我们说电场有高斯定理、环路定理
你们说为什么你在磁场里边你先讲环路定理 那么安培环路定理恰恰反映了
电流产生的磁场是有悬的，那么在最初呢人们就觉得
也应该有一个跟电场相对应的高斯定理
也应该有一个，所以呢也去找磁感应强度
对闭合面的通量是什么，同样去讨论这个问题
那么这就是涉及到类似于电场，我们会有 对于磁场来讲有磁通量，有磁通量
那么对于任意的磁场，磁通量呢就可以定义为 B.dS的一个积分
对吧？就对于这个磁通量 电通量啊这些形象我们就不去多讲了。那么
但是我们根据磁感应线的特点 我们知道这磁感应线是围绕着电流都是一圈一圈的，对吧？
所以说呢环绕电流，它是属于环绕电流的无头无尾的闭合线
或者呢伸向无穷远，对不对？从它的这个
磁力线我们可以拿一个通电的导线在周围洒很多铁粉
拍拍拍那么就可以看出这个磁力线是一圈一圈的，对吧？ 这些实验都是可以做的。那么由这个
磁感应线的特点可以猜也许
沿着闭合回路的积分呢对于一个闭合回 就沿一个闭合面的这个通量呢应该是零
应该是零，因为它是无头无尾的嘛，是一个闭合线。所以猜想
它是零。所以呢最开始人们就觉得这个叫磁高斯定理
就可以了，就相应于去在磁场里
去算B的通量，啊B的通量。那么觉得这通量应该是零
那么也说明磁感应强度是一个无源场，啊是一个无源场
但是实际上我们说把它叫做一个定理
啊叫做一个定理，最开始是觉得应该是形式上 对称，后来越来越发现它有很深刻的含义
有很深刻的含义。对于磁高斯定理来讲它很简单
就是通过磁场中任意闭合曲面S的总磁通量恒等于零
那么这里呢我们给出证明 这个证明是从毕奥-萨伐尔定律开始证明的
这个证明也比较简单，我们来看一下 首先看单个电流元 Idl
这是一个单个的电流元，当然它是跟导线连在一起的 我就看一个单个一个电流元，那么如果电流是向上的
那么以这个电流元为轴线的任何一处它产生的磁感应线都是一个什么啊？ 以dl
方向为轴线的一系列的同心圆 圆周上B点各处相等，这个结论
是根据毕奥-萨伐尔定律得到的对吧？ 那么有了这个我们可以去
从毕奥-萨伐尔定律我们可以看到这个是r
这个是Idl，然后这个是轴线，这块
面积，所以B是垂直于这块面积的。那么下面我们就来
看一看对于一个，任意一个磁感应管
考察任意的磁感应管，它的正截面呢
是这样的，比如说这是一个磁感应管 所谓磁感应管是什么意思呢？就是说
它在这地方产生的磁感应线 围绕这磁感应线我做一个很细的管子把它包起来
那么因为在这儿产生的都是一系列同心圆，所以 在这磁感应管里肯定是包围了一些磁感应线，磁同心圆
我考察一根。那么我们呢在空间取任意闭合曲面
这是任意闭合曲面，那么我们可以看到这根管这闭合
曲面取在这地方，这根管呢从这地方穿进去，从这地方穿出来了
是吧？对于这个面它穿过S呢，是穿进去一次，穿出来一次
当然这磁感应管跟闭合曲面是有交界面的
这交界面是什么呢？这是dS1，这是dS2
对吧？那么我们可以看到这个dS1
和磁感应强度的方向，比如这地方我按
就是说磁感，那个磁感应线是这个方向，B1是
沿着这个圆的切线方向。这个是比如说这交界面
这儿是它的B，那么这个面对于 这个闭合曲面来讲dS的外法线方向是沿这的
所以外法线方向和dB1之间的夹角是θ1 对吧？是一个钝角，而
这个交界面dS2它的外法线方向是这样的 而这个地方的磁感应强度呢是这个方向的
它们之间的夹角是θ2，是一个锐角 那么于是我们就可以看
这个dS1和sinθ1 再加上一个负号是相当于是投影到
这个磁感应管的正截面，因为一个磁感应管
一个磁感应管它是这样的。那么 它的正截面呢是这个方向
对吧？那么我交面不一定是正截面，对吧？因此呢
它在dS1cosθ1相当于就是投影到
这个正截面上。dS2cosθ2也是投影到正截面上，那么
只是这里边有个夹角，这个是负的，所以呢最终它们都应该等于dS
这dS就是磁感应管的截面 这个截面呢是垂直于磁感应线的
对不对？这个看清楚。那么于是这两个都等于dS
那么现在我们就来算通过这个面的 通量和这个面的通量。我们说dφB1
就是穿过dS1的通量，是dB1•dS1
我们把dB1写出来，dS1cosθ 对吧？因为它点乘嘛，就把cosθ 写出来
那么最终写出来应该是一个负的 4π分之μ0，这一堆。那么再算
这个地方的通量，dB2•dS2
那么代进去以后这是个锐角，所以它不会出来负号，所以是这个结果
那么由此我们从数字上也可以看到它们两
大小相等，一个是正，一个是负，那就说明一个是进去的，一个是出来的 大小是相等的，所以这两个通量，这两个
面的通量加起来是零，加起来是零 那么你们看到这应该明白了，我一个电流元
我找一个电流管穿过这B后面是进去等于出来。那么其他的呢？也是进去等于出来
是吧？我用很多很多比如说我还可以这儿找一个电流管，这儿找一个电流管，所以所有 Idl
的产生的磁感应线做的 电流管对于闭合面来讲都是穿进去等于穿出来
所以这个证明是很简单的，任意磁感应 管经过闭合曲面S的磁通量是零
是零。那么这样的话我们就可以推广到任意载流回路的磁感磁场
一个电流元产生的磁场可以看成很多磁感应管
组成的，对吧？然后有穿入又有穿出，得到
通量是0。那么如果有的没穿过S，当然通量也是零
那么于是对于任意载流回路，由许多电流元串联而成
由叠加原理我们可以得到我们所要的结论 对不对？所以这个证明呢是非常地清晰
也比较简单不难理解，只要从几何上把它搞清楚就可以了
所以于是我们就得到了磁高斯定理，得到了磁高斯定理
那么当然磁高斯定理我们得到 得到的是一个积分形式，我们还可以得到它的微分形式
微分形式当然利用数学的高斯定理 我们很容易就得到了某一点的
B的散度是零，说明它是一个无源场
无源场。那么磁高斯定理到这儿
就说明磁感应强度它是有源
是无源有旋场 对吧？证明了磁感应强度由电流产生的磁场
磁感应强度是无源的，是磁高斯定理。而安培环路定理说明它是有旋的
那么应该说从这个角度已经分析清楚场的性质
啊场的性质。那么实际上磁高斯定理它的意义 不仅仅在于此，也就是说
在磁高，以磁高斯定理为基础，还可以引进 一个概念叫磁矢势
[声音]
引进磁矢势 也就是说我们在电学里边
无旋场E•dl 积分等于零，引进了什么啊？
引进了电势对吧？是标量，它标势，它是一个保守场
但是在磁场当中B沿着 闭合回路积分不等于零，它不是保守场
就不能引进标势，啊不能引进。所以在电流产生磁场里
是没有标势的，啊不能引进标势。那么但是呢磁
恰恰可以让我们引进一个磁矢势。我们说作为磁磁场
那么我们现在讲的是恒磁场 没有磁场和物质的作用，所以可以说是真空当中的磁场
那么它应该满足高斯定理和安培环路定理 对吧？那么这是积分形式，这是微分形式
那么它反映了磁场是一个无源有旋场
啊无源有旋场。那么因为环路积分
不等于零，所以它是非保守场，一般不能引入标势
对吧？这一，这个东西我们都很清楚。但是呢磁场的主要特征
无源，无源或者无散 也就是反应在磁高斯定理里边。但实际上磁高斯定理
开始人们放的这个定律觉得呢应该跟电场对称
但实际上它有没有根本的物理意义呢？是有的，也就是说
有这个磁高斯定理
积分形式的磁高斯定理引进磁矢势的
就是说对于任意一个闭合面，对于任意一个闭合面，那么 B•dS的通量等于零
那么我们对这一面总可以去找 环路l，那么这个环路呢
由它可以把这闭合面分成两个台面
一个S1，一个S2。那么因此以外法线方向为正
实际上呢S1的通量等于S2的通量
对吧？所以这个实际上对于任意闭合面会有这样一个情况
那么也就是说这个式子表明
磁通量由仅仅有共同的边界线所决定 对吧？磁通量由共同的边界线L决定
因此从数学上总可以去找到一个矢量
A，沿着这个共同的边界线线积分
等于通过这个面积的通量 这是从数学上可以这么做，所以呢会有一个A
沿着这个共同边界作一个闭合回路的积分
应该等于呢通过这个S的胎面的
那么我们说这个A是存，确实存在的 对于磁感线强度B
A就叫磁矢势，啊磁矢势 这个A在空间的分布也是构成矢量场的
我们简单叫做矢势，啊叫做矢势。那么
这个就是它就是这么引进的，啊。那么实际上引进的是A的环量 引进的是A的环量
Ms 王稼军 WangJiaJun教授 Professor
