[БЕЗ_ЗВУКА] Итак,

если у движения есть три точки,

не лежащие на одной прямой,

то тогда это движение является тождественным преобразованием.

Следующее утверждение, которое практически сразу

следует из предыдущего, что если

движение сферы

g сохраняет

[БЕЗ_ЗВУКА] две точки,

не лежащие на одной прямой...

Ой, что я говорю!

...не противоположные друг

другу, то

g либо равно Id,

либо g является отражением

относительно...

Ну вот я тут сейчас скажу: относительно некоторой плоскости,

которую я обозначу, например, за L.

Что значит «плоскость»?

Что это за плоскость?

Это вот что такое.

Вот две точки.

И если они не противоположны друг другу, то через них проходит

единственная сферическая прямая, то есть единственная дуга большого круга.

Любая дуга большого круга, понятное дело, проходит через центр сферы.

Так вот, эта плоскость L — это и есть плоскость,

которая проходит через центр и эти две точки.

Вот эти вот три точки — центр и две вот эти точки, не противоположные друг другу,

— они образуют некоторый треугольник, они не лежат на одной прямой в пространстве.

И кстати, это еще одна характеристика понятия противоположности: точки на

сфере противоположны, если они вместе с центром лежат на одной прямой.

Тогда и только тогда.

И соответственно, плоскость, проходящая через них, не одна.

А вот если точки не лежат на противоположных концах сферы,

то тогда такая плоскость ровно одна.

Мы ее назовем L.

Эта плоскость L высечет на сфере ровно ту самую дугу

большого круга, и g будет отражением относительно этой дуги.

Почему?

А вот почему.

Ну рассмотрим любую другую точку сферы и посмотрим,

какие опции для этой точки существуют.

Эта точка должна сохранить

расстояние до любой

точки нашей дуги вот этого большого круга.

И в этом случае можно взять

какие-нибудь две разные точки этой дуги, нарисовать две окружности на сфере и,

опять, либо написать два уравнения и помучиться немного с x,

y и z, либо просто визуально убедиться в том, что эти две окружности

пересекутся еще только в одной точке, которая будет находиться с противоположной

стороны нашей дуги большого круга на том же от нее расстоянии.

То есть мы берем сферу.

Вот у нас она делится дугой большого круга на две части.

Точка находилась с одной части.

Мы ее отражаем туда, и с той и с противоположной точки она и должна

находиться с противоположной стороны на том же расстоянии.

Поэтому смотрите: для каждой точки опция —

либо остаться на месте, либо перекинуться на противоположную сторону.

Если хоть одна точка осталась на месте, то по предыдущей лемме — это Id.

Поэтому если g не является тождественным преобразованием,

тогда каждая оставшаяся точка должна перекинуться на противоположную сторону.

А это и есть очевидным образом отражение относительно соответствующей плоскости.

Поэтому лемма доказана,

и следующий вопрос такой: хорошо, это вот мы описали преобразования,

у которых есть неподвижная прямая.

Если есть неподвижная прямая (то бишь дуга большого круга),

тогда такое преобразование является либо тождественным,

либо отражением относительно плоскости, проходящей через центр сферы

и высекающей именно эту прямую — эту дугу большого круга.

Хорошо.

Теперь, что если нет у нашего движения ни

одной остающейся на месте прямой, то есть ни одной неподвижной прямой?

Тогда получается следующее: если

неподвижной прямой нет, то...

Давайте логически исследуем, какие возможные здесь опции.

Вот чисто, так сказать, априорные.

Смотрите: априорная опция, что есть две точки, неподвижные и не лежащие

с противоположных сторон, отсутствуют, потому что тогда есть вся прямая.

Это мы уже доказали.

Значит, нет двух точек, которые находились бы не

противоположно друг другу, которые оставались бы на месте.

Хорошо.

Тогда вообще сколько может быть неподвижных точек?

Ну понятно, что тогда их не может быть уже, скажем, три.

Три точки не может быть, потому что если какие-то три неподвижные точки,

то уж какие-то две из них точно не противоположны друг другу.

Противоположных может быть максимум две.

Значит еще одна уже не будет противоположна остальным.

И соответственно, опять мы возвращаемся к случаю, когда есть неподвижная прямая.

Поэтому неподвижных точек может быть только две, одна или ноль.

Но одной точки тоже не может быть неподвижной, потому что мы уже знаем,

что если одна точка изменила свое положение каким-то образом,

то противоположная к ней точка в точности перешла в противоположную к новой.

Поэтому если точка осталась на месте,

то противоположная тоже должна остаться на месте.

Ну или также можно сказать более даже просто: если у нас осталась на

месте данная точка, то точка, противоположная к ней,

должна находиться на том же расстоянии от нее после преобразования, а точка,

находящаяся на таком расстоянии, ровно одна — вот эта вот, противоположная.

Значит она тоже сохраняется.

Поэтому точки сохраняются парами,

и нечетного количества неподвижных точек быть не может.

Поэтому остается только две опции.

Поэтому я пишу: если неподвижной прямой нет,

то либо есть пара противоположных неподвижных точек,

противоположных неподвижных точек,

либо нет ни одной

неподвижной точки.

[БЕЗ_ЗВУКА] И

осталось просто разобрать оба эти случая.

А заодно желательно составить таблицу умножения

— таблицу композиций движений сферы.

Мы во всех деталях с вами разберем вот этот случай.

На следующей неделе мы

докажем совершенно строгим образом,

что движение, у которого есть ровно одна пара неподвижных точек, противоположных

друг другу, является поворотом относительно соответствующей оси Rl,

где l — это прямая, проходящая через эти противоположные точки и центр сферы.

То есть это тот самый поворот, который я уже рисовал.

А вот здесь возникает некоторое новое преобразование,

довольно красивое по своей форме — это поворотные

отражения.

И вот это завершает полную классификацию движений сферы.

Что такое «поворотные отражения»?

Это следующая операция.

Берем некоторую дугу большого круга.

Берем две противоположные к ней точки.

Закручиваем немножко вокруг них.

После чего вот так вот выворачиваем сферу наизнанку как бы вокруг этой дуги

большого круга — вокруг той самой, которая при этом повороте, вот эта дуга, она

повернулась немножко (то есть как единое целое она осталась на месте при таком

повороте, но точки в ней повернулись), и потом относительно нее переворачиваем.

И видно, что тут неважно в каком порядке делать.

Можно перевернуть и потом повернуть или повернуть и потом вывернуть наизнанку.

В данном случае два вот этих преобразования — поворот относительно этой

оси и отражение относительно вот этой прямой полярной,

как говорят, полярной к этим двум точкам точками прямой, они коммутируют,

они перестановочные, и вот их комбинация называется поворотным отражением,

и это как раз то, что будет, если нет ни одной неподвижной точки.

Любое преобразование без неподвижных точек, оно задаётся таким образом.

А если есть пара противоположных неподвижных точек,

то это просто обычный поворот.

Это полная классификация всех движений сферы.

То есть движение сферы либо поворотное отражение, либо поворот.

Но при этом, смотрите, частный случай поворотного отражения — это просто

отражение, потому что просто отражение — это поворотное отражение,

при котором поворот производится на нулевой угол.

Ну и Id является частным случаем просто поворота на самом деле,

потому что это поворот на нулевой угол.

Поэтому ровно два вида преобразования сферы есть — поворотные отражения и

повороты.

Это такая классификация.

Ну мы вот это разберём подробно, это в качестве упражнений оставим.

Кроме того, в какой-то момент мы вернёмся к движениям плоскости.

Движение плоскости мы же тоже до конца ещё не добили.

Мы движение плоскости добили до состояния, в котором мы доказали,

что если оно сохраняет хотя бы одну точку,

то оно либо является Id, либо отражением относительно прямой,

проходящей через эту точку, либо поворотом относительно этой точки на некоторый угол.

А что будет, если движение плоскости не сохраняет ни одной точки на месте,

мы тоже пока ещё не знаем.

И там появляется новый вид движения, который назвается «скользящая симметрия».

И, соответственно, для плоскости у нас тоже получается такая классификация.

Повороты вокруг всевозможных точек ну и, соответственно,

Id как один из примеров таких поворотов, когда поворот на нулевой угол.

Причём тогда уже не важно, какую точку брать.

И скользящая симметрия вдоль каких-то там прямых,

когда отражается и потом сдвигается.

И очень близкая аналогия, то есть у нас

есть движение плоскости и движение сферы, и у них есть очень близкая аналогия.

И теперь ещё чтобы полную вот как бы воссоздать картину, что у нас происходит.

У нас происходит постепенное повышение размерности объекта, который мы изучаем.

Вначале мы посмотрели на движение какой-то конкретной прямой.

Там было всё очень просто, были сдвиги и были отражения.

При этом, если я фиксирую некоторую точку,

то движений прямой, которые эту точку сохраняют на месте, вообще ровно два.

Это Id, либо поменять местами относительно этой точки, отразить.

Теперь мы переходим к плоскости.

Значит, на плоскости нарисована окружность.

Классификация движений окружности — это то же самое,

что классификация движений плоскости с вбитым одним гвоздём.

То есть с как минимум одной неподвижной точкой в центре этой окружности.

И эта классификация по своей структуре очень похожа на классификацию

движений просто прямой без вбивания точки.

То есть прямая с вбиванием точки — это просто группа Z2.

Это отражение и тождественное преобразование.

Прямая без вбивания точки — это некоторые там два класса преобразований.

Плоскость с вбиванием точки — это то же самое, что окружность с точки зрения

классификации, и это очень похоже на прямую без вбивания точек.

Это то есть поворот и отражение относительно прямых.

Далее.

Плоскость, в которую точки не вбиты, это уже более сложная классификация,

которую мы ещё не проводили, о которой я сейчас немножко сказал.

Сфера — это пространство со вбитой точкой.

И классификация движений пространства со вбитой точкой — это и есть классификация

движений сферы.

И она очень-очень похожа на классификацию движений плоскости без вбитых точек.

И, на самом деле, так далее.

Если мы дерзнём и классифицируем; ну в этом курсе мы не будем этого делать,

но человек, который освоит, он сможет это сделать сам или прочтёт в учебниках,

значит, дерзнёт классифицировать все движения пространства без вбитой точки,

то на самом деле он получит и движение четырёхмерной сферы заодно впридачу.

То есть он получит очень похожую классификацию на ту,

которая будет классификацией движения четырёхмерной сферы,

то есть четырёхмерного пространства с одной вбитой точкой.

И вот так шаг за шагом, усложняя конструкцию, на самом деле, можно добиться

довольно разумного приемлемого описания движений в самой общей ситуации.

Но здесь возникает целый ряд тонкостей, которые надо разрешать.

Например, что такое движение?

Ведь мы не знаем, как вводятся расстояния.

Мы здесь пока расстояния вводили совершенно кустарным образом,

оперируя к нашей геометрической интуиции.

При правильном подходе нужно задать, при общем подходе нужно

задать способ измерения расстояний каким-то аналитическим путём.

То есть какой-то формулой.

Потому что мы же не видим, что происходит в четырёхмерном пространстве,

мы не можем взять и сказать: ну вот тут тоже так посмотрели на этот угол...

Ну так не получится.

Поэтому тут нужна формула некоторая для того, чтобы определить,

что такое движение.

Ну и на самом деле нам эта формула всё равно пригодится уже при работе с

кватернионами.

Поэтому в дальнейшем мы немножко более формально подойдём к некоторым вещам.

В частности, к определению расстояния, к измерению там модулей и так далее.

Ну а пока наш ближайший план состоит в том,

чтобы вот это строго доказать и переходить к кватернионам.

Это будет на следующей неделе.

Классификация движений сферы: формулировка

Геометрия и группы

Meet the Instructors