Об этом курсе
4.3
Оценки: 98
Рецензии: 27

100% онлайн

Начните сейчас и учитесь по собственному графику.

Гибкие сроки

Назначьте сроки сдачи в соответствии со своим графиком.

Продвинутый уровень

Прибл. 45 часов на выполнение

Предполагаемая нагрузка: 9 weeks of study, 4-8 hours/week...

Английский

Субтитры: Английский

100% онлайн

Начните сейчас и учитесь по собственному графику.

Гибкие сроки

Назначьте сроки сдачи в соответствии со своим графиком.

Продвинутый уровень

Прибл. 45 часов на выполнение

Предполагаемая нагрузка: 9 weeks of study, 4-8 hours/week...

Английский

Субтитры: Английский

Программа курса: что вы изучите

Неделя
1
23 минуты на завершение

Introduction

This is just a two-minutes advertisement and a short reference list....
1 видео ((всего 3 мин.)), 2 материалов для самостоятельного изучения
1 видео
2 материала для самостоятельного изучения
Introduction/Manual10мин
References10мин
2 ч. на завершение

Week 1

We introduce the basic notions such as a field extension, algebraic element, minimal polynomial, finite extension, and study their very basic properties such as the multiplicativity of degree in towers....
6 видео ((всего 84 мин.)), 1 тест
6 видео
1.2 Algebraic elements. Minimal polynomial.12мин
1.3 Algebraic elements. Algebraic extensions.14мин
1.4 Finite extensions. Algebraicity and finiteness.14мин
1.5 Algebraicity in towers. An example.14мин
1.6. A digression: Gauss lemma, Eisenstein criterion.13мин
1 практическое упражнение
Quiz 140мин
Неделя
2
2 ч. на завершение

Week 2

We introduce the notion of a stem field and a splitting field (of a polynomial). Using Zorn's lemma, we construct the algebraic closure of a field and deduce its unicity (up to an isomorphism) from the theorem on extension of homomorphisms....
5 видео ((всего 67 мин.)), 1 тест
5 видео
2.2 Splitting field.11мин
2.3 An example. Algebraic closure.14мин
2.4 Algebraic closure (continued).15мин
2.5 Extension of homomorphisms. Uniqueness of algebraic closure.11мин
1 практическое упражнение
QUIZ 240мин
Неделя
3
4 ч. на завершение

Week 3

We recall the construction and basic properties of finite fields. We prove that the multiplicative group of a finite field is cyclic, and that the automorphism group of a finite field is cyclic generated by the Frobenius map. We introduce the notions of separable (resp. purely inseparable) elements, extensions, degree. We briefly discuss perfect fields. This week, the first ungraded assignment (in order to practice the subject a little bit) is given. ...
6 видео ((всего 82 мин.)), 1 материал для самостоятельного изучения, 1 тест
6 видео
3.2 Properties of finite fields.14мин
3.3 Multiplicative group and automorphism group of a finite field.15мин
3.4 Separable elements.15мин
3.5. Separable degree, separable extensions.15мин
3.6 Perfect fields.9мин
1 материал для самостоятельного изучения
Ungraded assignment 1
1 практическое упражнение
QUIZ 340мин
Неделя
4
2 ч. на завершение

Week 4

This is a digression on commutative algebra. We introduce and study the notion of tensor product of modules over a ring. We prove a structure theorem for finite algebras over a field (a version of the well-known "Chinese remainder theorem")....
6 видео ((всего 91 мин.)), 1 тест
6 видео
4.2 Tensor product of modules14мин
4.3 Base change14мин
4.4 Examples. Tensor product of algebras.15мин
4.5 Relatively prime ideals. Chinese remainder theorem.14мин
4.6 Structure of finite algebras over a field. Examples.16мин
1 практическое упражнение
QUIZ 440мин
Неделя
5
4 ч. на завершение

Week 5

We apply the discussion from the last lecture to the case of field extensions. We show that the separable extensions remain reduced after a base change: the inseparability is responsible for eventual nilpotents. As our next subject, we introduce normal and Galois extensions and prove Artin's theorem on invariants. This week, the first graded assignment is given....
6 видео ((всего 81 мин.)), 2 тестов
6 видео
5.2 Separability and base change14мин
5.3 Separability and base change (cont'd). Primitive element theorem.14мин
5.4 Examples. Normal extensions.13мин
5.5 Galois extensions.11мин
5.6 Artin's theorem.13мин
1 практическое упражнение
QUIZ 540мин
Неделя
6
2 ч. на завершение

Week 6

We state and prove the main theorem of these lectures: the Galois correspondence. Then we start doing examples (low degree, discriminant, finite fields, roots of unity)....
6 видео ((всего 86 мин.)), 1 тест
6 видео
6.2 The Galois correspondence14мин
6.3 Galois correspondence (cont'd). First examples (polynomials of degree 2 and 3.14мин
6.4 Discriminant. Degree 3 (cont'd). Finite fields.15мин
6.5 An infinite degree example. Roots of unity: cyclotomic polynomials14мин
6.6 Irreducibility of cyclotomic polynomial.The Galois group.14мин
1 практическое упражнение
QUIZ 640мин
Неделя
7
4 ч. на завершение

Week 7

We continue to study the examples: cyclotomic extensions (roots of unity), cyclic extensions (Kummer and Artin-Schreier extensions). We introduce the notion of the composite extension and make remarks on its Galois group (when it is Galois), in the case when the composed extensions are in some sense independent and one or both of them is Galois. The notion of independence is also given a precise sense ("linearly disjoint extensions"). This week, an ungraded assignment is given....
7 видео ((всего 87 мин.)), 1 материал для самостоятельного изучения
7 видео
7.2. Kummer extensions.14мин
7.3. Artin-Schreier extensions.11мин
7.4. Composite extensions. Properties.13мин
7.5. Linearly disjoint extensions. Examples.15мин
7.6. Linearly disjoint extensions in the Galois case.12мин
7.7 On the Galois group of the composite.7мин
1 материал для самостоятельного изучения
Ungraded assignment 25мин
Неделя
8
2 ч. на завершение

Week 8

We finally arrive to the source of Galois theory, the question which motivated Galois himself: which equation are solvable by radicals and which are not? We explain Galois' result: an equation is solvable by radicals if and only if its Galois group is solvable in the sense of group theory. In particular we see that the "general" equation of degree at least 5 is not solvable by radicals. We briefly discuss the relations to representation theory and to topological coverings....
6 видео ((всего 81 мин.)), 1 тест
6 видео
8.2. Properties of solvable groups. Symmetric group.13мин
8.3.Galois theorem on solvability by radicals.11мин
8.4.Examples of equations not solvable by radicals."General equation".13мин
8.5. Galois action as a representation. Normal base theorem.14мин
8.6. Normal base theorem (cont'd). Relation with coverings.12мин
1 практическое упражнение
QUIZ 840мин
Неделя
9
4 ч. на завершение

Week 9.

We build a tool for finding elements in Galois groups, learning to use the reduction modulo p. For this, we have to talk a little bit about integral ring extensions and also about norms and traces.This week, the final graded assignment is given....
6 видео ((всего 84 мин.)), 2 тестов
6 видео
9.2. Integral extensions, integral closure, ring of integers of a number field.15мин
9.3. Norm and trace.14мин
9.4. Norm and trace (cont'd). Ring of integers is a free module.13мин
9.5. Reduction modulo a prime.13мин
9.6. Reduction modulo a prime and finding elements in Galois groups.14мин
1 практическое упражнение
QUIZ 940мин
4.3
Рецензии: 27Chevron Right

Лучшие рецензии

автор: CLJun 16th 2016

Outstanding course so far - a great refresher for me on Galois theory. It's nice to see more advanced mathematics classes on Coursera.

Преподаватели

Avatar

Ekaterina Amerik

Professor
Department of Mathematics

О Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"

National Research University - Higher School of Economics (HSE) is one of the top research universities in Russia. Established in 1992 to promote new research and teaching in economics and related disciplines, it now offers programs at all levels of university education across an extraordinary range of fields of study including business, sociology, cultural studies, philosophy, political science, international relations, law, Asian studies, media and communicamathematics, engineering, and more. Learn more on www.hse.ru...

Часто задаваемые вопросы

  • Зарегистрировавшись на сертификацию, вы получите доступ ко всем видео, тестам и заданиям по программированию (если они предусмотрены). Задания по взаимной оценке сокурсниками можно сдавать и проверять только после начала сессии. Если вы проходите курс без оплаты, некоторые задания могут быть недоступны.

  • Оплатив сертификацию, вы получите доступ ко всем материалам курса, включая оцениваемые задания. После успешного прохождения курса на странице ваших достижений появится электронный сертификат. Оттуда его можно распечатать или прикрепить к профилю LinkedIn. Просто ознакомиться с содержанием курса можно бесплатно.

Остались вопросы? Посетите Центр поддержки учащихся.