка (0;1),

то вот вам пожалуйста, у нас будет номер 1,

это какая-то последовательность 0 и 1 с требуемым свойством.

Номер 2,

еще какая-то последовательность 0 и 1 с требуемым свойством.

И так далее.

Вот у нас есть вот такая вот последовательность,

состоящая из последовательностей 0 и 1.

Такая вот у нас есть бесконечная последовательность кодов для

точек отрезка (0;1).

Идея состоит в следующем: мы теперь построим новую последовательность,

которая будет устроена так: с номером

один мы меняем на первой позиции,

вот здесь была 1, станет 0.

У номера 2 меняем, значит, тоже на этой второй позиции номер.

Была 1, станет 0.

Если у номера 3 здесь был 0, может стать 1.

В общем, мы в каждый следующей последовательности смотрим ее номер,

соответствующий по порядку ее цифры, и меняем на противоположный.

То, что было 0, станет 1, то, что было 1, станет 0.

Значит, упражнение

состоит в следующем.

Я специально пишу, это упражнение, наверное,

сложнее, чем все, которые я до этого давал.

Разобраться с ситуацией, если на выходе возник бесконечный отрезок единиц.

То есть если у нас 0 появлялись здесь, здесь, здесь, здесь и здесь,

нам нужно как-то в этом случае немножко модифицировать наше доказательство.

Но если мы его модифицируем каким-то образом, то ясно, что та

последовательность, которую мы построили, никакого номера получить не может.

Она не могла получить номер, потому что если бы у нее был какой-то номер n,

то на этом месте стояла бы соответствующая цифра.

А мы специально посмотрели, что стоит на этом месте,

и изменили эту цифру на противоположную.

Это такое краткое доказательство,

да еще по модулю вот этого вот слова «разобраться».

Почему я на нем не хочу сильно сосредоточить внимание?

Потому что на самом деле точки отрезка (0:1)

могут быть сопоставлены под множество натурального ряда.

Как это сделать?

Нужно просто взять вот этот вот код, который записан,

и теперь подмножество натурального ряда будет состоять из тех

номеров натурального ряда на местах с этими номерами где стоят единицы.

То есть, например, вот тут вот это подмножество,

в которое будут входить 2, 4, 5, (6 пропускаем) 7.

То есть везде, где стоят единицы,

мы здесь соответствующие числа из натурального ряда берем.

А где 0 там не берем.

Тогда тоже с точностью до некоторой ситуации вот такого вида,

до ситуаций, в которых столько же, сколько натуральных чисел,

то есть все ситуации, которые нам могут помешать установить такое

взаимно равнозначное соответствие, они имеют заведомо мощность натуральных числе.

Например, смотрите.

Все последовательности кодов,

которые не соответствуют никаким точкам, образуют множество счетное,

то есть равномощное натуральным числам, то, которое можно пересчитать.

И это тоже отдельное, совсем несложное упражнение — доказать,

что все бесконечные последовательности 0 и 1,

у которых есть бесконечный хвост из единиц, их все можно пересчитать,

они имеют ту же самую мощность, что и множество натуральных чисел.

Так вот, теперь получается, что на самом деле,

если мы эти упражнения оставим в качестве доработки слушателям,

то у нас получится, что утверждение 1 просто следует из утверждения 2.

Потому что если мы убедились в том,

что отрезок (0;1) равномощен множеству всех подмножеств натуральных чисел.

Просто потому что подмножество и код это одно и то же, а код — это точка отрезка.

Значит, точка отрезка — это подмножество натуральных чисел.

Подмножество натуральных чисел — какая-то точка отрезка.

И это утверждение верно с точностью до некоторых счетных подмножеств,

которые делу не вредят.

Тогда из утверждения 2 утверждение 1 будет следовать автоматически,

потому что нужно будет просто подставить вместо a множество натуральных чисел.

2 в степени a, множество всех подмножеств a, будет в этом случае отрезком (0;1).

И утверждение 1 будет следовать утверждению 2.

Утверждение 2 — это отдельный сюжет,

который от начала до конца мы проработаем.

Тут требуется предельное внимание,

поэтому это будет отдельный сюжет без заключений.

Я сейчас скажу про третье утверждение,

и тоже намекну как его надо доказывать.

То есть из этих трех утверждений я задал ряд упражнений,

связанных с тем, что У1 является следствием У2.

Дальше сейчас я дам несколько намеков, связанных с У3.

А вот У2 я докажу абсолютно строго.

За всем остальным, что есть в теории множеств,

вокруг этих трех утверждений есть начальная теория множеств,

я тоже отошлю к соответствующим книгам.

Я лишь хочу показать в этом курсе, что теория множеств начальная —

это часть iii программы То есть это тоже как бы группа и геометрия.

Итак, утверждение три.

Нужно будет нарисовать два множества.

Вот это X, а это Y.

И X можно внутрь Y как-то поместить.

Ну, допустим, вот оно как-то здесь лежит.

Вот это у нас φ, допустим, φ,

оно X в Y вкладывает.

И вот образ φ(X).

Но с другой стороны есть ещё ψ, которая действует в обратную сторону.

Эта ψ вкладывает Y в X.

Вот оно как-то так раз вкладывает Y в X.

Ага. И вот это, соответственно, ψ(Y).

Что мне теперь нужно сделать?

Мне нужно посмотреть на произвольную точку в Y и спросить себя,

сколько раз я смогу взять у неё прообраз.

Вот существует ли у неё сейчас прообраз?

Да, ответ — существует, но вот он как бы лежит либо здесь, либо здесь.

Если он лежит здесь, то дальше прообраза я уже не возьму.

Потому что весь образ Y, он попадает внутрь синего, а точка,

которая перешла сюда, она в этой вот зоне между ψ(Y) и X.

А если она попала сюда, то я могу ещё раз взять прообраз.

И опять, в принципе, могло быть две ситуации: я мог попасть сюда,

а мог попасть сюда.

И ключевой идеей для построения взаимно однозначного

соответствия служит вопрос: сколько у

точки прообразов?

То есть сколько раз можно пойти назад по этим отображениям?

Вот, может быть, довольно долго будет вот внутри этого,

потом — бах — вылетит уже вот в эту полосу, и прообраза не будет.

Также отсюда можно какое-то время гулять и вот сюда прийти.

Вот вопрос.

Его можно задать как про точку икса, так и про точку игрека.

Потому что в каждом случае прообраз берётся относительно того отображения,

которое в этом случае, естественно, имеется в виду.

Ну, скажем, если точка из X,

то прообраз можно взять только относительно вот этого ψ.

А если точка из Y, то прообраз можно взять только относительно φ.

У нас φ в одну сторону, а Y в другую.

И вот вопрос: вот мы гуляем такими длинными-длинными цепочками.

Была какая-то точка x.

Если она лежала в X, значит, можно взять прообраз ψ в −1-й от неё.

Потом φ в −1-й от ψ в −1-й от неё.

Потом ψ в −1-й от φ в −1-й от ψ в −1-й.

И вот вопрос: сколько раз я могу это сделать?

Возможны три ответа на этот вопрос.

Ответ номер один: бесконечное количество раз.

Ответ номер два: конечное нечётное количество раз.

Ответ номер три: конечное чётное количество раз.

В соответствии с этим каждое из этих двух множеств

разбивается на три несвязных куска.

Вот, скажем, X разбивается на несвязный кусок тех точек,

у которых бесконечное множество прообразов при таких операциях,

на кусок точек, у которых нечётное число прообразов,

и на кусок точек, у которых чётное число прообразов.

Ровно также, абсолютно аналогично разбивается Y.

На кусок точек, у которых нечётное, на кусок точек,

у которых чётное, и бесконечное.

И теперь последний заключительный аккорд в теореме Кантора — Бернштейна

заключается в том, чтобы тот кусок, который соответствует нечётному количеству

прообразов, перевести сюда в тот кусок, который здесь соответствует чётному.

Тот кусок, который здесь соответствует чётному,

соответствует тут взаимно однозначным образом тем, у которых нечётное.

А те куски, у которых бесконечное, соответствуют друг другу.

И вот этими тремя кирпичами строится взаимно

однозначное соответствие между X и Y.

Чем теорема Кантора — Бернштейна и доказывается.

Детали, пожалуйста, восстановите.

Сравнение отрезка и множества натуральных чисел

Геометрия и группы

Meet the Instructors