Seguimos en esta cápsula con números, números y más números, en esta ocasión

vamos a prolongar un poquito más nuestro conocimiento de los números.

Nos habíamos quedado en los enteros, ¿se acuerdan?

you le dimos paso al cero, a los negativos, y entonces podemos hacer más

operaciones con los números, pero ahora, bueno vamos a abocarnos a otro problema

que dio surgimiento a otro tipo de números, bueno, sí, a otro tipo de

números podríamos decir. Me refiero a los números racionales.

¿Cuál es el problema al que los racionales dieron respuesta?

El problema es medir. Vamos a poner aquí en la pantalla los

números que vamos a trabajar ahora. Son los números racionales y el problema

que ellos dan solución, es el medir. Imagínense ustedes la actividad de

medición, que es algo tan simple como esto: supónganse que yo quisiera medir,

por decir, el perímetro de esta computadora, de la pantalla de mi

computadora. Yo puedo tomar esto como mi unidad, y

nadie me dice que tengo que tener un metro para hacerlo.

Esta puede ser mi unidad, y yo la pongo aquí.

Va una vez, y luego me quedo donde se había puesto, van dos veces, y luego me

falta este cachito, ¿se fijan? Este cachito de acá es lo que hizo al

hombre decir: bueno esta unidad la voy a partir.

La parto, entonces tengo mitades y a la mejor esta mitad me va a caber aquí.

A lo mejor no. A lo mejor la tengo que partir más, y así

voy a ver cuántas veces cabe una parte de la unidad dentro de la longitud que yo

quiero medir. Eso es algo natural, eso es algo que en

algún momento fue importante en la humanidad, Bueno, esto está haciendo o

dando origen a partir a la unidad de medida.

En nuestros números sería partir nuestra unidad.

Entonces si vemos ahorita entre los números que tenemos; pensemos ahorita en

nuestra unidad como algo, como esto. Aquí les voy a poner mi unidad, aquí

están mi cero y mi uno. En este segmento voy a partir el segmento

digamos, bueno en mitades. Podría tomarlo en mitades.

Podría tomarlo en terceras, en cuartas. Lo que pasó en nuestro sistema métrico

decimal es que se tomaron décimas partes, entonces si ese uno que tienen ustedes

ahorita en la pantalla piensan que es un metro y lo parto en diez, tengo

decímetros, y si cada decímetro lo parto en diez, tendré entonces centímetros,

tendré cien dentro de la unidad, y milímetros si parto en mil, etc., etc.

Pero hagamos las cosas sencillas ahorita, como surgieron, con naturalidad en un

principio, y entonces mi unidad de medida la voy a partir por ejemplo en mitades.

Puedo pensar aquí voy a partir y entonces tengo aquí un medio, y si ese primer un

medio lo parto a la mitad voy a tener un cuarto, y si ese un cuarto lo parto a la

mitad, voy a tener un octavo, y si ese un octavo lo parto a la mitad voy a tener un

dieciseisavo, y si ese un dieciseisavo lo parto, y bla, bla bla, you saben a dónde

voy, otra vez voy a este aspecto, del infinito en los números.

O sea, yo puedo estar pensando en esta actividad de subdivisión continua en

mitad y mitad y mitad de ese segmento original sin que eso cause algún

conflicto en mi cabeza. ¿Qué conflicto puede causar?

Yo creo que sí pudiera causar un conflicto.

Bueno pero deben de estar pensando ustedes en ¿cómo?, ¿cuándo?, ¿cuándo vas

a acabar?, nunca vas a acabar. ¿Saben qué?

Yo pienso que eso es algo que está muy, digamos en nuestra mente.

¿Por qué? Porque nosotros vivimos en este mundo

real, y en este mundo real nuestro tiempo es finito.

O sea, yo no voy a poder realizar una actividad con un tiempo infinito, yo me

voy a morir, yo desaparezco y se acabó. you dejé de contar.

Llegué a donde llegué. En ese sentido eso pudiera estar digamos,

obstaculizando que pensemos en esa actividad del infinito, pero

cognitivamente es posible. O sea, yo les hice ahorita la señal, si

lo tomo y lo parto, y luego lo parto, y luego lo parto, you mentalmente ustedes

puede concebir lo que va a seguir. Va a seguir partiéndolo.

¿Por qué no?, entonces ahora que me enfrento a este infinito me gustaría

proponerles algo como lo siguiente: Fijen, piensen ustedes en este segmento

de medida uno, y este segmento de medida uno voy a considerarlo en esta parte de

aquí, lo voy a rayar con esto miren esto, esta parte de aquí, ¿ cuánto mide?, un

medio, y si luego me voy a la siguiente parte, o sea la que está aquí entre un

cuarto y un medio, tengo una parte que mide un cuarto ¿cierto?

y si me voy a la parte que sigue después, ésta de aquí, me voy a un octavo, o sea

lo que puedo estar haciendo es sumando estas cantidades, estoy sumando estas

cantidades ¿hasta cuándo? hasta un dieciseisavo.

¿Luego que seguiría? pues seguiría un treintaidosavo, y así me

voy y me voy y me voy en mi pensamiento, pensando que esto es posible.

Ahora voy a pensar ¿será posible que esta suma infinita me dé un número?

, y la verdad es que si me siguieron el proceso tendrían que aceptar que sí.

¿O sea, qué es lo que va a sumar eso? Pues va a sumar la cantidad original que

tenía, va a sumar exactamente uno. ¿No?

Porque uno era la longitud original que yo la partí en infinitas partes.

Sumo esas partes, las infinitas que tengo, la cantidad infinita de partes que

tengo y la suma va a ser el uno. Nuevamente el infinito vino a hacer de

las suyas en nuestra mente. Yo puedo tener una suma infinita de

números, y esa suma infinita me va a dar un número.

No tengo que estarla realizando la suma elemento por elemento para que

matemáticamente pueda yo aceptar la validez de una operación como ésta donde

el infinito estuvo presente. Entonces you tenemos estos nuevos

números. Estos nuevos números que son la partición

de la unidad; me gusta escribirlos así como uno, un medio, un tercio, y ahorita

que les estaba platicando que lo otro da un uno me gustaría comentarles que estos

que les estoy escribiendo ahorita, estos números, si me pongo a sumarlos

matemáticamente, ahí sí es donde digo; la teoría es importante en matemáticas.

El nivel al que se llega en la teoría matemática para darse cuenta de que esta

suma infinita de infinitos números no es un número, éste si se señala así, you es

algo que choca también con nuestra mente porque justo la hilera de arriba me dices

que sí da uno, y la hilera de abajo que se le parece, me dices que no.

Estas cuestiones para discernirse se tiene que utilizar la matemática.

La teoría matemática; se los dejo ahora como un comentario sobre el que se puede

profundizar después, pero por lo pronto quisiera yo nombrarles a estos números

racionales. Estos números racionales no son solamente

como el uno, un medio, un tercio porque también nosotros podríamos estar

trabajando con ponerle en el numerador otra cantidad.

Si me permiten podríamos escribir algo como esto.

Miren, vamos a empezar a numerarlos: el uno, el dos, el tres, el cuatro, el

cinco, el seis. Cada uno de estos números que son los

naturales; piénsenlo como que es uno entre uno, dos entre uno, tres entre uno,

cuatro entre uno, cinco entre uno y bla bla bla, ahí va.

Podría pensar después que tendría una lista como uno entre dos, dos entre dos,

tres entre dos, cuatro entre dos, cinco entre dos, seis entre dos, bla, bla, bla,

bla, y luego tendría una lista como uno entre tres, dos entre tres, tres entre

tres, cuatro entre tres, se están repitiendo algunos, ¿ya lo vieron?, seis

entre tres, etc., etc., o sea este seis entre tres por ejemplo es este mismo.

Ahí es en donde nos damos cuenta de cómo los números también tienen distintas

escrituras. Los tres que les tengo ahorita

encerrados, ¿esos tres me están haciendo una representación de quién?; del numero

dos. El número dos lo puedo escribir de esas

tres maneras. Si yo les digo aquí uno entre cuatro, dos

entre cuatro, tres entre cuatro, etc. yo creo que you me siguieron, ¿no?, en lo

que quiero hacer, ¿no? Esto que está aquí es como una manera de

enumerar a todos los números en donde pueda yo tener arriba un número entero y

abajo otro número entero. Seguiría uno entre cinco, dos entre

cinco; este arreglo fíjense, me permite que pudiera yo pensar que el infinito de

números racionales o sea ¿cuántos racionales hay?

Ese "cuántos racionales" tendríamos que contestarlo pensando en los naturales, y

los naturales serían que el uno, dos, tres, puedo hacer una arreglo ¿no?, en

donde los puedo convencer de que hay tantos racionales como naturales.

Algo como esto, miren. Empiezo con el uno, dejen ver si me

permite cambiar al highlighter ¿no? Empiezo con el uno, me voy por acá, luego

me voy por acá, luego me voy por acá, luego me voy por acá; ¿ya me entendieron

la idea? Este arreglo que estoy yo haciendo

ahorita me está permitiendo pasar por todos y cada uno de los que tengo ahí,

entonces ¿cuál es la respuesta a cuántos números racionales hay?, ¿cuántos

racionales? La verdad es que hay tantos como

naturales ¿no?, y entonces tenemos un nuevo conjunto de números, el conjunto de

los números racionales. Tenemos un infinito asociado a su

cardinalidad, que es el mismo infinito que los naturales; lo denotaremos con la

letra Q. La letra Q viene de cociente, bueno no,

cociente no se escribe con Q, en ingles más bien, no de cociente; quotient;

entonces estos números estamos viendo que son muchos más de los que pensábamos ¿no?

aparte de los naturales, pero que en términos de cantidad tendríamos que decir

que son exactamente los mismos ¿no? qué cosas, otro infinito que está

presente en nuestra escritura. Repasemos un poquito del álgebra, del

álgebra sencilla tomando una respuesta de una ecuación, ahora que sea tan fácil

como equis igual a dos tercios. Este es nuestro número ¿no?.

Podría yo en este numero decir algo como ¿qué tal si de aquí lo paso del otro lado

restando?, me queda un cero, ¿qué tal si se me ocurre a todo multiplicarlo por un

cinco?, y entonces del otro lado me va a quedar a cinco por cero que es cero.

Pongamos un cinco equis menos, ¿qué sería?

un diez tercios, igual a cero, y lo que he generado aquí es una ecuación lineal.

Esta ecuación lineal se resuelve; esta sería la que tendría en el curso de

álgebra, y se resuelve al despejar, al aislar esta equis ¿no?

¿Cómo lo haríamos?. Vamos a empezar aquí arriba, cinco equis

menos diez tercios es igual a cero, cinco equis es igual a diez tercios.

Cierto. Pasó este negativo del otro lado como

positivo, ¿y este número cinco qué va a pasar?

va a pasar dividiendo. Aquí puede ser que ustedes estén

acostumbrados a hacer algo como esto: ¿no?

poner aquí el cinco dividiendo, y luego tener que hacer un uno, y extremos por

extremos y medios por medios ¿no?. Me quedaría así.

Yo los voy a invitar a que en este paso de aquí, o sea, de este paso de aquí

traten de pensar que ese cinco está en la posición multiplicando, está en la

posición de arriba en la cantidad de la izquierda, y va a quedar en la posición

de abajo de la cantidad de la derecha ¿no?, de tal manera que cuando despeje el

cinco que estaba multiplicando lo voy a poner a la altura, digamos del tres, o

sea también en la parte de abajo. De esta manera llego al diez entre quince

que you teníamos, y si se habrán dado cuenta encontramos a la solución dos

tercios pero disfrazada ¿no? porque este diez entre quince, si ustedes

piensan, tenemos al diez, que es un cinco por dos; el quince, que es un cinco por

tres. Uno puede hacer esta cancelación y

entonces llegamos a nuestra respuesta original ¿no?, que es equis igual a dos

tercios. Entonces hemos repasado nuestra álgebra

con estos nuevos números. Me gustaría que finalizáramos en esta

cápsula presentándoles una particularidad con los números racionales que también

nos lleva al infinito pero de otra manera.

Voy a trabajar el número un cuarto. El numero un cuarto, vamos a ponerlo

aquí, uno entre cuatro y voy a trabajar el número uno entre tres, sí?

Si yo divido uno entre cuatro, o sea se hace una operación aritmética, ¿no?

Yo no se qué tanto ustedes recuerden esto ¿no?

Aquí lo que pondría que sería un dos, por cuatro ocho, para diez son dos, cinco por

cuatro veinte, para veinte, igual ¿okey?. En un cuarto es punto veinticinco ¿si?.

Ahora vamos a hacer lo mismo con el un tercio.

Uno entre tres y le diríamos entonces, bueno agregamos aquí, tres por tres un

nueve, para diez es uno, tres por tres son nueve para diez es uno, tres por tres

es nueve, para diez es uno, tres por tres es nueve para diez es uno y bla bla bla

bla bla, ¿qué pasó? Nuevamente llegamos a que un tercio es

uno punto tres, tres, tres, eternamente tres.

¿no?, otra vez tenemos una presencia del infinito en nuestros números racionales.

Tan bien que se veía este número escrito de esta manera y tan complicado que

parece de esta otra manera. Cuando vemos a las cantidades racionales

en esta expresión decimal infinita, tenemos que reconocer que al hacer la

división me queda un decimal que en matemáticas se dice: con infinito pero

periódico, y la palabra periódico significa que la cifra tres, tres, tres

se va a repetir ¿no? se va a repetir y entonces lo que sucede

cada vez que uno recuerda una división de dos números enteros es que

inevitablemente este conjunto de los números racionales vamos a poder

asociarla con todas las expansiones decimales que por un lado o son finitas,

¿y con esto a qué me refiero?, a que salió el residuo cero, y me quedaron como

el un cuarto; o son infinitas, pero en el caso de ser infinitas tendremos que

agregar que son periódicas ¿okey? ¿eso que quiere decir?, que sería como el

caso de un tercio en donde una cifra decimal se repite y se repite

constantemente. En este video yo les pido que vean como

actividad las siguientes cápsulas de video que teníamos en nuestra pagina de

Vision de las Matemáticas; que avancen un poco más en eso, pero por otro lado me

gustaría que utilizaran alguna calculadora.

Puede ser la de su mismo celular, y que se pongan ustedes a obtener; perdón, las

expresiones decimales de un medio, un tercio, un cuarto, un quinto, hasta un

noveno y un décimo. Es muy importante que ese tipo de

expresión decimal la tengamos muy bien asociada cuando estamos hablando de estos

quebrados, o de estos números racionales tan comunes en el uso que haremos de

ellos ¿no?. Los espero en la próxima cápsula.

Los que sirven para medir…

1.- El Cálculo - Modelo Lineal

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