Итак, заключительный

решающий шаг — выяснение геометрической структуры умножения комплексных чисел.

Есть преобразование, которое каждому числу ставит в соответствие

его домножение на некоторое конкретное число S по

модулю равное единице, но само единице не равное,

то есть модуль его равен единице, но оно не лежит вот в этой точке конкретно,

в любой другой точке окружности.

Потому что, если S равно единице, что тут изучать?

Это тождественное преобразование, тут изучать нечего.

Так что будем считать, что у нас S какое-то нетривиальное, точка окружности,

нетривиальный вектор, комплексное число, которое лежит на окружности.

Смотрите теперь, изучаем, что происходит с расстояниями между точками.

Вот, допустим, Z1 перешло сюда, а Z2 перешло в S умножить на Z2.

Измерим расстояние?

Расстояние от SZ1 до SZ2 равно по

нашей формуле замечательной модулю

разности SZ2 минус SZ1, модулю такого числа.

Но, друзья мои, как уже сказано, мы арифметику строили так,

чтобы сохранялись все правила, и удалось нам это сделать,

поэтому можно вынести за предел разности двух чисел Z2 минус Z1,

вынести за скобку число S, и взять вот такой вот модуль.

А модуль произведения комплексных чисел равен произведению модуля,

и поэтому это равно модуль S на модуль Z2 минус Z1.

И, наконец, последнее, что я хочу сказать, что модуль S по определению,

по построению, по условию равен единице,

поэтому у нас получается здесь модуль Z2 минус Z1.

Иными словами, расстояние между точками Z1 и Z2 не менялось.

Никогда.

Какие бы точки не взять, расстояние между образами будет равно

расстоянию между исходными, то есть вот это преобразование,

которое Z1 переводит в S на Z1,

и мы здесь подставляем произвольные Z1, произвольные числа комплексные,

является движением плоскости.

Вот так вот, движением R квадрат.

Тут уместно поставить восклицательный знак.

Потому что мы кое-что знаем про классификацию движений.

Допустим, ещё не всё, но кое-что мы знаем, в частности мы знаем,

что если у движения ровно одна неподвижная точка, то оно является поворотом.

А верно ли это про наше движение?

Сколько у него неподвижных точек?

А что такое неподвижная точка?

Это решение уравнения Z1 равно S умножить на Z1.

Давайте решим это уравнение, всё налево,

получается Z1 минус SZ1 равно нулю или

Z1 умножить на один минус S равно нулю.

Я чуть-чуть забегаю вперёд, я ещё не делил комплексные

числа, но когда мы будем делить, мы узнаем, что у любого не

нулевого комплексного числа есть обратное, то есть при домножении дающее один.

Значит, теперь смотрим: один минус S нулю не равно.

Потому что мы договорились, что S не равно ровно числу один, это какое-то число по

модулю равное единице, но не равное единице в точности как число комплексное.

Значит, у этого числа есть обратное.

Тогда я могу умножить на обратное, а справа будет ноль умножить на что-то,

то есть ноль.

Но здесь обратные сократятся, а значит отсюда, на самом деле, Z1 равно нулю.

Итак, если какие-то точки неподвижные у этого преобразования есть,

то это точка ноль, и только она, но то,

что ноль неподвижный, и так очевидно, при домножение на S оно даст себя.

Следовательно, всё готово для применения

половины теоремы классификаций, которую мы уже имеем.

Из того, что у окружности есть такие и такие движения, мы сделали вывод,

что у плоскости движение, сохраняющее единственную точку,

обязательно является поворотом на нетривиальный угол.

Вот и пишем, что отсюда оно является поворотом.

Осталось узнать только одно: на какой угол?

Отлично, на какой же угол?

Чтобы это узнать, нужно

подставить сюда какую-нибудь очевидную точку и посмотреть, куда она перейдёт.

Очевидная точка — это Z1 равно единице.

Можно подставить?

Можно.

Куда перешла?

В точку S, повернулась сюда вот на этот угол.

Всё, поворот все точки поворачивает на один и тот же угол, значит,

это ровно поворот на угол, соответствующий числу S.

У этого угла есть тоже имя.

Я его специально держал долго в тайне.

Этот угол называется «аргумент комплексного числа S».

Он же аргумент исходного комплексного числа Z,

которое у нас было подлиннее вот здесь где-то.

Вот этот вот угол поворота называется аргументом, он от нуля до 360 градусов,

но потом нет смысла просто: 360 — это ноль.

Так вот, вывод: при умножении комплексного числа на конкретное

комплексное число модуль умножаемого числа умножается на модуль этого числа,

а к аргументу числа прибавляется аргумент.

Ну или окончательно:

при умножении комплексных

чисел [ЗВУК]

модули перемножаются,

[ЗВУК] а

аргументы складываются.

[ЗВУК] Вот и всё.

Осталось с делениями разобраться, у меня, тем более, должок есть.

Я тут разделил на один минус S вот в этом месте, мне нужно это обосновать.

Итак, почему у любого комплексного числа есть обратное?

Давайте попробуем разделить один на комплексное число Z, например,

заданное вот в том виде, как у нас было, a плюс bi.

Смотрите, как я разделю, я сейчас сделаю хитрость,

я умножу и разделю на одно и то же комплексное число,

отчего, конечно, ничего не изменится, потому что правила действий такие же,

как и для вещественных чисел.

А вот теперь внимание, то, что внизу,

— это сумма квадратов двух вещественных чисел.

Поэтому у полученного числа можно углядеть и вещественную, и мнимую часть.

Вещественная — это a делить на a квадрат плюс b квадрат, а мнимая — минус

b делить на a квадрат плюс b квадрат, и здесь i, соответственно, стоит.

Из этого элементарно уже возникает просто деление двух чисел друг на друга,

потому что это Z1 умножить на один, делённый на Z2, и теперь,

если подставить вот такое выражение для один, делённое на Z2, у нас получится там

какое-то выражение, которое каждый из вас выведет самостоятельно.

Итого, когда деление не получится?

Когда a квадрат плюс b квадрат равно нулю.

Но a и b — это вещественная и мнимая части нашего комплексного числа,

это координаты на плоскости, это просто вещественный числа.

a квадрат плюс b квадрат равно нулю только тогда, когда a и b оба равны нулю,

тогда и только тогда.

А значит, разделить не получится только на ноль, на комплексный ноль.

На все остальные комплексные числа, любые другие, разделить полулчится,

тем самым в общем-то построение системы комплексных чисел полностью завершено.

У нас есть система чисел, позволяющая складывать и вычитать по правилам

векторов, умножать вот по этому правилу: при умножении комплексных чисел модули

перемножаются, а аргументы складываются.

Кстати, из этого тоже можно было бы вывести деление, что делить всегда можно,

потому что просто нужно разделить модули и вычесть аргументы.

Но мы вывели ещё и для деления, и для умножения специальные формулы,

по этим формулам делить можно на любые числа отличные от нуля,

верно дистрибутивность, верно всё, что нужно для того,

чтобы назвать эти числа системой чисел, образующих поле, поле комплексных чисел.

Итого, мы уже, на самом деле, знаем довольно много полей, ну не то,

чтобы довольно много, а давайте я вам скажу: все рациональные числа,

то есть дроби, образуют поле, это совершенно ясно из сложения дробей,

изучаемого в младших классах.

Дальше есть алгебраические числа и теорема о том, что они образуют поле.

Это очень сложная математическая теорема, и, наверное, мы в нашем курсе доказывать

её не будем, то есть что сумма и произведение,

и разности отношения двух корней каких-то алгебраических уравнений,

не обязательно одного и того же, а даже разных, разных полиномов с целыми

коэффициентами всегда тоже являются корнями полиномов с целыми коэффициентами.

Удивительно, но факт.

Дальше вещественные числа, ну и теперь комплексные, вот мы знаем поля,

на самом деле есть куча полей, которые мы узнали ещё из...

Полями являются ещё все системы остатков по модулям простых чисел.

Там тоже складывать и вычитать мы умеем, а умножать и делить...

Ну, умножать можно всегда, делить можно на любое не нулевое, если мы делим по модулю

простого числа, потому что все отличные от нуля остатки, они все допускают обращение.

Так что вот у нас очень большой такой, в принципе,

арсенал полей, с которыми можно так или иначе работать.

Ну и вот, собственно говоря,

на этом построение комплексных чисел заканчивается,

а в следующем сюжете будет одна такая классическая для школы тема,

она называется «тригонометрия».

Умножение комплексных чисел: формулировка и доказательство.

Геометрия и группы

Meet the Instructors